一道00型极限的多种解法

【摘 要】笔者通过对一道型极限问题进行研究，阐述了一题多解的发散思维在极限求解中的应用，进而希望能够激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维能力。

【关键词】极限;一题多解;无穷小;中值定理

【中图分类号】G642;O172  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0001-02

1   引言

型极限又被称为未定式极限，它是一类重要的极限求解问题，出现在各种极限问题研究中的频率极高，不同的题目采用的方法也不尽相同[1-4]，且往往一题多解。在解决这类极限问题时，思路要开阔，应从不同的角度分析问题，从而采用最简便的方法求解出极限。下面以一道典型题目为例，阐述一题多解这种发散思维在极限求解中的重要性。

2   例子及多种解法

例题：

解法1：利用洛必达法则求解，这也是很多初学者首先想到的方法。

原式==

=

=+

=

通过解法1可知，直接利用洛必达法则求解显得比较繁琐，如何使问题简单化呢？一般情况下，我们处理型极限时，往往考虑是否可以结合等价无穷小替换的方法，显然没有直接可替换的项，注意在代数和式子中不要轻易用等价无穷小替换，因为易出错，如极限===0（错解），而利用洛必达法则求出正解为。这里我们拓展思维，可以将极限式子先变形，再利用等价无穷小替换法。

解法2：利用中值定理先进行变形，再结合等价无穷小替换求解。一般情况下，当极限中含有 f（b）? f（a）的结构时，可以考虑利用拉格朗日中值定理进行变形处理，

如下：

原式=（ξ介于sin x与tan x之间，x→0，则ξ→0，eξ→1）

=

=

=

=

解法3：还可以采用“抓头”或者“提尾”法，主要针对极限式子中出现同底指数相减的形式。

用抓头法，即原式=（利用极限运算法则和等价无穷小替换）

=

=

=

=

或者用“抓头”法，即原式=，剩余过程同上。

解法4：直接替换法。我们可以将解法3的思想方法推广为一般结论，出现类似极限问题就可以直接采用等价无穷小替换法求解。

定理：若f（x）=g（x）=A，则a f（x）?a g（x）～a g（x）ln a?

[ f（x）? g（x）]，（x→x0）。

证明：

=

=

=1

利用上述结论可得：

=

=

=

解法5：利用麦克劳林公式计算。

首先 tan x=x+x3+o（x3），sin x=x?x3+o（x3），

ex=1+x+x2+x3+o（x3），

故etan x=1+x+x3+o（x3）+[x+x3+o（x3）]2+

[x+x3+o（x3）]3+o（x3）

=1+x+x2+x3+o（x3），

esin x=1+x?x3+o（x3）+[x?x3+o（x3）]2+[x?

x3+o（x3）]3+o（x3）

=1+x+x2+o（x3），

所以==。

3   结束语

综上，笔者研究了一道型极限问题的五种解法，这启发了我们在学习极限求解时要善于总结和归纳各种方法，学会打破常规的思维模式，从而培养创新思维

能力。

【参考文献】

[1]吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[2]潘福臣，李庆娟等.高等数学[M].吉林：吉林大学出版社，2014.

[3]严子谦.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]同济大学应用数學系.高等数学第五版[M].北京：高等教育出版社，2001.

【作者简介】

李庆娟（1980～），女，汉族，吉林榆树人，硕士，大连财经学院副教授。研究方向：大学数学教学与研究。

Several Solutions for a Typical Limit

Qingjuan Li

（School of Management， Da Lian University of Finance and Economics， Dalian， Laoning， 116622）

Abstract： This paper studies a typical integral problem with multiple solutions and elaborates the application of divergent thinking， I hope it can stimulate students interest in learning and cultivate students divergent thinking ability.

Key words： limit; multi- solutions ;infinitesimal; mean value theorem