借助函数思想 解答数学难题

戴涓涓

摘 要：在高中数学知识体系中蕴含着不少数学思想，主要包括知识性与思维性两大类，函数思想则属于知识性思想方法之一，即为以函数的观点分析和处理数学题目，让学生根据题意建立出函数模型，使其借助函数思想解答数学难题，由此提高他们的数学解题水平.

关键词：函数思想;数学难题;不等式;数列

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0018-02

函数思想是解决数学问题的一种惯用思想方法，运用函数思想处理的题目往往有着共同属性，那就是定量和变量之間的联系.在高中数学解题教学中，函数思想占据着异常重要的地位，教师可根据题目实际情况指导学生灵活运用函数思想，使其将函数的性质与解题当作主要解题思路，把两种不相干的知识联系在一起，促使他们快速、正确的解答数学难题.

一、借助函数思想解答方程难题

高中生从小学时期就开始接触到方程求解类的题目，一开始难度一般，随着教育阶段的提升，解方程的难度系数越来越高，对他们的知识基础与思维方式也要求更高.在高中数学教学中，方程问题的困难程度与复杂性为学生带来一定的困扰，教师可指导他们借助函数思想解答方程难题，根据方程中的未知量和已知量建立函数关系，使其迅速理清解题思路.

例1 在求解方程lgx+x=2时，已知方程的一个解是x1 ，10x +x=2的解是x2 ，求解x1 +x2 的值.

解析

假如按照常规方程法需对两个式子分别解答，直接处理指数函数10x 与对数函数lgx的计算量比较大，教师应指引他们仔细观察这两个方程式的基本结构，发现能使用指数函数与对数函数的图象性质求出答案.又如：解方程（x2 -x+1）5 -x5 +4x2 -8x+4=0.分析：题目中是一个一元五次方程，先变形再采用函数性质解决起来比较容易.解：原式变形（x2 -x+1）5 +4（x2 -x+1）=x5 +4x，因为函数f（t）=t5 +4t在R上单调递增，又因为f（x2 -x+1）=f（x），则x2 -x+1=x，解得x=1，即原方程有唯一实数解为x=1.

在高中数学处理方程问题时，学生运用函数思想通常可以便捷、快速的求出答案，使他们解题思路变得清晰起来，不仅能够降低解方程的难度，还可以提升解方程的质量与效率.

二、用函数思想解答不等式难题

高中数学教学中的不等式问题，一般是通过>、≥、<、≤等数学符号建立的不平等逻辑关系式，在高考中也占据着一定的分值.面对不等式中的难题，高中数学教师可指导学生使用函数思想建立出合理的函数逻辑关系，把不等式问题转变成函数问题，再通过解方程的常规手段将不等式的右半部分变成0，最后求出不等式的左半部分，辅助他们解答难题.

例2 已知a、b、c∈R，且它们的绝对值均比1小，求证ab+bc+ca+1≥0.

解析 学生在看到这道题目时，往往只关注已知条件，发现无从下手，假如换一个角度分析，利用函数思想把证明ab+bc+ca+1≥0转化成函数中的性质，他们就能够很轻松的解决.具体证明方法如下：设f（a） =ab+bc+ca+1，得到一个关于a的一次函数，因为a、b、c∈[-1，1]， 所以f（1）=b+bc+c+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1）≥0，f（-1）=-b+bc-c+1=-b（1-c）+（1-c）=（1-b）（1-c）≥0，得知f（a）在[-1，1]上恒为负数，则ab+bc+ca+1≥0.

上述案例，处理该题的关键点在于学生要具有一定的函数意识，他们通过函数思想的应用构建出一次函数模型，使其根据一次函数的单调性性质展开证明，最终准确解答这一难题.

三、运用函数思想解答数列难题

数列本身就可以看成一类特殊的函数，由于数列内含有具有一定规律的数字，解题时运用函数思想，把每一项都看作函数的量，借助函数思想求出数列的通项公式，由此顺利求解.高中生在处理数列类难题时采用函数思想，应当将数列看作一个函数，列出相应的通项公式，结合函数中已知量与未知量之间的关系建立出函数逻辑关系，辅助他们实现求解的目标.

例3 已知等差数列{an }的前n项和Sn =m，前m项和Sm =n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n .

解析 教师可指导学生利用函数思想来分析等差数列前n项和Sn满足的关系从函数视角出发，这是一个必过点（0，0）的二次函数，抓住等差数列求和公式是一种特殊的二次函数这函数思想，将m+n看成一个整体，简化数列的运算量，使其找到突破口.具体解法如下：

设Sn =An2 +Bn（n∈N*），则得到Am2 +Bm=n①，An2 +Bn=m②，①-②得到A（m2 -n2 ）+B（m-n）=n-m，由于题目指出m≠n，则A（m+n）+B=-1，A（m+n）2 +B（m+n）=-（m+n），所以得到Sm+n =（m+n）.

针对上述案例，在解决数列类问题过程中，教师可以引领学生借助函数思想来分析和解答，把复杂的题目变得简便化，使其通过认真观察高效、轻松的解题，突破数列难题的困扰.

四、应用函数思想解答几何难题

函数思想指的是运用函数概念与性质分析、转变与求解题目，在高中数学知识体系中，解析几何是也是一大难点，其中求范围和最值问题不仅常见，还不易解答.这时高中数学教师可以引领学生应用函数思想来思考解析几何问题，使其从函数性质推理、判断题目中存在的某些的函数关系，帮助他们确定正确的解题思路，从而有效降低解析几何题目的难度.

例4 已知椭圆G：x24+y2 =1，过点（m，0）作圆x2 +y2 =1的切线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的最大值.

解析 根据题意得知|m|≥1，当m=1时，切线l的方程是x=1，点A、B的坐标是（1，32）和（1，-32），这时|AB|=3;当m=-1时，同理|AB|=3;当|m|>1时， 设切线l的方程是y=k（x-m）与x2 +y2 =1联立可得，（1+4k2 ）x2 -8k2 mx+4k2 m2 -4=0，这是一个明显的二次函数，设A、B的坐标分别为（x1 ，y1 ）与（x2 ，y2 ），则x1 +x2 =8k 2m1+4k2，x1 ·x2 =4k 2m2-41+4k2，又因为l和圆相切，得到|km|k2+1=1，m2 k2 =k2 +1，则|AB|=1+k2|x2 -x1 |=43|m|m2+3，当m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，43|m|m2+3≤2，所以|AB|的最大值为2.

在上述案例中，学生发现本题的命题背景是分式函数，转化后处理成基本对勾函数或不等式模型，题目由双变量变成单变量，这是解题的关键所在.

五、采用函数思想解题向量难题

平面向量指的是在二維平面内既有方向又有大小的量，与普通的标量相比抽象难懂，而且高中生是初次接触平面向量，不仅理论知识学习起来难度较大，他们在解题过程中更是困难重重，极易遇到障碍.为帮助学生正确解答平面向量难题，教师可引导他们采用函数思想分析题干内容，理清题目中已知条件与未知条件之间的关系，使其解决难题、求出答案.

例5 给定两个长度为1的平面向量OA 与OB ，它们之间的夹角成120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，如果OC =xOA +yOB ，其中x、y∈R，那么x+y的最大值是什么？

解析 学生如果直接结合知识求解难度较大，这时可考虑采用“代数法”，把向量OC =xOA +yOB 数量化，运用数量积公式与三角函数知识来求解最值.

设∠AOC=α，把向量式OC =xOA +yOB 数量化，可得到OC ×OA =xOA ×OA +yOB ×OA ①，OC ×OB =xOA ×OB +yOB ×OB ②，然后使用函数思想将原式变形为有关三角函数的式子，即为cosα=x-y2①，cos（120°-α）=-x2+y，由此能够得到x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+30°）≤2，所以说当且仅当α=60°时，x+y有最大值2.

学生使用函数思想这一“代数法”解题，主要考察化归、转化及信息迁移能力，解题关键在于把向量问题变成三角函数问题，建立出x+y的对应函数式，轻松获得答案.

总而言之，在高中数学解题教学实践中，随着知识难度与深度的提升，题目难度系数也随之增加，学生遇到难题的概率越来越高，教师需引导他们学会使用函数思想分析与处理题目，使其合理转化解题思路，找出便捷、高效的解题方法.

参考文献：

[1]张永刚.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].科学咨询（教育科研），2020（06）：81.

[2]李晓冬.高中数学课堂教学中学生解题能力的培养策略分析[J].华夏教师，2020（17）：16-17.

[责任编辑：李 璟]