建立在“追问方程本质含义”基础上的教学尝试

刘锡萍 王晓燕

摘要：方程思想的核心在于对数量间关系的建模和转化归纳。本文阐述了在这一思想指导下开展的教学尝试：首先创设情境，认识数量间存在不同的关系，初建模型;然后在对数量间不同关系的分类中，构建方程概念;最后在动态情境中解释应用，理解等量关系，体会方程本质。

关键词：方程思想  数学建模  小学高年级

方程是小学高年级数学知识中的重要内容。教学“方程的意义”时，大多数老师喜欢从等式的教学入手，让学生理解方程的意义。但长期的教学实践让我们认识到，实施这样教学后，学生对方程含义的理解是表面的、形式化的、肤浅的！从形式上看“方程确实是一种等式”，但透过现象看本质，我们认识到“方程是对数量间相等关系进行描述的数学表达式，是对含有未知量的数量间相等关系进行描述的数学表达式”。

既然方程是对数量间相等关系进行描述的数学表达式，那对方程意义的认识必然要建立在“数量间关系”的基础上，其核心思想在于对数量间关系的建模和转化归纳，那对方程意义的认识也必然要让学生经历“现实问题情境——数学模型——解释与应用”的全过程。基于这样的认识，我们有了以下的教学尝试。

一、教学片段

（一）片段一：创设情境，认识数量间存在不同的关系，初建模型

1.情境导入：如果把两个梨子和一个菠萝分别放在天平的两边，猜一猜，可能会出现怎样的结果。

根據学生的回答，说明天平两边的质量会有三种不同的关系。

【初步感知到数量之间存在着不同的关系。而方程正是描述数量间关系的一种数学模型，这样导入有利于学生对方程意义的自主建构。】

2.师：请大家继续观察，（课件出示：如果梨子每个200克，菠萝400克）这样的两个梨子和一个菠萝分别放在天平两边，可能会怎么样呢？（课件演示称的结果）

3.师：如何用数学式子表示天平现在的状况呢？

生：200+200=400

4.师：想一下式子左右两边各表示什么？等号又说明什么？

生1：左边是两个梨子的质量，右边是一个菠萝的质量。

生2：等号表示左右两边是相等的关系。

【由于学生对200+200=400的认识更多的还是停留在以往加法算式的层面上，学生们根据以往的经验认为它仅仅是一种运算。因此教师有意识地突出左右两边之间的关系，引导学生认识到这个式子表示两个梨子的质量和一个菠萝的质量是相等的，理解左右两边所表示的相等关系。和导入时一样，突出的是数量之间的关系。】

5.课件演示：天平左边换成两个橘子（每个100克）。

师：这时候天平两边还会保持平衡吗？为什么？

生：因为两边物体的质量不相等了。

师：我们还可以用数学式子来表示出天平目前的情况吗？

生：100+100<400或者400>100+100

师：现在我们在把天平左边再放上一个梨子，梨子的质量为x克，现在大家来猜一猜，天平两边的情况可能会怎样？

生：200+x=400（表示为左右两边的质量相等。）

200+x>400（表示左边的质量大于右边的质量。）

200+x<400（表示左边的质量小于右边的质量。）

师：从刚刚举的这些例子来看，数量之间有关系吗？有哪些关系呢？

生：大于、等于、小于。

生：相等或不相等。

师：我们用数学式子能够非常简洁且清晰地表示出数量间的不同关系。

6.师：不过生活情境中的数量关系的例子非常丰富，不仅仅限于质量之间的关系，还有很多数量关系也可以用数学式子来表示，今天我就带来了四个情境，我们一起看看。（图略）

思考：图中的数量之间有什么关系？请用关系式进行清晰的描述。

（1）先独立思考，将数量关系用数学式子记录下来。

（2）四人为一组讨论，每人一题说说自己所列出的关系式。

（3）大组汇报，可以选择自己喜欢的情境，要求描述关系式后，说一说是怎么想的。

【方程是刻画现实世界等量关系的一个有效的数学模型。本环节先让学生利用天平来尝试用数学符号和式子描述数量间存在的不同关系，初建数学模型;再让学生在大量的生活情境中理解现实生活中存在着很多的数量关系，为学生对方程意义的主动建构提供丰富的感知材料。这个环节的教学设计，重点是引导学生理解实际问题中各个量的意义，分析数量关系，寻找等量关系。】

（二）片段二：在对数量间不同关系的分类中，构建方程概念

1.引导分类

（1）师：看来生活中的很多情景都能用关系式来描述，而且用关系式来描述非常简洁、清晰。但是这些关系式各有不同，这么多的式子放在一起，我们怎么来进一步研究它们的特征呢？你有办法吗？

生：可以把它们分分类。

师：是啊，分类以后我们就可以一类一类更清楚地认识它们了，这是认识事物特征的一个好办法。

（2）学生分组讨论。

（3）汇报讨论结果。

第一次分类可能出现的情况：不同连接符号、是否是相等关系、是否含有未知数。

（师适时指出：这一类表示两边相等的式子，我们可以叫它——等式。那么另一类就是不等式。）

师：刚才这几种分法都是可以的，为了更清楚地认识事物的特征，有时需要进行几次分类。如果把以上两种分法结合起来就更好了。比如，我们可以先按照是否是等式，先分成两类，在这个基础上，再按是否含有未知数再次分类。大家也可以试试，在你刚才第一次分类的基础上再进行第二次分类。试试看！

（4）学生尝试第二次分类

学生汇报：

第一类：200+200=400

第二类：200+x=400 x-56=60 4a=120

第三类：100+100<400 400>100+100 180>140

第四类：200+x>400 200+x<400 50+x>100

师：经过两次分类，我们得到了四类不同的式子。

2.概括概念

教师和学生一起找各类数学式子的特征，重点让学生描述方程的意义。

揭示课题：方程的意义

【这一环节将分类思想和分类方法渗透于教学活动中。通过分类，学生在观察、比较活动中对方程的意义有了一定的感悟和体验。通过比较，抽象概括出方程的意义。这样一方面能从形式上认识到“含有未知数的等式是方程”，同时也能深刻感受到“方程是描述数量间相等关系的数学表达式，是描述有未知量的数量间相等关系的数学表达式”。后续教学中我们看到了学生对等式与方程的关系有了深刻领悟，有效突破了本节课教学难点。】

3.体会等式与方程的关系

师：联系刚才的操作，说说自己对方程的理解。

……

师：如果画这样一个图示，你能帮“方程”和“等式”找到它们准确的位置吗？

学生交流后回答，并说明理由。（教师完善图示。）

再请学生看着填写好的集合图用语言描述方程与等式之间的关系。

（三）片段三：在动态情境中理解等量关系，体会方程本质

师：刚刚我们说像1.8>1.4这类数学式子我们不能称之为方程，为什么？

生：因为它既不是等式也不含有未知数。

师：过了几年后，小明长大了也长高了，他长了x米，这时候爸爸说了“小明还是没有我高”。这个能不能用方程表示？

生：不能，因为这里不存在等量关系。

（板書：1.4+x<1.8）

师：这时爸爸又说了“小明如果再长y米就和我一样高了”，这里能用方程表示吗？

师：我们只有找到数量中的相等关系，才能用方程表示。

（板书：1.4+2x=1.8）

【让学生在一个动态的情境中再次体会只有找到数量间的相等关系，加深对新知的理解。】

二、总评

方程是从现实生活到抽象的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程。方程思想的核心在于对数量间关系的建模和转化归纳。相对于传统的教学，本课做了大胆尝试和探索。

（一）从直接认识等式转变为认识数量间的不同关系

教师创设用天平比较物体质量的生活情境，学生很自然地想到天平两端物体质量大小存在三种不同关系，并尝试用数学式子进行表述，引出等式与不等式。这样可以突出对数量之间关系的理解，把对等式的理解建立在数量之间关系的基础之上，而不是建立在数的运算基础之上。

（二）从直接认识方程转变为对描述不同关系的数学表达式进行分类后认识方程

传统教学中，学习素材都是同质的（都是等式），对概念的抽象概括过程就难以充分展开，难以建立起等式、方程、不等式等概念间的联系，难以把数学知识结构化。本课教学中，教师创设了丰富多样的生活情境，让学生用数学式子表达数量间的不同关系，学生可以充分感知，广泛体验。接着，教师组织学生对它们进行分类，得到四种不同的式子，这些式子间的关系紧密，既有同质关系，也有从属关系，还有并列关系。由于学习素材的丰富性和完善性，学生能有充分的思维活动，掌握概念间的相互联系，在逐步的抽象概括中自主构建出方程意义的本质属性。

（三）纵观整节课教学，教师让学生经历了“问题情境——数学模型——解释与应用”的全过程

首先是“问题情境——数学模型”的过程。本节课让学生从研究问题情境中数量间的关系入手，写出数学表达式;再组织学生对描述的各种数量关系进行分类，让学生在分类过程中感受、体验、对比、归纳，再概括出方程的意义。在这个过程中，学生经历了“数学模型——解释与应用”的过程，培养了学生抽象概括的能力，发展了学生的演绎思维水平。

参考文献：

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.