借助函数思想 解答数学难题

2021-09-10 07:22戴涓涓
数理化解题研究·高中版 2021年4期
关键词:函数思想数列不等式

戴涓涓

摘 要:在高中数学知识体系中蕴含着不少数学思想,主要包括知识性与思维性两大类,函数思想则属于知识性思想方法之一,即为以函数的观点分析和处理数学题目,让学生根据题意建立出函数模型,使其借助函数思想解答数学难题,由此提高他们的数学解题水平.

关键词:函数思想;数学难题;不等式;数列

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)10-0018-02

函数思想是解决数学问题的一种惯用思想方法,运用函数思想处理的题目往往有着共同属性,那就是定量和变量之間的联系.在高中数学解题教学中,函数思想占据着异常重要的地位,教师可根据题目实际情况指导学生灵活运用函数思想,使其将函数的性质与解题当作主要解题思路,把两种不相干的知识联系在一起,促使他们快速、正确的解答数学难题.

一、借助函数思想解答方程难题

高中生从小学时期就开始接触到方程求解类的题目,一开始难度一般,随着教育阶段的提升,解方程的难度系数越来越高,对他们的知识基础与思维方式也要求更高.在高中数学教学中,方程问题的困难程度与复杂性为学生带来一定的困扰,教师可指导他们借助函数思想解答方程难题,根据方程中的未知量和已知量建立函数关系,使其迅速理清解题思路.

例1 在求解方程lgx+x=2时,已知方程的一个解是x1 ,10x +x=2的解是x2 ,求解x1 +x2 的值.

解析

假如按照常规方程法需对两个式子分别解答,直接处理指数函数10x 与对数函数lgx的计算量比较大,教师应指引他们仔细观察这两个方程式的基本结构,发现能使用指数函数与对数函数的图象性质求出答案.又如:解方程(x2 -x+1)5 -x5 +4x2 -8x+4=0.分析:题目中是一个一元五次方程,先变形再采用函数性质解决起来比较容易.解:原式变形(x2 -x+1)5 +4(x2 -x+1)=x5 +4x,因为函数f(t)=t5 +4t在R上单调递增,又因为f(x2 -x+1)=f(x),则x2 -x+1=x,解得x=1,即原方程有唯一实数解为x=1.

在高中数学处理方程问题时,学生运用函数思想通常可以便捷、快速的求出答案,使他们解题思路变得清晰起来,不仅能够降低解方程的难度,还可以提升解方程的质量与效率.

二、用函数思想解答不等式难题

高中数学教学中的不等式问题,一般是通过>、≥、<、≤等数学符号建立的不平等逻辑关系式,在高考中也占据着一定的分值.面对不等式中的难题,高中数学教师可指导学生使用函数思想建立出合理的函数逻辑关系,把不等式问题转变成函数问题,再通过解方程的常规手段将不等式的右半部分变成0,最后求出不等式的左半部分,辅助他们解答难题.

例2 已知a、b、c∈R,且它们的绝对值均比1小,求证ab+bc+ca+1≥0.

解析 学生在看到这道题目时,往往只关注已知条件,发现无从下手,假如换一个角度分析,利用函数思想把证明ab+bc+ca+1≥0转化成函数中的性质,他们就能够很轻松的解决.具体证明方法如下:设f(a) =ab+bc+ca+1,得到一个关于a的一次函数,因为a、b、c∈[-1,1], 所以f(1)=b+bc+c+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0,f(-1)=-b+bc-c+1=-b(1-c)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0,得知f(a)在[-1,1]上恒为负数,则ab+bc+ca+1≥0.

上述案例,处理该题的关键点在于学生要具有一定的函数意识,他们通过函数思想的应用构建出一次函数模型,使其根据一次函数的单调性性质展开证明,最终准确解答这一难题.

三、运用函数思想解答数列难题

数列本身就可以看成一类特殊的函数,由于数列内含有具有一定规律的数字,解题时运用函数思想,把每一项都看作函数的量,借助函数思想求出数列的通项公式,由此顺利求解.高中生在处理数列类难题时采用函数思想,应当将数列看作一个函数,列出相应的通项公式,结合函数中已知量与未知量之间的关系建立出函数逻辑关系,辅助他们实现求解的目标.

例3 已知等差数列{an }的前n项和Sn =m,前m项和Sm =n(m≠n),求前m+n项的和Sm+n .

解析 教师可指导学生利用函数思想来分析等差数列前n项和Sn满足的关系从函数视角出发,这是一个必过点(0,0)的二次函数,抓住等差数列求和公式是一种特殊的二次函数这函数思想,将m+n看成一个整体,简化数列的运算量,使其找到突破口.具体解法如下:

设Sn =An2 +Bn(n∈N*),则得到Am2 +Bm=n①,An2 +Bn=m②,①-②得到A(m2 -n2 )+B(m-n)=n-m,由于题目指出m≠n,则A(m+n)+B=-1,A(m+n)2 +B(m+n)=-(m+n),所以得到Sm+n =(m+n).

针对上述案例,在解决数列类问题过程中,教师可以引领学生借助函数思想来分析和解答,把复杂的题目变得简便化,使其通过认真观察高效、轻松的解题,突破数列难题的困扰.

四、应用函数思想解答几何难题

函数思想指的是运用函数概念与性质分析、转变与求解题目,在高中数学知识体系中,解析几何是也是一大难点,其中求范围和最值问题不仅常见,还不易解答.这时高中数学教师可以引领学生应用函数思想来思考解析几何问题,使其从函数性质推理、判断题目中存在的某些的函数关系,帮助他们确定正确的解题思路,从而有效降低解析几何题目的难度.

例4 已知椭圆G:x24+y2 =1,过点(m,0)作圆x2 +y2 =1的切线l与椭圆交于A、B两点,求|AB|的最大值.

解析 根据题意得知|m|≥1,当m=1时,切线l的方程是x=1,点A、B的坐标是(1,32)和(1,-32),这时|AB|=3;当m=-1时,同理|AB|=3;当|m|>1时, 设切线l的方程是y=k(x-m)与x2 +y2 =1联立可得,(1+4k2 )x2 -8k2 mx+4k2 m2 -4=0,这是一个明显的二次函数,设A、B的坐标分别为(x1 ,y1 )与(x2 ,y2 ),则x1 +x2 =8k 2m1+4k2,x1 ·x2 =4k 2m2-41+4k2,又因为l和圆相切,得到|km|k2+1=1,m2 k2 =k2 +1,则|AB|=1+k2|x2 -x1 |=43|m|m2+3,当m∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时,43|m|m2+3≤2,所以|AB|的最大值为2.

在上述案例中,学生发现本题的命题背景是分式函数,转化后处理成基本对勾函数或不等式模型,题目由双变量变成单变量,这是解题的关键所在.

五、采用函数思想解题向量难题

平面向量指的是在二維平面内既有方向又有大小的量,与普通的标量相比抽象难懂,而且高中生是初次接触平面向量,不仅理论知识学习起来难度较大,他们在解题过程中更是困难重重,极易遇到障碍.为帮助学生正确解答平面向量难题,教师可引导他们采用函数思想分析题干内容,理清题目中已知条件与未知条件之间的关系,使其解决难题、求出答案.

例5 给定两个长度为1的平面向量OA 与OB ,它们之间的夹角成120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,如果OC =xOA +yOB ,其中x、y∈R,那么x+y的最大值是什么?

解析 学生如果直接结合知识求解难度较大,这时可考虑采用“代数法”,把向量OC =xOA +yOB 数量化,运用数量积公式与三角函数知识来求解最值.

设∠AOC=α,把向量式OC =xOA +yOB 数量化,可得到OC ×OA =xOA ×OA +yOB ×OA ①,OC ×OB =xOA ×OB +yOB ×OB ②,然后使用函数思想将原式变形为有关三角函数的式子,即为cosα=x-y2①,cos(120°-α)=-x2+y,由此能够得到x+y=2[cosα+cos(120°-α)]=cosα+3sinα=2sin(α+30°)≤2,所以说当且仅当α=60°时,x+y有最大值2.

学生使用函数思想这一“代数法”解题,主要考察化归、转化及信息迁移能力,解题关键在于把向量问题变成三角函数问题,建立出x+y的对应函数式,轻松获得答案.

总而言之,在高中数学解题教学实践中,随着知识难度与深度的提升,题目难度系数也随之增加,学生遇到难题的概率越来越高,教师需引导他们学会使用函数思想分析与处理题目,使其合理转化解题思路,找出便捷、高效的解题方法.

参考文献:

[1]张永刚.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].科学咨询(教育科研),2020(06):81.

[2]李晓冬.高中数学课堂教学中学生解题能力的培养策略分析[J].华夏教师,2020(17):16-17.

[责任编辑:李 璟]

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