线性代数课程内容安排与课堂教学情境创设探析

唐秋林

摘 要：线性代数是高等学校理工类与经管金融类等专业学生的一门重要的数学基础课程，是学习后继课程的工具，它在自然科学、工程技术和管理科学等诸多领域有着广泛的应用。线性代数教材作为教学的重要知识载体，合理的内容安排尤其重要。但是，线性代数内容的抽象性以及运算的烦琐给学生的学习带来很大困难。教学情境的创设能激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性和主动性。本文对线性代数的教学内容为什么要这样安排，在课堂教学中怎样有效利用教材创设适当的课堂教学情境这两个方面进行了分析。

关键词：线性代数;课程内容;情境创设;人才培养

教材是一切教育活动的基本依据，是育人的根本载体[1]。作为高等学校大学数学的基本课程之一——线性代数，它主要是围绕如何解线性方程组展开的相关内容的研究。通过有目的、有意图地挑选行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、欧氏空间以及二次型等内容，去影响学生的知识结构，拓展学生的知识领域，这对于培养大学生的计算能力和抽象思维能力都是十分重要的。那么，如何合理安排这些内容的顺序呢？在课堂教学中如何有效利用教材创设适当的教学情境以提高学生的学习兴趣呢？我们就从这两个方面来谈线性代数的内容安排。

一、内容安排顺序合理

我们以高等教育出版社出版，同济大学数学系编的《工程数学线性代数》（第六版）为蓝本，来研究线性代数教材。对于第一章，为什么内容要安排行列式呢？主要考虑学生的知识体系，由于学生在中学已经掌握了解线性方程组的基本方法，对于如下线性方程组，我们不妨提出如下問题：

（1）5x+4y=7

x+y=6   （2）x+y=7

x+y=8

（3）x+y=7

2x+2y=14  （4）x+y+z=5

4x+6y=0

不解这些方程组，能确定它们的解吗？显然，（1）有唯一解，（2）无解，（3）有无数解，（4）有无数解。对于（1），既然有唯一解的情形，能否用公式给出呢？从而引出行列式的内容介绍。主要研究行列式的定义、性质和展开法则，进而介绍克莱姆法则来解一种类型的方程组。

通过第一章的学习，我们已经能解决一类特殊的方程组，给出公式解，即满足克莱姆法则的方程组的情形。对于一般的方程组，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程组，该如何求解呢？

显然，该线性方程组的解由其系数和右端项：

a11a12…a1nb1

a21a22…a2nb2

am1am2…ammbm

作为一个整体来确定。为此，我们需要引入矩阵概念及其运算，然后再来研究这个整体是如何影响方程组的解的，即第二章的内容介绍。

为了研究一般方程组，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的解，我们从具体的线性方程组出发，分析它的解题过程，寻找其中蕴含的数学思想，从而引入矩阵的初等变换，并研究矩阵的秩这两个重要的概念，进入第三章的内容介绍，揭示方程组的解的个数与解的表现形式。

北宋大诗人苏轼在游览庐山时留下了著名诗词《题西林壁》：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中。”就像我们登到南通狼山顶上俯瞰南通市区，感受其美不胜收的景色，心旷神怡。如果我们再走进南通的大街小巷，我相信又是另一番感受。在前一章，我们将一个线性方程组的增广矩阵作为一个整体，研究它是如何影响方程组的解的。如果我们换个角度，从矩阵的内部来分析，重新考量它是如何影响方程组的解的，相信会有别样的收获，为此，我们研究第四章，即向量组的线性相关性。

我们已经会对方程组的增广矩阵作初等行变换化成行最简形，甚至，对任意矩阵A，可作初等行、列变换化为等价标准形，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=Er0

00，r=r（A），那么还有什么办法可将矩阵化为比较简单的形式呢？为此，我们试图将矩阵A变形，讨论当矩阵A是方阵（对称）时，能否找到可逆矩阵（正交矩阵）P，使得PTAP=Λ，一旦对对称矩阵A找到可逆矩阵P，使得PTAP=Λ，Λ为对角矩阵，就为方便的计算A的高次幂提供了可能，自然地就引入特征值、特征向量的概念和理论，由此，我们讨论第五章：相似矩阵及二次型。

通过前五章的研究，我们已经完整地了解了一个线性空间的研究内容。自然想研究两个空间以及两个空间的关系，这时线性空间和线性变换的知识就应运而生，这一章会比前面的所有知识更加抽象，应用性也更加广泛，学完之后会达到有高屋建瓴的感觉。

二、创设恰当情境，提高学生的学习兴趣

从上面的分析我们看到，线性代数课程内容以线性方程组及其相关内容为主线，各个章节的内容看似相互独立，其实前后知识连贯性和逻辑性很强。同时，每一章的概念繁多，运算比较烦琐细碎，定理多而又抽象。课堂教学中“满堂灌”“重理论，轻应用”的现象还较为普遍，加上课时的限制，教师不太可能细致地讲解所有的内容。对学生来说，线性代数内容晦涩难懂，常常是知其然而不知其所以然，也会有学而无用的错觉，这在一定程度上影响了他们学习兴趣。而线性代数作为理工科以及经管各专业学生的一门必修的重要基础理论课，对培养学生的创新意识及能力、解决实际问题的能力以及科学计算能力起到非常重要的作用。那么，我们如何进行课堂教学改革，破解上面所述的困境呢？