解析几何最值问题求解的基本思路探究

李莉莉

摘 要：高中阶段的解析几何问题一般是以综合题的类型出现，考查学生的几何知识，以及观形、设参、转化、替换等数学思想的能力.解析几何的最值问题的求解方法与代数、圆锥曲线、目标函数中的最值问题有一定的区别，同时又存在着某种联系.本文主要通过对一些相关例题的介绍，帮助同学们总结出一些比较典型的解题方法，希望同学们能在学习的过程中快速总结解题技巧，提高个人的解决问题的能力以及数学的应用意识.

关键词：高中数学;课堂教学;最值问题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0016-02

一、联系平面几何知识求解解析几何的最值问题

有一类解析几何问题会与平面几何的知识建立密切的联系，同学们需要借助题目中的已知条件建立坐标系，并寻找目标函数，然后将平面图形的解析式与解析几何的解析式放在坐标系中，寻找两个图象之间的关系，再利用求解函数最值问题的方式寻找问题的答案.

例1 假设P点是直线l：x-y+9=0上的一点，过点P做出与椭圆C：x212+y23=1存在共同焦点的椭圆D，如果其长轴最短，试着求出椭圆D的方程.

分析 题目中给出了椭圆曲线的方程，同学们需要先找到椭圆的焦点，然后判断椭圆与直线方程的位置关系，之后可将问题进行转化，可将题目中的“椭圆D的长轴最短”这个已知条件通过分析转化为求解在直线l上求点P并使得|PF1|+|PF2|最小，从而求解题目要求.

解 由题目已知条件可知椭圆D的焦点为F1（-3，0）、F2（3，0）.

设存在点F1（x，y）是点F1（-3，0）关于直线l的对称点，可以解得F1坐标为（-9，6）.

在坐标系上连接F1F2，则直线F1F2与直线l的交点为P，如图所示.

F1F2的方程求得y=-12x +32，將该方程与直线l联立可求得P点坐标为P（-5，4）.

设椭圆D的方程为：x212+λ+y23+λ=1

又因为点P在椭圆D上，将P点坐标带入可得λ=33

因此椭圆D的方程为x45+y236=1

二、结合圆锥曲线定义及相关性质求解解析几何的最值问题

在高中数学中常见的解析几何问题有椭圆、双曲线、抛物线等等，相关的性质、定义在课堂上都有帮助同学们进行总结，在日常练习的时候需要同学们准确地把握相关的知识，灵活的运用解决解析几何的最值问题.而在运用定义和性质解决相关圆锥曲线问题时，可能会在图线中出现三角形，同学们要切记可以使用三角形的相关性质解答，该性质为： “三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.”例如下面这道题.

例2 假设线段AB的长固定不变为3，假设线段AB的两端都在抛物线y2=x上移动，如果线段AB的中点为M，试着求解点M到y轴的最短距离，并且求出此时点M的坐标具体为多少.

分析：题目中给出的抛物线方程式的图象为开口向右的在第一象限和第四象限的图象，而且题目中的已知条件可得AB在抛物线上移动但AB连接的线段的长是固定不变的.同学们首先需要求出抛物线的焦点F，然后将图象上的A、B、F三点连接成一个三角形，试着将问题进行转化，从而确定线段AB的位置.

解 根据题目条件可设抛物线的焦点为F，准线为l，分别作AC、BD、MK垂直于准线交准线l在点C、D、K上，如图所示：

则根据题目条件可知

|MK|=12（|AC|+|BD|）=12（|AF|+|BF|） ≥12|AB|=32

即当线段AB是过F点的弦时，

|AF|+|BF|=|AB|

此时可求得|MK|可以取最小值32，

则此时点M到y轴的距离最短.

又因为抛物线焦点坐标为F（14，0），准线方程为x=-14，

因此点M到y轴的最短距离为32-14=54，即xM=54.

因此xA+xB=2xM=52，即y2A+y2B=52，而y2M=（yA+yB2）2=14（y2A+y2B+2yAyB）

又因为AB过点F，因此yAyB=-14，故y2M=14·（52-12）=12，即yM=±22.

当M到y轴的距离最短时，点M的坐标为

（54，22），

（54，-22）

三、建立目标函数求解函数的最值

求解圆锥曲线的最值问题可以将题目转化为求解函数的最值问题，因为圆锥曲线方程本质上来讲也是一种函数的存在形式，所以同学们可以建立相关的目标函数，根据题目的要求对题目问题进行转化，从而简化解题的过程，提高解题的准确性.

例3 已知抛物线C的焦点为坐标原点O，抛物线C的顶点在x轴的负半轴上，若存在直线l：x+y+m=0（m>0）与抛物线C相交于A、B两点，试求当△AOB面积最大取值为26时直线l的方程.

分析 这道题目中，同学们首先应该根据题目中给出的相关条件

设出题目中方程的形式，分别将抛物线的方程和顶点用未知数的方式设出来，然后根据相关的点求解点到直线的距离，将问题转化为函数的最值问题，从而得出抛物线的方程和直线方程.

解 根据题目可知抛物线C的顶点坐标为（a，0），且a<0，

因此抛物线的方程为y2=2（-2a）（x-a），即y2=-4a（x-a）.

将直线l与抛物线C的方程联立可得

x+y+m=0y2=-4a（x-a）

消去y可得：

x2+（2m+4a）x+m2-4a2=0

该方程判别式

Δ=（2m+4a）2-4（m2-4a2）>0，解得：

m<-2a，从而x1+x2=-2m-4ax1x2=m2-4a2

由弦长公式可得

|AB|=2·（x1+x2）2-4x1x2

=2·32a2+16ma

O到AB的距离为

d=m2

故△AOB的面积为

S△AOB =12·2·32a2+16ma·m2=8a2+4ma·m

=2·（-a）（-4a-2m）·m·m

≤2·（-a）·（-4a3）3=26

故a=-32

当且仅当-4a-2m=m，即m=2时（适合m<-2a的要求）S△AOB 的面积最大.

因此抛物线C的方程为y2=6（x+32），直线l的方程为x+y+2=0.

解析几何中的最值问题的常用方法还有很多，希望各位同学能在遇到相关题目时注意总结，注意建立目标函数，准确地把握解析几何的相关定义和性质，从而利用函数的相关知识求解最值，提高学生的解题能力，让同学们学过的知识都能达到融会贯通的程度.

参考文献：

[1]姜坤崇.解析几何最值问题的解法[J].中学生数学（高中版）， 2015（6）：25-26.

[2]蔡玉书.解析几何中的最值问题[J].中等数学，2015（02）：17-22.

[责任编辑：李 璟]