数学关键能力的培养

卢会玉

摘 要：2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题和2020年高考数学全国卷Ⅲ理科第17题有很多相像的地方.笔者从复习备考时对2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题的三个改编题入手，分析如何一步步的培养学生的分析、归纳和运算等数学关键能力.数学的关键能力离不开数学核心素养，两者是相辅相成的，提高数学关键能力首先要提高数学核心素养. 与此同时，数学核心素养提高了，数学关键能力相应的也会得到提高. 进而又分析了今年高考题是如何考查数学核心素养的，以期获得一些教学和学习经验.

关键词：2020高考;数学关键能力;数学核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0030-03

2020年的高考在经历了千难万难后落下帷幕，从看到高考题的那一刻起，脑海中浮现的都是当时和学生一起备考的画面.尤其是看到2020年高考数学全国卷Ⅲ理科第17题时，更是兴奋不已.因为在复习数列专题时，为了培养学生的分析、归纳、推理和计算能力，特意将2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题进行了改编，进行了全方位的备考.

《中国高考评价体系》明确指出：关键能力是高考考查的重点内容.但是有教师混淆了关键能力和数学技巧的区别，试图通过不断的训练获得关键能力.笔者认为，关键能力的考查是在建立在基本技能和基本思想的基础上进行的综合能力的考查.

一、一个原题三个改编

例1 （2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题）

已知数列an满足a1=1，nan+1=2n+1an，设bn=ann.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由;

（3）求an的通项公式.

解析 （1）由条件可得an+1=2n+1nan.

将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

从而b1=1，b2=2，b3=4;

（2）bn是首项为1，公比为2的等比数列.

由条件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，

所以bn是首项为1，公比为2的等比数列;

（3）由（2）可得ann=bn=1×2n-1=2n-1，所以an=n·2n-1.

笔者认为该题更多的是考查学生的运算能力，因为bn=ann在题干中明确的给出，对于学生来说，基本没有涉及到分析、歸纳和推理能力的考查，所以为了提高学生能力，对题目进行改编是有必要的.

例2 （2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题改编题）已知数列an满足a1=1，nan+1=2n+1an，求an的通项公式.

将题目改编成直接求an的通项公式，对学生关键能力的要求就非常高了.学生必须要明确一定有一个新数列产生，从而借助新数列解决an的通项公式.这个过程中，学生必然要进行分析，经过综合考虑之后进行归纳和推理，进而加以证明，获得结论.具体解题过程和原题基本一样.

例3 （2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题改编题）已知数列an满足a1=1，nan+1=2n+1an.

（1）计算a2，a3，a4，a5;

（2）求an的通项公式.

将题目改编成先计算前五项再求an的通项公式，对学生关键能力的要求较高.给学生提供了一种先通过写出前几项再进行分析，从而发现结论的思路.考查的是学生的归纳能力和计算能力.具体解题过程和原题基本一样.

例4 （2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题改编题）

已知数列an满足a1=1，nan+1=2n+1an，设bn=ann.

（1）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由;

（2）求an的通项公式.

（3）求数列an的前n项和Sn.

改编成如上问题，主要是想考查学生的运算能力，将bn=ann在题干中明确的给出，是为了减少学生分析、归纳和推理的思维量. 学生求出an的通项公式后，发现an=n·2n-1，这对学生来说，是一个比较熟悉的错位相减法求和问题，对学生运算能力的要求较高.

经过对2018年高考数学全国卷Ⅰ文科卷第17题的改编，重点培养了学生分析问题的能力、归纳问题的能力以及运算能力.令人欣喜的是，果不其然今年的高考题正是考查这方面的知识和能力.

二、一个原题一些思考

（2020年高考数学全国卷Ⅲ理科第17题）

设数列an满足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明;

（2）求数列2nan的前n项和Sn.

解析 （1）由题意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由数列an的前三项可猜想数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，即an=2n+1，证明如下：

当n=1时，a1=3成立;

假设n=k时，ak=2k+1成立.

那么n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.

则对任意的n∈N*，都有an=2n+1成立;

（2）由（1）可知，an·2n=（2n+1）·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1②

由①-②得：-Sn=6+2×22+23+…+2n-（2n+1）·2n+1

=6+2×22×1-2n-11-2-（2n+1）·2n+1

=（1-2n）·2n+1-2，

即Sn=（2n-1）·2n+1+2.

数学的关键能力有五项：逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力. 该题明显考查学生的分析能力、归纳能力和运算能力，指向非常明确. 高考评价体系确立的是基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，本题体现是基础性. 对基本技能和基本思想的要求较高.

数学的关键能力离不开数学核心素养，两者是相辅相成的，提高数学关键能力首先要提高数学核心素养. 与此同时，数学核心素养提高了，数学关键能力相应的也会得到提高. 那么今年高考数列题是如何考查数学核心素养的呢？

1.核心素养之数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程. 要求学生能从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

例 （2020年高考数学全国卷Ⅱ理科第4题）

北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）.

A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块

解析 设第n环天石心块数为an，第一层共有n环，则an是以9为首项，9为公差的等差数列，an=9+（n-1）×9=9n，设Sn为an的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，

即3n（9+27n）2-2n（9+18n）2=2n（9+18n）2-n（9+9n）2+729，即9n2=729，解得n=9，

所以S3n=S27=27（9+9×27）2=3402.

故选C.

本题主要考查学生的数学抽象能力，需要学生能将实际问题转化为数列问题，并且要读懂题目所表达的意思.涉及等差数列前n项和有关的计算问题，进而考查学生数学运算能力，算是一道容易题.

2.核心素养之数据分析

数据分析是指从数据中获得有用的信息，形成知识的过程，主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论.

例 （2020年高考数学全国卷Ⅱ理科第12题）

0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}（i=1，2，…），且存在正整数m，使得ai+m=ai（i=1，2，…）成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m=ai（i=1，2，…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…，C（k）=

1m∑mi=1aiai+k（k=1，2，…，m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C（k）≤15（k=1，2，3，4）的序列是（）.

A.11010…B. 11011…

C. 10001…D. 11001…

解析 由ai+m=ai知，序列ai的周期为m，由已知，m=5，

C（k）=15∑5i=1aiai+k，k=1，2，3，4

对于选项A.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+0）=15≤15

C（2）=15∑5i=1aiai+2=15（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7）=15（0+1+0+1+0）=25，不满足;

对于选项B.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+1+1）=35，不满足;

对于选项D.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+1）=25，不满足;

故选C.

本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数据分析能力和数学运算能力，是一道中档题.

3.核心素养之数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决书序问题，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.

例 （2020年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题）设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.

（1）求an的公比;

（2）若a1=1，求数列{nan}的前n项和.

解析 （1）设an的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，

∵2a1=a2+a3，a1≠0，

∴q2+q-2=0，

∵q≠1，∴q=-2;

（2）設{nan}的前n项和为Sn，a1=1，an=（-2）n-1，

Sn=1×1+2×（-2）+3×（-2）2+…+n（-2）n-1，①

-2Sn=1×（-2）+2×（-2）2+3×（-2）3+…（n-1）（-2）n-1+n（-2）n，②

①-②得，

3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+（-2）n-1-n（-2）n

=1-（-2）n1-（-2）-n（-2）n=1-（1+3n）（-2）n3，

∴Sn=1-（1+3n）（-2）n9.

本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.

数学运算几乎每道题都会涉及到，有句俗语说：想到不如做到！很多学生不是想不到，而是想到了却做错了，这就是典型的数学运算能力欠缺. 应该在平时的学习中利用一切机会进行训练，在不断犯错又不断改错中，运算能力才能得到提高.

参考文献：

[1]陈国林.例谈数列中的数字文化[J].高中生之友，2019（10）：42-43.

[责任编辑：李 璟]