聚焦核心 行稳致远

摘  要：以发展学生核心素养为导向，有效落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》基本理念，是教学与评价的共同目标. 2020年全国各地区中考试题“图形的性质”相关内容的设计，聚焦几何图形的核心要素及其内在联系，在强调对图形基本性质的理解和应用水平的基础上，更加关注图形生成过程中的事实和依据，突出了研究问题的一般思路和方法，使数学课程的育人目标得以真正实现.

关键词：基本图形;基本性质;中考试题;核心素养

以发展学生的数学学科核心素养为导向，有效落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）基本理念，是教学与评价的共同目标. 2020年全国各地区中考“图形的性质”相关内容的设计，聚焦几何图形的核心要素及其内在联系，在强调对图形基本性质的理解和应用水平的基础上，更加关注图形生成过程中的事实和依据，突出了研究问题的一般思路和方法，使数学课程的育人目标得以真正实现. 为此，本文围绕“图形的性质”内容，结合《标准》的要求，在对2020年全国各地区相关中考试题设计做出整体分析的基础上，主要从命制试题的基本指向“理解与应用”“事实与依据”“特殊与一般”，以及“育人价值”四个方面，针对典型试题的命题思路进行分析，并提供模拟试题.

一、试题设计整体分析

《标准》将“图形与几何”课程内容分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分. 其中，“图形的性质”是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识，主要包括点、线、面、角，相交线与平行线，三角形和四边形，正多边形和圆的基本性质与判定，包括基本作图、基本事实和基本的证明方法.

从2020年全国各地区中考试题来看，各地区普遍从不同侧面、不同角度对“图形的性质”内容进行了比较全面、系统的考查. 可以看到，大部分试题通过对组成几何图形的核心要素之间的关系所反映的性质，以及通过不同图形的相互联系与综合，基于位置与数量关系的确立或改变，考查了分析、解决几何问题的能力和水平，突出了空间观念、几何直观、推理能力的重要作用. 当然，还有许多综合性问题，特别是通过图形的运动与变化讨论组成要素间相互关系的问题（如图形的平移、旋转、轴对称，锐角三角函数，相似，视图与投影），或者将图形置于坐标系中的问题，均不在本文讨论的范围之内.

“图形的性质”作为“图形与几何”课程内容的基础，在2020年全国约130套省、市、地区的中考试卷中，所占比例适中. 大多数试卷中，该部分内容占全卷总分值的15%左右;在北京卷、陕西卷、甘肃白银卷、山东滨州卷、浙江绍兴卷、黑龙江哈尔滨卷等试卷中所占总分值的比例较高;在廣西玉林卷、四川攀枝花卷、贵州黔西南州卷、湖南常德卷、浙江杭州卷、辽宁营口卷等试卷中所占总分值的比例较低. 题型方面，主要是选择题、填空题和解答题，同时，关于尺规作图的问题，有的与各题型相结合，也有的单独成为一类题型，如山东青岛卷中直接以作图题的形式呈现;题量方面，大多设计4道题左右，北京卷、河北卷、青海卷、宁夏卷、内蒙古通辽卷、山东枣庄卷、江苏淮安卷、浙江湖州卷、湖南怀化卷、湖北襄阳卷等均设计了6道或6道以上的试题;难度方面，以容易题、中等题为主，难题很少，在江苏连云港卷第27题是作为压轴题出现的.

二、试题设计思路分析

2020年全国各地区中考“图形的性质”的内容基于组成图形的核心要素，重点包括图形中边与边、角与角之间的关系. 研究的方法是定性分析与定量计算相结合，图形基本要素间的位置关系（垂直、平行）与数量关系（相等、倍分）相辅相成，突出了把握基本要素及其关系在研究图形问题中的重要作用，并使之成为思考图形问题的习惯.

1. 聚焦核心要素，注重图形基本性质的理解和应用

以组成几何图形的核心要素及其关系为研究对象，考查对于图形基本性质的理解和应用的水平，是命制这部分试题的基本原则.

（1）基于点、线、面、角.

例1 （甘肃·天水卷）某正方体的每个面上都有一个汉字，图1是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（    ）.

（A）文 （B）羲

（C）弘 （D）化

【设计思路分析】用平面图形表示立体图形，以及立体图形与平面图形的联系，体会几何图形的抽象性特点，是认识几何图形的开始. 此题给出一种正方体的表面展开图，通过想象正方体展开前后六个面的相对位置（“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对），较好地体现了对于空间观念的要求. 这里，用“弘、扬、伏、羲、文、化”六个字分别代表六个面，同时传递了甘肃天水的民俗文化品质.

类似地，还有四川达州卷第3题的“勤洗手戴口罩”和江西卷第5题. 设置立体图形与平面图形联系的，还有重庆B卷第2题.

（2）基于相交线和平行线.

例2 （新疆生产建设兵团卷）如图2，若[AB∥CD，][∠A=110°，] 则[∠1]的度数为_______ .

【设计思路分析】平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题. 由位置关系到研究它们所成角的关系，通过“根据结构特征对这些角进行分类”，得到对顶角、邻补角、三线八角，在后续几何图形研究中起着重要的作用. 此题中已知了[“AB∥CD”，] 自然构成同位角或同旁内角、邻补角或对顶角等一系列关系，附加[“∠A=110°”]之后，可以得到其他角的大小.

类似地，还有云南卷第2题、河南卷第4题和湖南怀化卷第5题. 湖南常德卷第3题稍微复杂一些，需要添加一条辅助线，构成三条直线互相平行的结构.

例3 （贵州·黔西南州卷）如图3，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当[∠2=37°]时，[∠1]的度数为（    ）.

（A）[37°] （B）[43°]

（C）[53°] （D）[54°]

【设计思路分析】以三角尺的摆放为素材，设置相交线与平行线及其构成相关角之间的关系. 事实上，是同时借助了三角尺自身隐含的角的大小. 此题用到了三角尺中的直角. 内蒙古通辽卷第4题也是“一副三角尺”的摆放方式问题，解答的关键仍然用到了三角尺中的直角. 宁夏卷第4题需要利用一副三角尺中的45°角和60°角解决问题.

关于三角尺的摆放，许多地区中考试卷中相关问题的设计綜合了三角形的内角和或三角形外角的性质. 例如，吉林卷第5题，一副三角尺的摆放方式如图4所示，要求∠α的大小;山东枣庄卷第2题，一副直角三角板的摆放方式如图5所示，要求[∠DBC]的度数.

类似地，还有贵州遵义卷第3题、山东泰安卷第4题、辽宁抚顺卷第6题、四川眉山卷第9题、江苏泰州卷第12题等.

（3）基于三角形和四边形.

例4 （青海卷）如图6，[△ABC]中，[AB=AC=14 cm，][AB]的垂直平分线MN交AC于点D，且[△DBC]的周长是24 cm，则[BC]的长为_______.

【设计思路分析】三角形是基本的几何图形之一，有很多重要的性质. 此题以三角形的边为研究对象，与线段的垂直平分线综合，建立其中线段与线段间的关系[“AD=BD，AD+DC=AC”]尤为重要.

以三角形的边为研究对象，直接讨论三角形三边关系的试题，还有江苏徐州卷第3题、江苏宿迁卷第7题、浙江绍兴卷第7题，以及黑龙江齐齐哈尔卷第15题;综合等腰三角形“三线合一”的性质或勾股定理等内容设置线段之间关系的，有福建卷第5题、贵州铜仁卷第7题.

以三角形的角为研究对象的试题，江苏常州卷第15题的构图方式与例4类似，如图7所示，是在给出“[△AFC]是等边三角形”的条件下求[∠B]的度数. 当综合了三角形的内角和及三角形的外角性质时，讨论三角形中角之间的关系就更加丰富了，如山东聊城卷第3题、湖北黄冈卷第12题、湖北襄阳卷第12题.

以三角形全等为题材，设置边与边、角与角之间关系的试题更是比比皆是. 例如，广东卷第20题、贵州铜仁卷第20题、四川宜宾卷第11题、四川南充卷第18题、江苏南京卷第19题、江苏无锡卷第21题、浙江温州卷第18题、浙江台州卷第21题，等等.

例5 （北京卷）如图8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，[EF⊥AB，OG∥EF.]

（1）求证：四边形OEFG是矩形;

（2）若[AD=10，EF=4，] 求OE和BG的长.

【设计思路分析】研究特殊的平行四边形是通过对平行四边形的边、角特殊化来实现的，分析平行四边形与矩形、菱形、正方形概念之间的联系与区别，明确它们的内涵和外延，是解决相关问题的关键. 此题第（1）小题中，要得到“四边形OEFG是矩形”，首先应判断“四边形OEFG是平行四边形”. 在已有条件[“OG∥EF”]的基础上，只需要证明[“EO∥FG”.] 于是，需要对于点E，O，F，G的位置进行设计，可见，这里的已知条件就是以“点”的形式呈现的. 第（2）小题中，给定菱形ABCD和矩形OEFG的边长，自然可以得到相关线段的长. 其中，主要综合了直角三角形的性质和勾股定理等知识.

类似地，还有新疆生产建设兵团卷第18题、山东青岛卷第21题，主要综合了三角形全等的判定和性质等. 此外，还有一些结合周长或面积，设计为与特殊的平行四边形相关的计算问题，如云南卷第6题、黑龙江龙东地区卷第8题、山东枣庄卷第17题等.

特殊的平行四边形是命制判断命题真伪的试题的较好载体，如上海卷第5题、四川眉山卷第5题和山东滨州卷第7题，均需要对特殊平行四边形中的各种关系进行判断.

例6 （天津卷）如图9，▱ABCD的顶点[C]在等边三角形[BEF]的边[BF]上，点[E]在[AB]的延长线上，[G]为[DE]的中点，连接[CG.] 若[AD=3，AB=CF=2]，则[CG]的长为_______.

【设计思路分析】将三角形与四边形组合在一起，研究对于同一个点、同一条线段或同一个角，分别置身于不同的基本图形之中，其角色的本质属性及其适当的转换是解决这类问题的关键. 此题由于平行四边形和等边三角形放置位置的特殊性，当给定[“AD=3，][AB=CF=2”] 的数量及其关系时，两个基本图形的形状和大小都是唯一确定的. 研究以点G为一个端点的线段[CG]的长，一定需要结合点G的属性来解决. 这里设计了“[G]为[DE]的中点”，围绕中点，使三角形中位线的性质或三角形全等的判定均具备了合理的条件，添加辅助线、构造基本图形顺理成章.

类似地，陕西卷第18题可以看作是平行四边形和等腰三角形的组合;四川遂宁卷第18题可以看作是矩形和等腰三角形的组合;湖南湘西州卷第21题可以看作是正方形和等边三角形的组合.

（4）基于正多边形和圆.

例7 （海南卷）如图10，已知AB是[⊙O]的直径，CD是弦，若[∠BCD=36°，] 则[∠ABD]等于（    ）.

（A）54° （B）56°

（C）64° （D）66°

【设计思路分析】圆是一种特殊的曲线图形，借助圆心、半径、直径、弦、弧等圆的组成要素，讨论圆中有关角、点与圆、直线与圆的位置和数量关系是研究的重点. 此题是一道关于圆周角的问题，利用圆周角与所对弧之间的关系，可以转化为[Rt△ABD]中两个锐角互余;利用圆周角与圆心角之间的关系，可以转化为以圆心O为顶点的两个角互补.

类似地，浙江杭州卷第9题，如图11，讨论[∠AED]与[∠AOD]之间的关系，需要将[∠AED]转化为圆周角[∠B，] 与圆心角[∠COD]有关，进而与[∠AOD]有关，在试题给定的 [“OA⊥BC”] 条件下，问题可解. 我们发现，解决圆中有关角的问题，一定要与圆的组成要素建立好联系.

此外，结合垂径定理设置弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，也是经常使用的方法，如陕西卷第9题和湖北荆门卷第7题等.

例8 （辽宁·抚顺卷）如图12，在▱ABCD中，AC是对角线，[∠CAB=90°，] 以点A为圆心，以AB的长为半径作[⊙A]，交边BC于点E，交AC于点F，连接DE.

（1）求证：DE与[⊙A]相切;

（2）若[∠ABC=60°，AB=4，] 求阴影部分的面积.

【设计思路分析】点、線、角均是三角形、四边形、圆等基本图形的组成要素，自然使这些基本图形发生联系.“直线与圆相切”作为一种特殊的位置关系，也必然成为研究的重点. 此题中，点E既是▱ABCD的边BC上的点，又是[⊙A]的圆周上的点. 第（1）小题中，证明DE与[⊙A]是否相切，取决于半径AE与DE是否具有垂直的位置关系. AE与DE同在[△AED]中，需要结合▱ABCD中组成要素间的关系，这里设计了[“∠CAB=90°”]，借助三角形全等的判定与性质即可;第（2）小题中，围绕点E讨论所生成的新图形（阴影部分）的面积，需要将其转化为[△AEC]和扇形[AEF]面积的差，那么求解面积的值就需要给出相关数量的大小. 于是给出条件[“∠ABC=60°，AB=4”]，这两个量的特殊性，为同时在▱ABCD和[⊙A]中解决问题提供了机会.

类似地，还有安徽卷第20题、浙江温州卷第7题、江苏南京卷第24题、甘肃定西卷第26题等.

例9 （云南卷）如图13，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）. 若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）.

（A）[2] （B）1

（C）[22] （D）[12]

【设计思路分析】此题以正方形为背景，依托正方形画出扇形，并在此基础上围成圆锥，将正方形的性质、扇形面积、扇形与圆锥侧面展开图之间的关系有效融合，体现了知识间的联系与综合. 计算与扇形面积有关问题的，还有浙江宁波卷第14题和内蒙古呼和浩特卷第11题.

关于正多边形，多数试题均指向与正多边形内角和外角有关的问题，如北京卷第5题、福建卷第15题、河北卷第18题、江苏无锡卷第5题、山东烟台卷第14题、广东东莞卷第12题等. 此外，由于正多边形具有一些类似于圆的性质，正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念与圆密切相关，指向这类问题的设计，可以较好地体现正多边形的特性，如江苏徐州卷第16题.

2. 用好尺规作图，关注生成过程中的事实与依据

从能够使用无刻度的直尺和圆规完成基本作图开始，到能够感知作图过程中尺规可以生成图形的基本事实，在获得新的几何研究对象的同时，能够进一步明确新的位置和数量关系，并了解其中的数学依据，是命制这部分试题的重要方面.

（1）能利用尺规完成基本作图.

例10 （陕西卷）如图14，已知[△ABC，AC>AB，] [∠C=45°，] 试用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使[∠PBC=45°.]（保留作图痕迹，不写作法.）

【设计思路分析】尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.《标准》要求能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过一点作已经直线的垂线.

此题的设计是“作一个角等于已知角”，属于基本作图. 如图15，可以直接在BC的上方作[∠PBC=∠C，] 交AC于点P，则点P即为所求. 由于试题给定角的位置和大小的特殊性，结合等腰三角形的性质，也可以“作一条线段的垂直平分线”，如图16，作BC的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求;结合直角三角形的两个锐角互余，还可以“过一点作已知直线的垂线”，如图17，作[BP⊥AC，] 垂足为点P，则点P即为所求. 不同的作图方法可以集中于对同一问题的解决，给定“[∠C=45°]”是关键，这为学生选用不同的解题方案创造了条件，更为我们的尺规作图教学提供了优秀的资源.

（2）能解决基本作图后的问题.

例11 （广东卷）在菱形ABCD中，[∠A=30°，] 取大于[12AB]的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图18所示），连接BE，BD，则[∠EBD]的度数为_______.

【设计思路分析】尺规作图与图形的判定有着本质的联系，作图过程中所确定的位置与数量关系，就可以作为图形所具有的基本事实. 此题将点E的生成蕴含在“作一条线段的垂直平分线”基本作图之中，垂直平分线的性质自然能够成为求解相关问题的条件，应用这个条件，再结合等腰三角形、菱形、平行线的性质等，即可得到角与角之间的关系.

类似地，通过给出尺规作图的痕迹，求解关于角的计算问题的试题还有很多. 例如，广西南宁卷第7题设计了“作一个角的平分线”的基本作图;湖北襄阳卷第7题、宁夏卷第14题和山东潍坊卷第15题，均同时设计了“作一个角的平分线”和“作一条线段的垂直平分线”的基本作图. 另外，广东深圳卷第8题设计的“作一个角的平分线”，辽宁抚顺卷第16题设计的“作一条线段的垂直平分线”，均是通过给出“尺规作图的痕迹”求解关于边的计算问题.

例12 （四川·达州卷）如图19，点O在[∠ABC]的边BC上，以OB为半径作[⊙O，] [∠ABC]的平分线BM交[⊙O]于点D，过点D作[DE⊥BA]于点E.

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形;

（2）判断[⊙O]与[DE]交点的个数，并说明理由.

【设计思路分析】此题需要学生根据试题的描述独立完成尺规作图的过程. 第（1）小题中，完成“作一个角的平分线”和“作一条线段的垂直平分线”如图20所示;第（2）小题要求判断[⊙O]与DE交点的个数，就是判断基本作图后所生成的图形之间的位置关系，连接OD，结合之前基本作图中已确定的位置关系，可得[∠ODE=90°，] 即DE与[⊙O]相切，只有1个交点.

像这样，先给出作图步骤，再根据基本图形确定好的位置关系，附加角的大小或线段的长度，解决相关的计算问题的试题，还有甘肃定西卷第21题、江苏扬州卷第17题和无锡卷第24题.

（3）能了解作图中的数学依据.

例13 （山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

办法一：如图21，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD = 30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40 cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°.

办法二：如图22，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R. 然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS = MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS = 90°.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… ]

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是____________________________.

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS = 90°.

（3）① 尺规作图：试在图23的木板上，过点C作出AB的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）

② 说明你的作法所依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）

【设计思路分析】如同几何证明要做到“言必有据”一样，作图也要做到有根有据. 此题主要涉及作图的依据. 显然，第（1）小题是勾股定理的逆定理;第（2）小题，由操作过程获得角与线段，依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得[∠RCS=90°];第（3）小题，第①问属于“过一点作已知直线的垂线”基本作图，第②问依据的是“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”或“三边分别相等的两个三角形全等”或“等腰三角形的三线合一”. 可见，此题以完成任务单的方式，由给定作图方法寻找依据，由操作过程推理数学结论，由独立作图说明依据的数学定理或基本事实，逐层递进，将尺规作图的内容和要求呈现得特别自然、完整，且合理、深刻.

类似地，湖南长沙卷第19题设计了求作已知角的平分线及其作图的依据;湖北荆州卷第13题设计了求作[△ABC]的外接圆及其作图的依据.

3. 强化内在联系，把握研究方法之中的特殊与一般

研究基本图形的基本性质，是“图形的性质”部分的重要内容，对其研究策略的提炼与迁移更是重中之重. 在探寻图形的位置和数量关系中，在将图形特殊化或一般化的过程中设计问题情境，是命制这部分试题的常用方法.

（1）位置和数量的关系.

例14 （黑龙江·牡丹江卷）在等腰三角形[ABC]中，[AB=BC，] 点D，E在射线[BA]上，[BD=DE，] 过点E作EF∥BC，交射线CA于点[F]. 试解答下列问题.

（1）当点E在线段AB上，CD是[△ACB]的角平分线时，如图24，求证：[AE+BC=CF.]（提示：延长CD，FE交于点M.）

（2）当点E在线段[BA]的延长线上，CD是[△ACB]的角平分线时，如图25;当点E在线段BA的延长线上，CD是[△ACB]的外角平分线时，如图26，试直接写出线段[AE，BC，CF]之间的数量关系，不需要证明.

（3）在（1）（2）的条件下，若[DE=2AE=6]，则[CF]的长为_______.

【设计思路分析】图形中，由于几何要素相对位置的不同，其数量关系也会有所不同. 有时，虽然位置改变，但存在某种数量关系保持不变的情况，“变化中的不变性”往往是数学研究中重要的内容. 此题中，点[E]有三种不同的位置，按照题干中约定的构图方式，“当点[E]在线段[AB]上，[CD]是[△ACB]的角平分线时”“当点[E]在线段[BA]的延长线上，[CD]是[△ACB]的角平分線或外角平分线时”，均存在相同的数量关系[“AE+BC=CF”]. 同时，第（1）小题求解的思路和方法，对于第（2）小题具有很好的提示和借鉴作用;第（3）小题中，将线段赋值后，利用不同位置关系情况下线段之间不变的数量关系，即可得出结论.

（2）特殊和一般的关系.

例15 （浙江·绍兴卷）问题：如图27，在[△ABD]中，[BA=BD.] 在[BD]的延长线上取点[E，C，] 作[△AEC，] 使[EA=EC]. 若[∠BAE=90°，] [∠B=45°，] 求[∠DAC]的度数.

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“[∠B=][45°]”去掉，其余条件不变，那么[∠DAC]的度数会改变吗？说明理由.

（2）如果把以上“问题”中的条件“[∠B=45°]”去掉，再将“[∠BAE=90°]”改为“[∠BAE=n°]”，其余条件不变，求[∠DAC]的度数.

【设计思路分析】将问题的条件不断弱化，探寻几何要素之间的关系，也是研究几何图形的重要方法之一. 此题“问题”中的[△ABE]是等腰直角三角形;“思考”第（1）小题中，[△ABE]是直角三角形;“思考”第（2）小题中，[△ABE]是一般三角形，随着[△ABE]不断的一般化，讨论[∠DAC]的大小，只要围绕着它的位置建立角与角之间的数量关系就可以了. 在特殊情况下获得某种结论，当减少其中某些特殊因素时，并没有影响到结果的获得，甚至没有影响到所建立起来的关系的改变，从而使相关问题的研究更趋近于图形的本质属性. 这样的设计体现了研究问题的一般思路和方法.

类似地，江苏连云港卷第27题，是通过改变图形“背景”的方式，讨论所构成图形的面积之间的数量关系，研究的方法仍然需要经历将图形一般化或特殊化的过程.

4. 彰显文化内涵，实现图形与几何内容的育人价值

（1）以七巧板设置情境.

例16 （山东·威海卷）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案. 小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图28）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图29）. 已知[AB=40 cm，] 则图中阴影部分的面积为（    ）.

（A）25 cm2 （B）[1003]cm2

（C）50 cm2 （D）75 cm2

【设计思路分析】七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”. 此题中的七巧板由5个等腰直角三角形、1个平行四边形和1个正方形组成，在切割、制成的过程中，基于这些图形中边、角之间的关系，可以获得一些数量关系. 当赋予最初硬纸板一条边的长度时，利用相关数量关系，即可得到七巧板中任何一条线段的长. 可见，以七巧板为情境设计问题，可以更加突出“组合图形”中几何要素之间相互依存的关系，也进一步体现了其美学价值.

像这样，以七巧板为情境设计试题的，还有山东烟台卷第9题、浙江湖州卷第10题和浙江衢州卷第14题.

（2）以勾股定理为素材.

例17 （湖北·随州卷）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理. 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图30），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）① 试叙述勾股定理;

② 勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，试从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理.（图30 ～ 32均满足证明勾股定理所需的条件.）

（2）① 如图33，34，35，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足[S1+S2=S3]的个数有_______.

② 如图36，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为[S1，S2，] 直角三角形面积为[S3，] 试判断[S1，S2，S3]的关系并证明.

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图37所示的“勾股树”. 在如图38所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知[∠1=∠2=∠3=][∠α，] 则当[∠α]变化时，回答下列问题.（结果可用含m的式子表示.）

①[a2+b2+c2+d2]的值为_______;

② b与c的关系为_______，a与d的关系为_______.

【设计思路分析】勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之一，反映了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条重要性质. 勾股定理把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系[a2+b2=c2，] 使形与数密切相关.

此题的设计参考了人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册教师教学用书第十七章勾股定理拓展资源中的相关内容. 从介绍我国古代对勾股定理的杰出贡献开始，第（1）小题要求先写出勾股定理的内容，再结合已给出的三种图式（均满足证明勾股定理所需的条件）任选一种证明该定理，图30即为“赵爽弦图”，三种证法均可以利用图形中面积之间的关系;第（2）小题，将直角边和斜边上分别向外部作正方形的情况，换成向外部作半圆、等边三角形，以及作成两个月形的图案，再次探究图形面积之间的关系，提供了形式（依托直角三角形三边改造新的图形）与内容（新图形面积之间的数量关系）的研究思路与方法，其结论 [“S1+S2=S3”] 的统一性，更使得这样的设计堪称完美;第（3）小题中，当直角三角形的锐角发生变化时，从直角三角形的直角边依次生成的正方形边长之间的关系，均可以用直角三角形的斜边的长m表示，进一步詮释了经典的魅力.

以“赵爽弦图”为素材进行试题设计的，还有浙江金华卷第10题、湖北孝感卷第15题、湖南娄底卷第18题等. 此外，宁夏卷第12题选取了我国古代数学经典著作《九章算术》中记载的“圆材埋壁”问题，湖南株洲卷第18题选取了《汉书·律历志》中记载的问题，山东枣庄卷第20题以著名的欧拉公式为素材进行命制.

依托经典，呈现研究几何问题的一般思路和方法，揭示了作为一门科学的数学所表现出来的文化特征及应有价值.

三、模拟试题欣赏

1. 已知直线[l1∥l2]，将一块含30°角的直角三角板按如图39所示放置，若[∠1=27°，] 则[∠2]的度数等于（    ）.

（A）3° （B）33°

（C）43° （D）63°

参考答案：B.

提示：根据相交线构成的对顶角相等、平行线构成的内错角相等，以及直角三角板所含角的大小即可求解.

2. 已知三角形的三边长分别为a，b，c. 为求它的面积S，中外数学家曾经进行过深入研究. 古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出了海伦公式[S=pp-ap-bp-c]，其中[p=a+b+c2];我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261年）提出了秦九韶公式[S=12a2b2-a2+b2-c222]. 若一个三角形的三边长分别为[12， 12， 13]，则这个三角形的面积是（    ）.

（A）[26] （B）[29]

（C）[218] （D）[236]

参考答案：C.

提示：取[a=12]，[b=13]，[c=12]，代入秦九韶公式.

3. 在[△ABC]中，[AB=AC，] 作[∠BAC]的平分线AM交BC于点D，作边AB的垂直平分线EF，与AM交于点P，作图痕迹如图40所示，连接PB，PC，若[∠ABC=]72°，则有下列结论：①[PA=][PB=PC;] ②[∠BAD=∠CAD=18°;] ③[∠BPC=72°;] ④ PB平分∠CPE.

其中，正确结论的个数是（    ）.

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

参考答案：D.

提示：由已知，得△ABC，△PBC，△PAB，△PAC均是等腰三角形，再结合“三角形内角和为180°”，以及角平分线的性质、等腰三角形的性质等，可得相关角的度数.

4. 如图41，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若E，F分别为AO，AD的中点，[AC=12，] 则EF的长为_______ .

参考答案：3.

提示：根据EF为[△AOD]的中位线，[OD=12BD]，[BD=AC]求解.

5. 如图42，六边形[ABCDEF]的六个内角都相等，若[AB=1]，[BC=CD=3]，[DE=2]，则这个六边形的周长等于_______.

参考答案：15.

提示：将六边形[ABCDEF]补成一个等边三角形，由已知可得这个等边三角形的边长为8. 于是，[EF=2]，[AF=4]. 所以，这个六边形的周长等于15.

6. 在[⊙O]中，[AB]为直径，[C]为[⊙O]上一点.

（1）如图43，过点[C]作[⊙O]的切线，与[AB]的延长线相交于点[P]，若[∠CAB=27°]，求[∠P]的度数;

（2）如图44，[D]为[⊙O]上一点，且[OD]经过[AC]的中点[E]，连接[DC]并延长，与[AB]的延长线相交于点P，若[∠CAB=10°]，求[∠P]的度数.

参考答案：（1）36°;（2）30°.

提示：（1）连接[OC]，在⊙[O]中，[∠COB=2∠CAB];在[Rt△OPC]中，[∠P=90°-∠COP].

（2）由已知，得[∠ACD=12∠AOD][=1290°-∠EAO].再根据[∠ACD]是[△ACP]的外角，得[∠P=∠ACD-∠CAP].

7. 如图45，在正方形[ABCD]中，点[P]是对角线[BD]上的一点，点[E]在[AD]的延长线上，且[PA=PE]，[PE]交[CD]于点[F].

（1）证明：[PC=PE];

（2）求[∠CPE]的度数;

（3）如图46，把“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，当[∠ABC=120°]时，连接[CE]，试探究线段[AP]与线段[CE]的数量关系，并说明理由.

参考答案：（1）略;（2）90°;（3）[AP=CE].

提示：（1）在正方形[ABCD]中，因为[AB=BC]，[∠ABP=∠CBP]，所以[△ABP≌△CBP]. 进而得到相关线段的关系.

（2）在[△PCF]中，[∠CPF]与[∠PCF，∠CFP]相关，[∠PCF]在正方形[ABCD]中，可借助第（1）小题的结论，得[∠PCF=∠DAP=∠E.] 又因为[∠CFP=∠EFD]，问题转化为与[△DEF]中的[∠EFD]与[∠E]相关. 由[△DEF]是直角三角形，得[∠EFD+∠E=90°][，] 即[∠CPE=90°].

（3）同（1）和（2），[∠CPF]与[△DEF]中的[∠EFD]和∠E相关. 在菱形ABCD中，由已知的[∠ABC=120°，] 得[∠CDE=60°]，即[∠CPE=60°]. 可得[△EPC]是等边三角形，进而[AP=CE].

综上，基于对2020年中考“图形的性质”专题命题的分析，可以看到，试题重点围绕基本图形的基本性质，突出了组成图形的基本要素（边、角）或相关要素（对角线）之间的位置关系和数量关系，关注了通过尺规作图可以生成图形的过程中的数学依据. 同时，将不同的图形进行有效的联系与综合，在定性与定量的描述中，充分彰显了研究几何图形特殊化、一般化的策略和方法. 由此體会到，抓住要素，可以进而有为;强化联系，才会彼此借力;聚焦核心，方能行稳致远.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘金英，张义民. 以学生发展为导向的命题研究：2016年中考数学试题“图形的性质”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（1 / 2）：75-83.