夯实基础 回归教材

杨剑文　弓毅

摘  要：结合2020年全国各地区中考试卷中“数与式”部分的试题，基于试题与教材的联系，从教材例、习题与中考试题关系的角度，研究试题背景，挖掘试题源头，分析试题结构，定位试题走向，剖析学生的解题情况，为复习备考提出针对性的解题策略和教学建议.

关键词：解题分析;思想方法;复习启示

“数与式”内容涉及实数、整式、因式分解、分式、二次根式，以概念、性质、运算法则和运算能力检验学生对“数与式”内容的基础知识与基本技能的掌握情况，以及学生的基本数学素养. 通过分析2020年全国各地中考试题“数与式”部分所考查的数学基本概念、原理和解题方法，发现大量试题源于教材，主要是对教材例、习题的变式、整合、改编、挖掘和再创造. 由于“数与式”部分涉及的知识点较多，本文针对每种类型、每个知识点只选择有代表性的试题进行分析，主要研究试题背景，寻找试题源头，提炼思想方法，探究“数与式”这部分内容的试题走向，供大家参考.

一、试题分析

1. 教材例、习题

例1 （湖北·武汉卷）实数-2的相反数是（    ）.

（A）2   （B）-2

（C）[12] （D）[-12]

答案：A.

【评析】此题源自人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）七年级上册第10页，教材表述为“-2的相反数是2”，考查了相反数的概念. 关于相反数的概念，从“数”的角度来看，只要抓住符号相反即可，即a的相反数为-a;从“形”的角度看，需要抓住“在数轴上，到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数”的特征.

例2 （福建卷）计算：[-8]等于       .

答案：8.

【评析】此题源自人教版教材七年级上册第11页练习第1题，考查了绝对值的计算. 关于绝对值的概念，从“数”的角度分析，一个负数的绝对值等于它的相反数;从“形”的角度分析，在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.

例3 （江苏·镇江卷）[23]的倒数等于      .

答案：[32].

【评析】此题源自人教版教材七年级上册第30页练习第3题“写出[23]的倒数”. 倒数的概念要紧抓“乘积是1的两个数互为倒数”的特征.

例4 （湖南·长沙卷）[-23]的值等于（  ）.

（A）-6 （B）6

（C）8 （D）-8

答案：D.

【评析】此题源自人教版教材七年级上册第47页习题1.5第1题第（5）小题“计算-[-23]”. 例4考查了乘方的概念，要注意有理数的乘方是依据乘方定义进行计算，即正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 计算时要注意符号变化和指数的变化.

例5 （贵州·铜仁卷）实数a，b在数轴上对应的点的位置如1图所示，下列结论正确的是（  ）.

（A）a > b （B）-a < b

（C）a > -b （D）-a > b

答案：D.

【评析】此题源自人教版教材七年级上册第52页复习题第10题，考查利用数轴比较数的大小. 解决数轴上的问题，要理解实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上左边的数总小于右边的数.

例6 （湖南·衡阳卷）要使分式[1x-1]有意义，则x的取值范围是（    ）.

（A）x > 1     （B）x ≠ 1

（C）x = 1   &nbsp; （D）x ≠ 0

答案：B.

【评析】此题源自人教版教材八年级上册第128页例1第（2）小题“分式[xx-1]中的字母满足什么条件时分式有意义”，考查了分式有意义的条件. 分式有意义时，分母的整式不能等于0.

从以上例子可以看出，很多中考试题就是教材中的原题. 这对我们做好中考复习有很大的启迪意义，即应重视教材、用好教材. 因为数学思想的渗透是以数学概念和定理为载体，所以要能够识别出试题中考查的定义、基本概念和基本性质，从基础内容入手，层层推进.

2. 教材例、习题的改编题或变式题

例7 （湖南·湘潭卷）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为        .（任意寫一个即可.）

答案：3.（答案不唯一，3，2，1，0，-1，-2，-3，任意一个均可.）

【评析】此题是对人教版教材七年级上册第24页探究的变式，考查了数轴、绝对值等知识，运用数形结合思想分析问题是解题的关键.

例8 （四川·甘孜州卷）气温由-5℃上升了4℃时的气温是（    ）.

（A）-1℃   （B）1℃

（C）-9℃ （D）9℃

答案：A.

【评析】此题源自人教版教材七年级上册第18页练习第1题第（1）小题“用算式表示温度由-4℃上升7℃”，考查了有理数加法的应用. 解决此类题目要理论结合实际，明确有理数加法法则的算理.

例9 （浙江·嘉兴卷）比较[x2+1]与2x的大小.

（1）尝试（用“<”“=”或“>”填空）：

① 当x = 1时，[x2+1]       2x;

② 当x = 0时，[x2+1]       2x;

③ 当x = -2时，[x2+1]       2x;

（2）归纳：若x取任意实数，[x2+1]与2x有怎样的大小关系？试说明理由.

答案：（1）① 当x = 1时，x2 + 1 = 2x;

② 当x = 0时，x2 + 1 > 2x;

③ 当x = -2时，x2 + 1 > 2x.

（2）x2 + 1 ≥ 2x.

理由：因为x2 + 1 - 2x =[x-12]≥ 0，

所以x2 + 1 ≥ 2x.

【评析】此题是对人教版教材八年级上册第112页习题14.2第7题的创新，教材表述为“已知[a+b=5，] [ab=3，] 求[a2+b2]的值”，教材考查的是完全平方公式的运用，实质就是配方法. 例9通过比较式子的大小，呈现从数字到字母，字母可以表示数并参与运算，数字是字母的具体化. 数字与字母之间相互转化，体现了从特殊到一般的思想，注重数学思想的渗透.

例10 （贵州·黔西南州卷）先化简，再求值：[2a+1+a+2a2-1]÷[aa-1]，其中a =[5]- 1.

答案：原式 =[3a+1]=[355].

【评析】此题是对人教版教材八年级上册第141页例8第（2）小题的改编. 教材中给出的表述为“计算[x+2x2-2x-x-1x2-4x+4]÷[x-4x]”. 这反映出在平时的备考过程中，无论是分式，还是分式方程，都要找到相关联的知识——分数和整式方程. 要做好类比学习，其实就是找到学生知识的最近发展区，便于知识迁移，找到知识间的区别与联系，才能融会贯通. 在进行分式的运算时，注意先将分子和分母分别因式分解，以便约分或寻找最简公分母;在求值时，要注意条件给出的字母范围.

例11 （广东·深圳卷）计算：[13-1]- 2cos 30° +[-3]-[4-π0].

答案：原式 = 3 -[3]+[3]- 1 = 2.

【评析】此题是人教版教材九年级下册习题28.1第3题、八年级上册第145页练习1与七年级下册习题6.3第5题的整合，考查整数指数幂、锐角三角函数、绝对值、幂的运算. 确定运算顺序是此类计算的算理核心，即先从左向右依次计算，再把它们的结果相加.

以上部分中考试题是对教材例题和习题的变式题、改编题、整合题、提升题. 中考试题中有很多源于教材的改编题目，要正确理解和处理教材中的例题和习题，领悟数学思想的渗透，才能在复习中达到事半功倍的效果. 中考试题为学生的数学学习甚至理科学习奠定基础，它为学生提供了解决问题的思想、途径、方法、方向，真正实现知识的应用价值.

3. 与生活息息相关，注重对数学素养考查的试题

例12 （河北卷）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果. 已知A，B两区初始显示的分别是25和-16，如图2. 如，第一次按键后，A，B两区分别显示如图3所示.

（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果;

（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，试判断这个和能为负数吗？说明理由.

答案：（1）A区：25 + a2 + a2 = 25 + 2a2，

B区：-16 - 3a - 3a = -16 - 6a.

（2）不能为负数.

25 + 4a2 +[-16-12a]= 4a2 - 12a + 9.

因为4a2 - 12a + 9 =[2a-32]≥ 0，

所以不能是负数.

【评析】此题是对人教版教材七年级上第68页例7实际问题的改编、再创造，考查了整式的加减及完全平方公式的应用. 解决此类问题的关键是先明确运算顺序，再观察结构来确定算理.

中考试卷中，很多与生活息息相关的试题同样“源于教材，又高于教材”. 理解中考试题的科学性，是认识客观世界的途径之一，并能学会以数学的眼光观察世界，用数学方法解决现实问题. 发展学生的数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力，这其实就是培养学生的数学素养，为学生的终身发展奠定基础.

4. 反映时代背景，源于教材又高于教材的试题

例13 （湖南·邵阳卷）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全球知识产权的北斗导航系统全面建成，据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3 450亿元，较2018年增长14.4%，其中，3 450亿元用科学记数法表示为（  ）.

（A）3.45 × 1010 （B）3.45 × 109

（C）3.45 × 103 （D）3.45 × 1011

答案：D.

【評析】此题是对人教版教材八年级上册第145页例10的改编. 对于科学记数法的考查，各地中考试题百花齐放. 大数据既体现出科技的力量，也体现出祖国的强大实力，彰显民族自豪感. 科学记数法的考查要注意形式为[a×10n]，其中[1≤a<10]，n为整数. 特别是记住亿为108，万为104.

例14 （湖南·长沙卷）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”. 这个节日的昵称是“π Day”. 国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字. 在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年. 以下对圆周率的四个表述：① 圆周率是一个有理数;② 圆周率是一个无理数;③ 圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比;④ 圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比. 其中表述正确的序号是（  ）.

（A）②③ （B）①③

（C）①④ （D）②④

答案：A.

【评析】此题考查无理数，要掌握圆周率π是一个无理数，它也可以用数轴上的点来表示.

很多反映时代背景的中考试题，以我国的经济、政治、文化等为载体，目的是培养学生的爱国情怀和社会责任感，考查学生获取信息、阅读素养、数学建模、迁移运用、分析问题和解决问题的能力. 此类试题阅读量大、信息多，需要学生在解决问题的过程中把握数学知识的本质，抽象概括出数学模型解决问题. 在数学教学中渗透爱国主义教育是非常有必要的，当然我们也要注意不能喧宾夺主，要“润物细无声”的教育，这是时代赋予数学教师的责任.

二、解法分析

通过对2020年全国各地区中考试题进行分析研究，发现对“数与式”内容的考查主要体现在对基础知识和基本技能的掌握上. 随着课程改革的深入推进，中考试题也逐步关注到数学思想方法、基本活动经验，关注数学思考和数学本质，关注学生发现、提出、分析和解决数学问题的能力.

1. 整体变换思想

整体变换是重要的数学思想方法，在初中数学解题中有着广泛的应用. 在中考复习备考中，特别是在教学教材上的例题和习题时，若采用蜻蜓点水式的教学，即使教师点到了整体思想，也缺乏适度理性化的、较为深入的渗透. 讲解试题要追究“为什么这样做”，要引导学生深度思考，举一反三，并配备相应的复习内容，把知识内化为学生的解题能力.

例15 （甘肃·天水卷）已知a + 2b =[103]，3a + 4b =[163]，则a + b的值为________.

答案：1.

此题可以有如下两种解法.

方法1：整体代换法，用方程3a + 4b =[163]减去方程a + 2b =[103]，即可得出2a + 2b = 2. 进而得出a + b = 1.

方法2：把a，b当成未知数，解关于a，b的二元一次方程组，求a，b的值.

【评析】此题是对人教版教材七年级下册第97页思考第（2）小题的改编，考查了二元一次方程的解法和整体代换思想.

例16 （四川·成都卷）已知a = 7 - 3b，则代数式a2 + 6ab + 9b2的值为    .

答案：49.

【评析】此题是对人教版教材八年级上册第112页习题14.2第7题的改编，考查了乘法公式的运用. 解题时，可以先将[a2+6ab+9b2]分解成[a+3b2]，运用整体思想进行代数式求值. 也可以直接将[a=7-3b]代入[a2+6ab+9b2]来解题. 解题的关键是将原式变形，运用整体代入则可以简化运算，减少计算操作步骤.

2. 分类讨论思想

应用分类讨论思想，能够有效激发学生解题的兴趣，锻炼学生解题的思维，从而提高学生的解题效率和准确率. 教材上类似的例、习题已经达到中考要求，教师将例题讲解到位，学生跟着例题模仿练习，“示范 + 训练”教学模式一定会取得效果.

例17 （浙江·杭州卷）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元;超过5千克的部分每千克加收2元. 圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（  ）.

（A）17元 （B）19元

（C）21元 （D）23元

答案：B.

【评析】此题是对人教版教材七年级上册第104页探究3的改编. 教材原题难度较大，学生如果掌握了教材原题，解决例17这样的问题肯定没有问题. 解决此题的关键是求出不超过5千克和超过5千克两个部分的函数关系式. 此类源于生活的问题，可以开拓学生的视野，激发学生学习数学的兴趣.

3. 数形结合思想

“数”和“形”属于数学学习中的两大重要部分，数形结合是以形显数和以数表形的解题过程，通过其形成的解题框架，可以巧妙地将抽象且难以理解的数学信息简单化.

例18 （贵州·毕节卷）如图4（1），大正方形的面积可以表示为[a+b2]，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2 + 2ab + b2. 同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式[a+b2]= a2 + 2ab + b2.

把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

（1）用上述“面积法”，通过图4（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式;

（2）如图4（3），Rt△ABC中，∠C = 90°，CA = 3，CB = 4，CH是斜边AB边上的高，用上述“面积法”求CH的长;

（3）如图4（4），等腰三角形ABC中，AB = AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM + ON = CH.

解：（1）x2 + 5x + 6 =[x+3x+2].

（2）在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =[AC2+BC2]= 5.

所以CH =[AC · BCAB]=[125].

（3）在等腰三角形ABC中，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，

因为[12]AB·CH =[12]AB·OM +[12]AC·ON，且AB = AC，

所以OM + ON = CH.

【评析】此题是对人教版教材八年級上册第109页思考题的提升，考查学生的阅读理解能力. 对于此题，解决第（1）小题是关键，为第（2）小题和第（3）小题做铺垫. 在平时的复习教学中，教师应注重对学生阅读理解、数形结合能力的培养. 很多时候学生不是不会解此类型的题，而没有读懂题意.

三、试题启示

2020年中考“数与式”试题的考查重点为数与式的定义、运算法则、运算律及基本算理. 因此，在平时的教学中，教师要多关注学生的计算能力，引导学生关注数学思想方法、社会热点及数学文化.

1. 理解教材中的例题和习题，尊重学生的已有认知

现代认知心理学研究表明，学习实际上是新、旧知识相互作用的过程. 在“数与式”内容的复习中，如何夯实学生数与式的知识基础，使学生掌握相应的思想方法，直接关系到后续对方程、不等式、函数等知识的学习. 教材中有关数与式概念及法则的例、习题，要让学生经历由具体的数到抽象的量、再到具有一般意义的式的抽象过程，并结合具体背景或意义抽象出数学概念和法则，在学习方法上学会“化新为旧”. 教材例题是“源”，要尊重学生的已有认知基础，教材例题后的练习、习题、复习题及综合训练题是“流”，要充分利用学生认知中的稳定部分、可辨别部分，对原有知识进行同化，形成新的认知结构、基本技能，掌握基本分析方法.

2. 挖掘教材例、习题的基本功能，研究习题生长环境

综观2020年全国各地中考试卷，发现很多“数与式”部分的试题都是直接源于教材，或是对教材例、习题的改编，或是几道例题和习题、几种方法的串联、综合与拓展. 在学习数系及其运算的扩充、由数到式的过程中，要将其与数进行类比，研究类比数的运算法则、运算顺序及运算律，要挖掘例、习题的基本教育功能，研究例、习题生长环境，增加例、习题的梯度，设置问题串，启发、推进讨论方向等，进而提高题目的灵活性和综合性.

3. 加深对教材例题和习题的讲解，重视问题有效性，达到高效复习

对于数与式例、习题的讲解，要感悟数式运算中的通性、通法，通过题组与变式练习，进行一题多变（创新性）、一题多解（灵活性）、多题一解（普适性）的适度训练，提升学生的数学运算能力. 在教师讲解过程中，学生会有提问，这时教师要注意有层次性地提问，引起学生注意怎样回忆知识点，怎样提升对问题的理解，怎样掌握应用方向，从而提升习题讲解的有效性. 教师要给学生有“做一题、通一类、会一片”的感受，这样课后就有了延续性.

4. 关注课程标准，提升试题理解力

“数与式”内容的知识及思想方法是“数与代数”最基础的部分，是后续学习方程、不等式的根本. 根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对“数与式”内容的要求，挖掘数和式的背景，提炼数学思想方法，既要提高学生的运算能力，又要提高运算的思维水平. 研究中考试题，不难发现很多试题源自教材例、习题，可见，备考时回归教材、关注《标准》是非常重要的.

5. 关注数学学科核心素养的提升

教师要吃透“数与式”内容中蕴涵的数学思想，关注学生数学学科核心素养的提升，将数学学科核心素养渗透到教学和复习的每一个环节，注重对学生的数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象、数据分析素养的培养. 通过数学史的介绍和数学文化的熏陶，使学生对数学知识的发生、发展过程有所了解，既教书又育人，落实立德树人.

四、结束语

通过对2020年中考“数与式”试题的分析，反思在今后的教学与备考中，要重视教材例、习题. 在教学中，教师要引导学生理解运算对象，掌握运算法则，明确运算思路，从而获得正确的解题结果. 作为数学教师，要把握复习策略，寻找简明的解决问题的方法，培养学生的数学思维品质，提升情感、态度与价值观.

参考文献：

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