浅析函数与方程思想在解题中的应用

闵云霞

【摘要】函数与方程思想是中学数学中的基本思想.其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题.

【关键词】函数思想；方程思想；函数与方程思想

近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考查学生的数学知识和思维能力，还要考查学生思想方法的运用能力.其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一.学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想.

一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图像交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题可以用方程的方法解决.

一、在集合方面的运用

函数思想本身也是集合对应的思想，它用运动变化的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析、转化、解决问题.因此函数和方程思想在解集合相关题目时具有一定的指导作用，下面举例说明.

例150名学生报名参加A、B两项课外兴趣小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.

可以看出此题是道应用题，若寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图，再利用方程思想就可很容易解决.因此可设A∩B的元素为x个，则（30-x）+x+（33-x）+13x+1=50，解出x=21，从而得到答案.

如果问题中变量间的关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解.特别的，当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，如遇到b+c=1-a，bc=a2-a，可知道b、c是关于x的一元二次方程x2-（1-a）x+a2-a=0的两根.

二、在不等式方面的运用

函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0 时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

我们注意到8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1且题中出现x3+5x，启示我们可以构造函数f（x）=x3+5x去解决问题.因此可把不等式化为2x+13+52x+1>x3+5x，然后令f（x）=x3+5x，则不等式化为f2x+1>f（x），这样利用函数单调性就很容易解决问题.

例3求最大的常数c，使得对满足0

分离参数法.我们观察到此题中含有两个变量c及t，其中t的范围已知，另一变量c的范围即为所求.故可考虑将c及t分离，把原不等式化为：c≤1-3t2t=-3t+1t，0

三、在数列方面的运用

数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集，数列的通项或前n项和就是以自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.在运用函数的性质解决数列问题的同时，也是对数列概念的本质理解.

例4已知数列的通项公式为an=n2-10n+9，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？

易见，数列{an}的点都在函数y=x2-10x+9的图像上，如右图通过图像根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项.

函数与方程属于代数领域，但实际上它们贯穿于高中数学的各个领域，在高等数学、其他学科及现实生活中都有着广泛的应用.由以上解题过程我们发现，只要我们勤于动脑，善于动脑，树立起运用数学思想解题的意识，就一定会在解题中有新的发现，新的创新，从而将数学知识学活，使我们的数学解题能力不断提高.