强化素养考查 导向方法教学

孙锋　周乐

摘  要：图形与坐标的内容，本质上是利用坐标的代数与几何属性研究图形的性质及其运动变化规律. 通过对2020年全国各地区118套中考试卷中关于“图形与坐标”内容的命题研究，凸显了这一本质内容的体现. 从整体来看，试题注重对学生数学素养的考查，导向以数学思想方法为“内核”的课堂教学.

关键词：数学素养;思想方法;导向教学

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，“图形与几何”在第三学段的内容分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三大板块.“图形与坐标”的内容主要包括坐标与图形位置、坐标与图形运动等内容. 其中，“坐标与图形的位置”是对小学“图形与位置”的发展和进一步深化. 主要是通过让学生体会确定位置的方法，结合平面直角坐标系进一步建立起点的位置和坐标之间的对应关系，这也是学习函数的重要基础. 而“坐标与图形的运动”则是将图形的变换内容与坐标知识结合起来，学习这部分内容不仅有助于掌握函数图象的性质，也为后续学习向量、变换的矩阵等内容提供了学习前提. 因此，图形与坐标作为认识图形的一种重要的途径和手段，对学生数学学习的发展有着重要的作用. 现结合《标准》要求，对2020年全国各地区中考试卷中“图形与坐标”类试题的考查内容、命题思路进行定性和定量分析，并提供模拟试题.

一、考查内容分析

通过抽取2020年全国各地区118套中考试卷进行统计、分析，发现与“图形与坐标”有关的试题的设置与《标准》的要求基本一致，试题共325道.

题型及题量方面，统计的325道题中，选择题有74道，填空题有73道，解答题有178道. 其中，主观题居多，且大部分试题都融合了其他板块的知识. 每套试卷中设置3道左右试题，但也有33套试卷中设置了4 ～ 5道试题，如黑龙江伊春卷、四川内江卷、江苏泰州卷、江苏常州卷等.

分值方面，在统计的所有试题中，2 ～ 4分值的有135道，5 ～ 7分值的有28道，8 ～ 10分值的有89道，11分及以上的有68道. 容易题、中等题、较难题都有涉及，其中很多试卷是将“图形与坐标”类试题作为压轴题.

内容方面，单一考查“坐标与图形位置”的试题有23道，多以选择题、填空题为主. 单一考查“坐标与图形变换”的试题有61道，其中，选择题16道，填空题22道，解答题23道，大部分解答题分值在8分以下，难度不大. 除了以上84道试题外，其余多是综合性较强的试题，有232道试题将点的坐标与函数相结合进行考查，93道试题中涉及了图形面积问题，83道试题中涉及了图形位置或特征的判断，51道试题中涉及了最值，7道试题中有新定义，4道试题是探究性问题. 从以上分析可以发现，对于这样综合性较强的试题，常常会融合函数、三角形、平行四边形、矩形、圆等知识，试题的设计主要涉及解析式、面积、最值、图形特殊形状或特殊位置等.

坐标作为图形的研究工具，搭建起了数与形的桥梁，在几何图形和函数研究中有着重要的作用. 这部分内容的试题中蕴涵着丰富的数学思想，如数形结合思想、转化思想、变中有不变思想等，这有助于培养学生的抽象能力、推理能力、几何直观能力、模型思想、空间观念等素养.

二、命题思路分析

根据命题指导思想，中考数学命题应该重视对“四基”“四能”的均衡考查.2020年全国各地区的中考数学试题紧扣《标准》要求，关注学生对基础知识、基本技能和主要数学思想方法的考查，试卷在保持相对稳定的基础上进行了适度创新. 命题者在设计题目时，不仅选择将教材中的部分题目进行改编再創造，也将部分几何和代数问题有机结合，突出转化、分类讨论、数形结合、归纳、变与不变、方程等数学思想方法的有效运用，较好地突出了试卷的选拔功能，增强了试卷的效度、信度和区分度. 以下结合典型例题进行分析.

1. 回归教材，夯实基础知识和基本技能

命题者充分尊重《标准》要求，尝试突出教材在教学中的引领作用. 试卷中有的试题源于教材中的例题或习题，再通过适度改编整合而成.

（1）关于坐标与图形位置.

例1 （江苏·泰州卷）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴[Ox]上的每一刻度点画同心圆，将[Ox]逆时针依次旋转30°，60°，90°，[…]，330°得到11条射线，构成如图1所示的“圆”坐标系，点A，B的坐标分别表示为[A5，0°，] [B4，300°]，则点C的坐标表示为________.

此题是对北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）八年级上册第54页例题“航海”问题的改编，教材中此题主要研究“方位角 + 距离”定位法. 命题者在此基础上设计了新的背景，将“方位角 + 距离”定位法进行适当变化，类比了平面直角坐标系中的点的表示方法，命制了在极坐标系中求点的坐标问题. 很显然，正确理解坐标的意义是解此题的关键. 对于极坐标系，即使学生之前没有接触过，却知道平面上确定一个点的位置需要两个条件. 因此，仍然可以通过图形与坐标的本质，即“点与数的对应”进行解决. 命题者的目的很明确，主要考查学生在遇到新问题时解决问题的能力，着重考查了对知识本质的认识能力和方法的迁移能力. 而《标准》把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，就是为了更好地体现数与形之间的这种紧密联系.

（2）关于坐标与图形运动.

例2 （甘肃·白银卷）如图2，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为[A3， 3]，[B4，0]. 把△OAB沿[x]轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为[D6， 3]，则点E的坐标为________.

此题是对北师大版教材八年级下册第74页习题3.3第3题的改编. 试题主要将教材中的五边形改为了三角形，仍然考查了平移变换中“对应顶点的坐标之间的关系”，属于基础题型. 类似地，山东烟台卷第17题改编自鲁教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第94页第2题，考查了坐标中旋转变换的性质.

除了例2这样多以选择题或填空题设计的形式外，黑龙江伊春卷、黑龙江七台河卷、湖北武汉卷、湖北孝感卷均以作图题的形式考查坐标与图形变换这部分内容，要求在方格纸中画简单的几何图形，并将这些基本图形进行平移、旋转等变换. 虽然考查形式不同，但是知识点和思想方法都有较大的一致性.

2. 聚焦思维，注重数学思想方法的运用

数学思想方法是数学的灵魂，也是培养学生思维能力的导航灯. 许多地区的中考试题非常重视对数学思想方法的考查.

（1）坐标与图形性质相联系——转化思想.

图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识. 一方面，在平面直角坐标系中研究图形的性质，由形到数，可以将形的性质进行量化，从而为以数解形提供环境;另一方面，将一些特殊图形的性质和平面直角坐标系中固有的条件，如直角性质、对称性进行融合，可以给整个图形增添元素，使图形背景丰富起来.

例3 （江苏·南京卷）如图3，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，[⊙P]与[x]轴、[y]轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D. 若[⊙P]的半径为5，点A的坐标是[A0，8]，则点D的坐标是（    ）.

（A）[9，2] （B）[9，3]

（C）[10，2] （D）[10，3]

此题背景图形的形成自然、巧妙，又为学生所熟悉，既有显性的圆、矩形，也有隐形的正方形、三角形等图形. 此题可以根据点A的坐标和半径长，求出圆心P到弦AC的距离，借助半径这一辅助线，求出弦CD的长及圆心P到弦CD的距离，进一步求出DB的长. 接着，可以借助相切这个条件，连接圆心和切点，将隐形的正方形显现，从而求出OB的长，这样点D的坐标便浮出水面. 此题从定性分析到定量刻画，由形到数，全面考查了学生对基本图形的识别、基本性质的掌握和基本方法的运用，全面考查了学生的逻辑推理能力和几何直观、空间观念等素养.

类似地，黑龙江牡丹江卷第18题，需结合含60°角的菱形的性质解题;江苏常州卷第16题，需结合含120°角的平行四边形的性质解题;江苏连云港卷第11题、甘肃天水卷第17题均需结合正方形的性质解题;等等. 在这里，图形的性质起到了建立数量之间关系的必不可少的桥梁和纽带作用，借助图形的性质由形到数，突出转化，受到众多命题者的青睐.

（2）坐标与图形变化规律相联系——归纳思想.

研究图形变化时几何图形的不变性是几何学习的重要内容，特别是当图形有规律地发生变化时，其对应点的坐标也会有规律地发生变化. 这类问题不仅考查了学生的探究能力，也很好地揭示了点与数的本质特征.

例4 （湖北·恩施州卷）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：[A-2，0，] [B1，2，] [C1，-2].已知[N-1，0]，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2 020的坐标为________ .

此题把一个三角形放在平面直角坐标系中，给出三个顶点的坐标，从而确定了这个三角形的位置和大小，然后通过连续的对称变换出现一系列对称点N1，N2，N3，N4，…，并求点N2 020的坐标. 很显然，求点N2 020的坐标需要通过分析系列点的规律. 一方面，借助图形分析，能确定点位置的循环周期是每6个点循环一次;另一方面，通过计算出点N6的坐标为[N6-1，0]，发现此时刚好回到最開始的点N处，也能得到变化规律. 因此点N2 020的坐标与点N4的坐标相同，其坐标为[N4-1，8].此类问题虽是规律探索类问题，但其本质仍是数与形在变化中的不变性.

类似地，湖南衡阳卷第18题也考查了具有循环周期的规律型问题. 除了具有循环规律型问题外，还常考查不具有循环规律型问题，而是通过运用不完全归纳法解决的规律探究型问题.

例5 （四川·内江卷）如图5，在平面直角坐标系中，点[A-2，0，] 直线[l]：[y=33x+33]与[x]轴交于点B，以AB为边作等边三角形ABA1，过点A1作[A1B1]∥[Ox]，交直线[l]于点[B1]，以[A1B1]为边作等边三角形[A1B1A2]，过点[A2]作[A2B2]∥Ox，交直线[l]于点[B2]，以[A2B2]为边作等边三角形[A2B2A3]，依此类推，则点A2 020的纵坐标是________ .

此题将等边三角形置于平面直角坐标系中，并结合一次函数考查点变换后的点的坐标规律. 此题需要学生通过一次函数的性质先确定点B的坐标，再借助等边三角形的相关性质确定点A1的坐标，进而继续确定点B1，A2，B2，……的坐标. 然后，需要运用不完全归纳法先求得点An的坐标. 此题融合了一次函数和图形的性质，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力，渗透了数形结合、从特殊到一般、变与不变的数学思想.

类似地，黑龙江黑河卷第17题、黑龙江七台河卷第20题、湖北鄂州卷第10题、湖南怀化卷第16题等也需要运用类似方法进行解决.

在中考试卷中，此类坐标与图形变化规律相联系的题目常考常新，一直得到命题者的青睐，考查形式主要是选择题和填空题，大多数题目都出现在了对应题型的压轴位置，全面考查学生分析问题、解决问题的能力，渗透归纳思想.

（3）坐标与动态问题相联系——数形结合思想.

中考命题的设计不仅要以核心数学知识为基础，还要重点考查学生的数学思想的运用和实际解决问题的能力. 因此，许多省市的中考试卷命题者开始重视对数学知识的动态隐性问题的考查.

例6 （江苏·连云港卷）在平面直角坐标系xOy中，把与[x]轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”. 如图6，抛物线[L1：y=12x2-32x-2]的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C. 抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.

（1）若抛物线L2经过点[2，-12]，求L2对应的函数表达式;

（2）当BP - CP的值最大时，求点[P]的坐标;

（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若[△DPQ]与[△ABC]相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标.

此题属于函数背景的几何综合题，需要借助函数为几何计算与推理提供关键点的位置和运算的依据. 第（1）小题需要先从已知条件中求出点A，B的坐标，再结合给出的第三点的坐标求出L2对应的函数表达式;第（2）小题则需要抓住“共根抛物线”中与[x]轴交点这个结论进行推理，从而得出共对称轴这个结论，再通过抛物线L1的对称轴得到点P的运动路径为一条定直线，从而转化为几何问题中典型的线段差最大问题进行解决. 此问题中条件隐藏较深，需要学生具有较强的分析问题的能力和逻辑推理能力，解决问题过程中很好地体现了数形结合思想和转化思想. 而第（3）小题进一步给出条件“抛物线L1上的动点Q”，考查相似三角形的存在性问题，解决问题过程中需要先得到“△ABC是直角三角形”这个隐含条件，再运用相似的性质进行解决. 需要注意的是，通过解方程求出的值，需要结合图形进行取舍. 此题将直角三角形、定直线等条件隐藏在了函数解析式中，与函数知识结合起来，将形隐于数，在一定程度上将设置问题的角度多样化.

类似地，湖北鄂州卷第24题也考查了中点问题和相似三角形的存在性问题;四川泸州卷第25题考查了等腰直角三角形的存在性问题;重庆A卷第25题考查了菱形的存在性问题;等等. 不难发现，动态问题中常常会研究满足某些特定条件或特殊位置的情况，而这样的特殊位置往往不止一个，常常需要分类讨论. 在问题解决时，可以通过设出坐标，继而列出方程，通过坐標计算来量化这些特殊的位置，也需要通过分析得到的代数结果进一步解释图形位置，然后再对分类结果进行取舍. 这种将坐标作为桥梁的综合型动态问题，将“数缺形时少直觉，形少数时难入微”展现得淋漓尽致. 数与形之间的这种相互转化，能帮助学生养成良好的数学思维习惯，对深入学习数学具有重要的意义.

三、复习建议

通过对2020年全国各地区中考数学试卷中“图形与坐标”试题的分析，现对2021年的中考复习备考提出如下建议.

1. 把握内容本质，理解《标准》要求

图形与坐标的内容，本质上是利用坐标的代数与几何属性研究图形本身的性质或其运动变化后的规律，由此，深刻理解图形本身的性质与坐标的“数”与“形”是学习本内容的关键. 从《标准》的要求来看，主要用坐标对基本图形的坐标进行表示，但是在图形的变化中，需要融合学科内外知识，对学生的几何直观、运算能力、推理能力都有一定的要求.

2. 注重情境分析，挖掘内在联系

问题情境的设置是考查学生数学素养水平的重要手段，生活情境、数学情境、科学情境是三种不同的考查方式. 从近几年考查的问题情境设置来看，以生活或科学情境设置的题量逐年增加. 由此，要强化对不同情境与数学问题本身的关联研究，特别是对图形与坐标内容本质的理解. 例如，解决例1的关键在于，学生是否理解到，在平面内图形的位置确定需要两个特定的要素，且这两素间要具有量和形的关联.

3. 凸显知识关联，强化数学思想方法

初中阶段研究了一系列基本平面图形，而这些图形与其他相关内容结合后呈现了较多交会知识内容，如多边形与函数的结合，图形变化后与新图形的结合等. 在中考复习中，需要关注知识间的关联. 而对数学思想方法的理解是掌握本内容的关键，数形结合思想贯穿始终，建议通过对多种问题进行归类整理，从包含的知识、方法、运动变化方式等维度分析，要在已有基本图形的认知上建构这几个维度的关联，形成“大单元”的格局观，深度体验、深度审视内容考查的方式、方法.

4. 注重动静结合，把握变化本质

从《标准》的要求来看，“位置”与“运动”是学习本内容的关键词，而运动中的变与不变是掌握本内容的难点. 由此，在复习过程中，要对图形的几种基本变化性质进行深刻把握，特别是对变化前后图形对应点的变化规律的理解，建议通过动手实践去真实感受“运动”的本质，培育学生的直观感知素养.

四、模拟题欣赏

1. 如图7，将[∠AOB]放在边长为[1]的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则[tan∠AOB]为（    ）.

（A） [12] （B）[2]

（C）[3] （D） [13]

参考答案：B.

2. 在平面直角坐标系中，点[A]沿[x]轴正方向平移1个单位长度得到点[B]. 点[B]关于[y]轴对称得到点[C-2，3]，则点[A]的坐标为（    ）.

（A）[3，-3] （B）[-3，3]

（C）[1，3] （D）[-1，3]

参考答案：C.

3. 如图8，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形[OABC]的顶点[O，A，C]均在坐标轴上，点[B]坐标为[B3，2]，如点[B]沿过点[A]的直线翻折后刚好落在[x]轴上，则这条直线的方程为________________ .

参考答案：[x+y-3=0].

4. 如图9，一次函数 y = 2x + 2 的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点Bn的坐标是 ________ .

参考答案：[2n+2n-1-1，2n].

5. 如图10，在平面直角坐标系[xOy]中，抛物线[y=-x2+bx+c]交坐标轴于[A，B，C]三点，且点[A]的坐标为[A-3，0，] 点[B]的坐标为[B0，3].

（1）求抛物线的解析式;

（2）若P为线段AB上一点，∠APO = ∠ACB，求AP的长;

（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标;若不存在，试说明理由.

参考答案：（1）[y=-x2-2x+3;]

（2）[22][;]

（3）存在. 点N的坐标为[-2，3，] [2，-5]，[-4，-5].

五、结束语

中考试题对初中阶段的教育教学具有较强的导向作用，随着课程改革与评价方式改革的深入，对于学生核心素养考查的试题命制会有更高的要求. 因而，学生对于“图形与坐标”内容的复习，需要从图形本身性质及其变化规律去把握内容要求，从“大单元”的视角去理解学科内、外间的关联，从问题背后所承载的数学思想方法把握教与学.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教学数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈江辉. 一道中考填空题的命制历程及拓展研究[J]. 中学数学教学参考（中旬），2020（9）：51-53.

[3]陈耀忠，袁正千. 回归教材、致敬学科经典，稳中求变、突出核心素养：浅谈2017年安徽数学中考[J]. 中学数学（初中版），2017（10）：44-49.