一例不定积分的多种计算方法

【摘 要】不定积分是高等数学学习中的重难点之一，不定积分有多种计算方法，如直接积分法、换元积分法、分部积分法等，对于不同类型的积分可采用不同的方法。本文通过一道不定积分例题，使用不同的方法来解决问题，通过探究多样性的解题方法，从而培养学生的发散思维。

【关键词】高等数学;不定积分;一题多解

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0011-02

高等数学教学尤其强调对学生逻辑思维、创新思维、抽象思维的培养。而通过研究不定积分题目解法的多样性，可以打破传统思维，开拓新思路，提高学生解决问题的能力，从而激发学生学习高等数学的积极性[1-6]。

1   一例不定积分的多种计算方法详解

例题：解不定积分。

方法1：第一类换元积分法，分子分母同乘cos x，从而可以凑微分，再进行换元。

接下来令 sin x=t，

原式=

换元后根据有理函数的不定积分进行拆项，分别计算不定积分，

最后，将元进行回代，即

。

方法2：利用三角恒等式 sin2x+cos2x=1进行变形，，然后拆项，分别计算不定积分，拆项后为：

接着单独计算一下这部分不定积分，首先进行换元，

令 sin x=t ，上式，此时的三角积分转换为有理函数的积分，我们利用有理函数积分的计算方法来求解，

最后，注意将元进行回代，将t= sin x带回原式，则

方法3：利用导数和微分的关系进行凑微分，

即。

這个方法对学生的思维能力要求较高，但同时也是最简便的一种计算方法。

方法4：利用二倍角公式得，

再进行换元，令，则

再换元，令 tan t=u ，则

最后，将元进行回代，则

方法5：利用万能公式求解，令，cos x=

，，则

现在将三角函数的不定积分转换为有理函数的不定积分，用待定系数法继续求解。

最后，将元进行回代，则

2   一题多解的教学意义

数学的魅力在一题多解中得以彰显，一题多解有利于培养学生的发散思维，提高思维的灵活性，提高学生解决问题的能力，同时能引导学生在探索中学习，在探索中提高，有利于学生的学习和成长。

【参考文献】

[1]王雅萍.浅析不定积分中的一题多解[J].浙江水利水电学院学报，2019（5）.

[2]孟献青.一题多解在不定积分中的应用[J].山西大同大学学报（自然科学版），2018（1）.

[3]黄军华.不定积分的一题多解[J].玉林师范学院学报，2005

（3）.

[4]许永鑫.不定积分一题多解的相关研究[J].数学学习与研究：教研版，2018（20）.

[5]陈贤峰.一道隐函数不定积分的多种解法[J].高等数学研究，

2020（6）.

[6]张玥，邹健.一道不定积分的几种解法[J].科技风，2020（6）.

【作者简介】

宋小平（1994～），女，汉族，山东烟台人，硕士，助教。研究方向：高等数学。

Calculation Methods for an Indefinite Integral

Xiaoping Song

（Department of Public Education， Shandong College of Traditional Chinese Medicine， Yantai， Shandong， 264001）

Abstract： Indefinite integral is one of the important and difficult points in higher mathematics learning. There are many kinds of calculation methods for indefinite integral， such as direct integral method， substitution integral method， partial integral method， etc. Different methods can be used for different types of integrals. By an indefinite integral example， this paper deals with solving one problem with different methods and explores the diversity of problem-solving methods， so as to cultivate students divergent thinking.

Key words： advanced mathematics; indefinite integral; multiple solutions to one problem