函数思想在求参数取值范围问题中的应用

王胜军

【关键词】函数思想 中学数学思想 参数取值范围

【摘要】数学思想是数学教学的立足点，是数学问题考察的核心。求参数取值范围问题是历年高考的重点、难点问题，如何化解该难点是很多老师研究的问题，本文就如何利用函数思想化解该难点提供一种方法供大家参考。

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）7（b）-0000-00

数学教学的目的是向学生传授系统的数学知识，在学习理解应用知识的过程中，发展学生的能力，培养他们良好的个性品质，这其中最重要的是解决问题，获取新知识。因此，在教学过程中不仅要重视知识的教学，使学生掌握好基础知识和基本技能，而且要加强数学思想方法的有机渗透，增强学生利用数学思想解题的能力，使学生充分认识数学思想是教学的灵魂所在。

函数思想是中学数学的基本思想方法。函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决.求参数取值范围的题型在近几年的高考以及各省市的模拟测试中频频出现，这也是高中数学学习的重点及难点，本文给出一些灵活应用数学思想方法解这一类题的例子，以供同仁参考。函数是高中数学的一条主线，数学教学在适当的问题情境下，灵活地在解决问题中有意识地培养学生的函数思想，对启迪学生思维，培养学生能力，优化思维品质，提高教学质量大有稗益。在解题时通常把题目中的参数和未知量分离开来，利用函数有界性解题常能使问题简单化。函数思想在解题中的应用，主要体现在通过建立函数关系式或构造函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

对在某区间恒成立的不等式问题、方程有解问题，用函数思想指导求解，主要基于以下显然成立的命题：

命题：记函数y=f（x）的定义域为D，值域为Z，最小值为Y ，最大值为Y ，则f（x） m恒成立 y m，f（x） m恒成立 y m，f（x）=m有解 m的取值范围为Z。

例1.（1）对任意实数x，不等式 恒成立，则k的取值范围是 ；

（2）对任意实数x，不等式 恒成立，则k的取值范围是 ；

（3）方程 有解，则k的取值范围是 ；

分析：记y= ，即y= 易得y =3，y =-3，Z= ，故

（1）所求k的取值范围是k<-3

（2）所求k的取值范围是k 3，

（3）所求k的取值范围是-3 k 3

例2.不等式 >b-1对x∈R恒成立，求证：a>b

证明： 原不等式在 ∈R恒成立，即

在 ∈R恒成立，即 在 ∈R恒成立，记y=- ，显然 ，故a-b>0，即a>b成立。

例3.（1）关于x的方程 有解，求a的取值范围；

（2）关于x的方程 有解，求a的取值范围.

解析：（1）由原方程可得：a= ，记y= ，可求得其值域Z= ，于是a的取值范围是 .

（2）由原方程可得：-（4+a）= ，记y= ，易得y 4， -（4+a） 4，从而所求a的取值范围是：a -8.

例4.（1）若不等式 对 ∈ 的所有实数x都成立，求m的取值范围。

（2）若不等式 对 ∈ 的所有实数m都成立，求x的取值范围。

解析：记y= [1]，则对（1）（2）均需且只需

（1）此时[1]可视为关于x的二次函数，其图像的对称轴为x=m，

①当m<-3时，在 ∈ 上，[1]为增函数，当x=-3时，y =10+8m，由10+8m>0，得 ，又 ，故这时m的取值范围为 ；

②当 时，当x=m时， 得 ；

③当m>3时，在 ∈ 上，[1]为减函数，当x=3时， ，由10-4m>0得m< ，又m>3，故这种情况下m的取值范围为

（2）把[1]整理为y=（2-2x）m+ ，m∈ [2]

①当x=1时[2]即y=2，m∈ ，此时 成立，故x=1可取；

②当x不为1，[2]可视为关于m的一次函数，记g（m）=（2-2x）m+ ，m∈ 上y=g（m）为单调函数，要g（m）>0在m∈ 上恒成立，要且只要g（3）>0与g（-3）>0同时成立，即 解之得x>3+ ，或x<-3-

综上所得x=1或x>x>3+ ，或x<-3- 即为所求x的取值范围

例5.函数f（x）= 其中a>0，求a的取值范围，使函数在区间[0，+∞）上是单调函数。

解析：设 则f（x ）-f（x ）= = ，

要使函数在区间[0，+∞）上是单调函数，须且只需f（x ）-f（x ） 0对满足 的 的任意值恒成立，或f（x ）-f（x ） 0对满足 的 的任意值恒成立，又 <0，记y= [1]则须且只需y a对满足 的 的任意值恒成立。视[1]为关于 的二元函数，对 时，由 可得y的值域为（-∞，1），故只可能有y a对满足 的 的任意值恒成立，这只要a 1即可。当a 1时，f（x ）-f（x ） 0对满足 的 的任意值恒成立，f（x）在[0，+∞）上是单调减函数。当a<1时，在[0，+∞）上f（x）不可能是单调函数。故所求a的取值范围是：a 1.

由上述各例可看出，在不等式恒成立或方程有解时求参数取值范围问题，转化为求函数的值域或最值问题。在分离变量的过程中，常采用移项或两边同除以某个式子，但是除之前一定要注意分析被除的符号，从而确定变形后不等号“保向”还是“反向”，求解思路自然，过程简明。对思维过程从思想方法的高度进行提炼总结，有利于学生对函数思想意识的渗透。经过多次提炼、总结即可强化函数思想应用的意识，也使学生对应用函数思想处理问题的具体操作方式得到深刻的理解。

参考文献：

1. 数学思想方法在求参数取值范围中的应用 蒋晖琳《怀化师专学报》2000年05期

2. 已知函数的单调性怎样求参数的取值范围 刘朝晖 《试题与研究》 2013年34期

3. 函数思想在解含参数三角问题中的应用 陆斌 《中学数学月刊》 1998年04期

http：//www.cnki.com.cn/Journal/H-H3-ZOXE-1998-04.htm