高等数学引领下的初等问题——从一道八省联考试题的探究说起

朱世杰 (苏州大学数学科学学院 215006)

1 问题提出

导数是高等数学背景下的初等数学问题的典型，是引领学生开启微积分学习的金钥匙，是解决函数、方程和不等式等问题的有力工具，是联系初等数学与高等数学的桥梁和纽带，也是高考命题的热点、亮点和创新点．2021年全国八省联考数学试题以其科学性、前瞻性、灵活性和创新性而引人瞩目，其中具有代表性的第8题是：

已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则( )．

A．c

C．a

本题以方程与函数为背景，以不等关系的判断为目标，以导数为解题工具，以等价转化、函数与方程、数形结合和分类讨论思想为依托，入口宽、方法广、观点新、立意深，蕴含着丰富的数学知识和思想方法，具有很高的探究价值．

2 问题解法探究

通过对问题的深入思考和研究，能够挖掘出问题的本质和内涵，发现问题间的内在联系，同时培养良好的思维习惯，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，打开通往数学科学殿堂的大门．

图1

图2

图3

3 展开联想，借题发挥

3.1 借题发挥：研究常见函数模型

图4

A．a

C．c

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设a>0，求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值；

(3)若存在正实数a,b(a

3.2 借题发挥：构造原函数模型

模型应用 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m-2 021)>(m- 2 021)f(1)，求实数m的取值范围．

3.3 借题发挥：解决极值点偏移问题

极值是函数的重要性质之一.从以上六个函数模型的图象可以看出，它们与最基本的二次函数的极值相比不具有对称性，即极值点偏移了，而函数极值点偏移问题恰恰就是全国高考数学命题的热点之一．

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数y=g(x)对任意x满足g(x)=f(4-x)，证明：当x>2时，f(x)>g(x)；

(3)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>4．

x(-∞,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘

(3)由f(x)在(-∞,2)内是增函数，在(2, +∞)内是减函数．故当x1≠x2且f(x1)=f(x2)时，x1,x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1<2g(x2)，又g(x2)=f(4-x2)且f(x1)=f(x2)，故f(x1)>f(4-x2)．因为x2>2,44-x2，即x1+x2>4．

4 对数学学习的理解

数学学习重在对概念、性质、定理、公式和法则等的理解和应用，重在对基础的夯实、思维的激活、方法的应用、能力的提升和解题后的反思．具体包括：

4.1 数学学习重在基础

数学是用概念来思考问题的，所以对数学概念的理解尤为重要．由于数学内容的逻辑性强、抽象程度高，数学学习时必须先有浓厚的兴趣和刻苦钻研的精神，其次要能独立思考和实践探索，还要敢于质疑和挑战权威．只有扎扎实实、循序渐进地打好基础，静下心来去思考问题的内涵和外延，才能更好地学习数学．

4.2 数学学习重在探究

建构主义学习观认为，知识并不是简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动加以建构．换句话说，数学学习必须以学习者的自主建构为基础，以数学探究为手段，以学会学习为核心，以实现探究精神和实践能力为目标．

4.3 数学学习贵在创新

爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步．”理解概念、学会推理、领悟思想、掌握方法是数学创新的基础，善于发现和提出问题才是创新的源泉.当你能够创新时，创新和发现就犹如数学家玻利亚所说，“在你找到第一个蘑菇时，继续观察，你就能发现一堆蘑菇．”这将是我们学习者追求的真正目标．