随机变量均值与方差的题型解析

2021-11-22 00:52周语华
数理化解题研究·高中版 2021年10期
关键词:方差均值例题

摘要:离散型随机变量均值与方差的题目是历年高考重点,考察学生分析与解决实际问题能力,对于随机变量均值与方差的题目有填空与选择题,还有大的解答题,对于此类题型的解析需要学生先掌握考点,在熟悉基础知识上再进行相关题目的分析与解答,旨在帮助学生快速缕清问题并解决问题.

关键词:随机变量;均值;方差;例题

中图分类号:G632文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2021)28-0023-02

作者简介:周语华(1975.7-),男,江苏省盐城人,硕士,中学高级教师,从事高中数学教学研究.

基金项目:江苏省教育学会“十三五”教育科研规划2017年度一般规划课题《核心素养视角下高中数学校本课程的开发与实施研究》(批准号:17A20J4YC129)

一、考点梳理

二、随机变量均值与方差的题型解析

1.根据离散型随机变量的均值与方差的解题

过程为:第一,先确定离散型随机变量的可能值.第二,求可能值对应的概率,第三,书写分布列,检查正误.第四,求均值与方差.

例1商店以5元的单价进购一批蛋糕,然后以10元一块的价格出售,若当天卖不完,则扔掉以垃圾处理.

(1)第一天商店进购16块蛋糕,求那天的利润y(元)与当天所需量n(块)的函数解析式.

(2)商店对近100天的蛋糕日需求量进行整理,做出表1,以此需求量的频率当做各需求量的概率.若商店一天购进16块蛋糕,X为当天的利润,求X的分布、数学期望与方差;若商店一天进购16或者17块蛋糕,你认为进多少块更合理?

点评本问题所求的随机变量均值与方差要先确定所有可能的值,然后分别写出随机变量分布,最后再运用正确的公式计算.解题的时候要关注随机变量的概率分布特征,如果是二项分布,则使用二项分布的均值与方差公式进行计算更加简单.

2.求二项分布的均值与方差问题

例2中央电视台与唯众传媒联合制作的《开讲啦》为一档青年电视公开课节目,节目一开播就受到观众的喜爱.电视台随机调查了甲、乙两地中的一百名观众,得到2×2列表为表2:

在被调查的一百名观众中随机抽取1名,为乙地区中非常满意观众中的一员的概率为0.35,且4y=3z.

(1)从这一百名观众中,通过分层抽样的方法抽取20名问卷进行调查,抽取满意的甲、乙两地人数都为多少?

(2)请你完成表2,并依据此判断是否有95%的把握确定观众的满意程度与所在地区相关.

(3)以抽样调查频率为概率,先从甲地抽取3人,抽到非常满意的人数为X,求X分布列与期望值.

3.非二项分布均值与方差问题

例3我校实验班与普通班一个学期内一共进行了四次考试,该阶段的数学试卷每一题都有区分度,则q1=实验班得分率-普通班得分率,若q<0.3,则确定此题区分度不好.若在实验班中进行抽样调查,以12题为例,可在班级成绩在前八名和后八名的学生中各随机抽取2人,此4人答题结果为计算区分度,则q为前后各8名各抽取2名学生的正确率,同样q<0.3,则确定此题区分度不好.问:

(1)从年级的角度分析,若区分度不好的概率为p,四次考试中则至少有一次区分度不好的概率为0.9375,求p的值;

(2)实验班前八名学生中有7人答对第12题,后八名中有四人答对,依据抽样结果,求该题区分度不好的概率.在抽取的四人中,β为答对12题的人数,写出其分布列,求出E(β).

解(1)根据列式1-(1-p)=0.937,得到p=0.5.(2)从“该题区分度不好”这句话可总结为几个互斥事件,第一,实验班前八名与后八名学生中各抽取的两人中有一人未答对,且从后8名同学中抽到的2人中至多有1人来答对,最多有1人未答对,其概率为11/56;实验班中前八名与后八名学生中抽取的2人中全部答对,其概率为9/56,以此得到该题区分度不好的概率为两组数据相加,为5/14.第二,根据题意β=1.2.3.4求P(β=1.2.3.4)的值分別为3/56、17/56、27/56、9/56,E(β)=11/4.

综上得出离散型随机变量均值与方差的计算过程,并根据随机变量X-B(n,p)直接使用公式求解;随机变量的期望表达其取值的平均水平,因此可以通过随机变量作为实际应用题中方案取舍的主要依据,如果先比较均值,若均值相同,则以方差决定.

参考文献:

[1]郑丽娟.随机变量均值与方差的题型解析[J].高中数理化,2021(01):4-6.

[2]江志杰.提炼数学模型激活运算素能——由“离散型随机变量的均值和方差”探究组合数列求和[J].中小学数学(高中版),2019(05):16-19.

[3]杨文金.离散型随机变量的分布列、期望和方差高考链接[J].中学生数理化(高二数学),2018(06):7-9.

[责任编辑:李璟]

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