圆锥曲线参数范围类题型求解策略

韦能

摘 要：圆锥曲线类题型是高中数学必考题型之一，而对含参圆锥曲线的参数范围判定属于此类题型考察的热点和难点.解决此类问题的核心方法在于构建与目标函数相关的不等关系，但如何确定参数与圆锥曲线之间的不等关系才是解决此类题型的关键.通过对圆锥曲线参数类问题的求解应用，能够帮助学生判定题眼、挖掘隐含条件，有助于学生建立条件关系，提升数学逻辑思维能力.

关键词：圆锥曲线;参数;不等式;解题技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0036-02

围绕圆锥曲线参数范围求解目标，结合常见参数范围求解题型，本文从不等关系建立角度出发，将此类题型细分为四大类：题设条件类不等关系、圆锥曲线位置不等关系、圆锥曲线范围类不等关系、基本判别式类不等关系.通过对上述四类圆锥曲线参数类题型求解的典型案例分析，从解题技巧上帮助学生掌握求解方法，从而实现灵活应用.

一、利用题设条件建立不等关系

利用题设条件求解圆锥曲线参数范围类题型属于较为直接和基础类的题型，通过对题设条件中已有的不等关系进行直接应用，正向构建含参不等关系.在此类题型的求解过程中，需要紧密关注对应圆锥曲线的类型及取值范围，并结合圆锥曲线的定义判定范围.

例1 若双曲线

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有一点P，P点横坐标为3a2，点P至双曲线右焦点的距离大于至左准线的距离，求双曲线的离心率范围.

解析 结合双曲线定义及性质可知，点P至双曲线右焦点的距离为e（3a2-a2c），点P至左准线的距离为（3a2+a2c），由点P至双曲线右焦点的距离大于至左准线的距离得到目标函数的不等关系式为e（3a2-a2c）>3a2+a2c，化简后得到3e2-5e-2>0，计算得到e>2或e<-1.此时，结合双曲线离心率的范围e>1，最终可知双曲线离心率的范围为e>2.

点评 利用题设条件建立不等式，求解圆锥曲线不等关系类题型属于直接正向求解思维的应用.在实际求解过程中，切忌疏忽大意，必须紧密留意圆锥曲线自身的范围，避免多解问题的出现.

二、利用位置关系建立不等关系

在圆锥曲线中利用位置关系建立不等式，需要深入挖掘潜在信息，建立圆锥曲线相关的目标函数与参数之间的不等关系，才能实现此类题型的求解.

例2 已知椭圆C的方程为

x24+y23=1，此时，有直线l：y=4x+m使得在椭圆C上有不同的两点关于该直线对称，试求m的取值范围.

解析 设两点A（x1，y1）、B（x2，y2）为椭圆C上关于直线

l对称的两点，点M（x，y）为弦AB的中点.由于点A、B均在椭圆C上，故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12，

联立两式得到关系式

3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

简化后得到

y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2.

结合点M与点A、B之间的位置关系可知，

x1+x2=2x、y1+y2=2y，

即可知

y1-y2x1-x2=k=-14.

所以得到-14=-34·yx，

即是3x-y=0，再与y=4x+m

联立方程组得到交点M（-m，-3m）.由于点M在椭圆内，得到

（-m）24+（-3m）23<1，

化简后可得m的取值范围为-21313<m<21313.

点评 圆锥曲线位置关系类不等关系题型的求解，可以概括为先将已知条件中涉及的基本量转化为圆锥曲线位置关系，本题再利用点与圆锥曲线的位置关系：点在圆锥曲线内、圆锥曲线上及圆锥曲线外，得到不等关系，进而判定参数范围，顺利实现求解.

三、利用曲线范围建立不等关系

圆锥曲线自身范围具备多种特征，针对椭圆、双曲线等圆锥曲线，其定义域、值域、焦点、准线等等，都是此类题型常用的位置关系，求解此类题型的关键在于建立参数与曲线位置之间的不等关系.

例3 已知椭圆C的表达式为x216+y212=1，现有一点M（m，0）位于椭圆C的长轴上，点P为椭圆上的任意一点，当MP长度最短时，点P恰好位于椭圆的右顶点，试求实数m的取值范围.

解析 设点P（x，y），由于点P位椭圆上的动点，故有-4≤x≤4.

由MP=（x-m，y）可知，

|MP|2=（x-m）2+y2=（x-m）2+12·（1-x216），

化简后得到

|MP|2=14（x-4m）2+12-3m2.

由曲线范围可知，当MP长度最短时，点P恰好位于椭圆的右顶点，即是x=4时，MP取得最小值.

结合-4≤x≤4，最终可知m≥1.

点评 利用圆锥曲线范围建立不等关系求解参数范围时，关键在于对圆锥曲线几何特征的应用，这就要求学生必须熟练掌握圆锥曲线的基本特性，尤其是位置关系与函数表达式之间的转化，只有建立相关联系后才能准确判定参数范围.

四、利用判别式建立不等关系

利用判别式确定不等关系类题型常出现于直线与圆锥曲线相交的题型中，通过直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，进而得到一元二次方程，最后结合判别式中所含有的参数不等式进行求解.

例4 在平面直角坐标系中，已知直线l斜率为k，且经过点（0，2），直线l与椭圆C：

x22+y2=1相较于两不同的点P、Q，试求直线l斜率k的取值范围.

解析 由于l斜率为k，且过点（0，2），故得到直线l的表達式为y=kx+2.

再将直线l的表达式带入椭圆C的表达式，得到

x22+（kx+2）2=1，

化简后得到（12+k2）x2+22kx+1=0.

此时利用判别式定理得到

Δ=8k2-4（12+k2）=4k2-2>0，

即可求得k<-22或k>22.

点评 当题中已知条件为直线与圆锥曲线之间的位置关系时，此时容易联想到联立直线与圆锥曲线之间的方程组，最终得到一个一元二次方程形式的含参表达式，结合判别式或基本不等式即可实现求解.

总之，求解圆锥曲线参数范围类题型，最关键之处在于不等式关系的建立，再结合已知条件，利用圆锥曲线性质、几何特征、判别式或基本不等式等方式，从而构建含参不等关系，最终实现参数范围的判定.

参考文献：

[1]孙国栋.圆锥曲线问题中参数范围的求法[J].数学大世界（上旬版），2019（06）：85-86.

[2]邢丽芳.圆锥曲线参数范围的解题技巧[J].理科考试研究（高中版），2018（02）：16-17.

[3]张敏.分类例析圆锥曲线中参数的取值范围问题[J].中学数学，2017（13）：95-96.

[责任编辑：李 璟]