溯源命题背景 厚重理性思维

金曦东 (江苏省苏州市吴中区东山中学 215107)

在问题解决中，溯源问题的背景，探索问题的由来，分析问题的结构，揭示问题最本质的内核，能够厚重解题的理性思维，让学生的思维更加沉稳．特别在高三复习中，很多高考原题受到教师的青睐，但很多时候教师关注的只是这个问题怎么解，如何优化解法．而命题的背景是什么？命题的本意是什么？这些问题往往被淡化了．笔者认为，通过正本溯源与命题专家心灵对话，求变求新形成自己的感悟，让思维八方联系浑然一体，是提升复习效率的重要途径．

1 心灵对话，会意命题意图

数学问题的解决历来是数学教学的核心．命题者要考什么和考生怎么解题，是两个不同的思维轨道．当这两个思维轨道交汇的时候，才能充分达成命题者的意图，学生也可能得到最大的解题效益，这在高三复习阶段尤为突出．数学问题的解决，有各种不同的途径和方法，还要经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、反思构造等一系列思维过程，以及对数学模式进行思考并作出判断，这就注定了“一千个观众眼中有一千个哈姆雷特”．而有的方法只能说是就题论题，人为技巧化的痕迹很明显，看问题的角度也过于生冷，有的甚至过分强调问题的细枝末节，这对学生形成理性思维是没有多大帮助的．通过分析、比较，从基础知识、基本技能、问题模型和思想方法层面，探寻更接近命题意图的东西，与命题专家进行隔空心灵对话，理解专家希望考查什么知识、希望学生掌握什么思想方法，又将什么能力外显，触摸问题的背景，会意命题的意图，揭示问题本质，这是对问题有针对性、深层次的观察．

2 正本溯源，厚重理性思维

发展学生的数学思维，提高学生发现问题、分析和解决问题的能力，是高中数学课程的基本目标．高三复习，应比平时的新课教学在思想上、方法上、教学行为等方面站得更高、看得更远，并尝试性地做一些突破性的工作．“夯实基础，突出主干、揭示本源、提升能力”为高三复习的核心任务．数学教学不是以解释问题为目的、而是以解决问题为根本，问题解决在很大层面上是对问题结构的认识，正本溯源才能更好地接近问题的本质，才能为最终解决问题创造条件．正本溯源是高三复习的精神要求，是促进学生形成理性思维，提高复习效率的有效途径之一．当然，正本溯源是不可能一蹴而就的，必须建立在学生基础已经夯实，知识体系网络化初步形成，基本方法、基本技能、基本思想初步具备的前提下．同时，这对教师应当具备的专业素质也提出了更高的要求，教师不仅要有“揭示本源”的准备，还要有提高认识的决心、行动策略和付诸实践的勇气和耐心．

3 问题解决，明晰思维指向

正本溯源，重在明确思维的指向．如，数学的核心概念、结构分析、信息优化、数学的思想方法以及数学结论、法则的本质等，都是正本溯源的重要关注点．高三复习课教学设计、学生检测卷的编制以及评析等诸多环节，都需要注重从数学问题立意的角度去分析．多角度、多层次分析解题的思维过程，并从知识层面、方法层面、能力层面加以比较，使解决问题的方法更贴近命题者的期盼，对接命题的出发点、落脚点．

3.1 回眸概念，区分考察层次

数学概念尤其是数学的重点概念，历来是数学教学的核心，理应成为数学命题立意的基础．高考中，很少有单独命题去考查某个孤立的概念，比如正弦型函数问题，往往要围绕这个概念并辐射到有关图象、性质等关联内容，需要综合地、系统地分析问题．高三更应体现“核心概念”和“概念的核心”在复习中的地位，强调概念对数学本质认识方面的突出作用，在回眸概念中再认识问题．

分析 这道题是通过三角函数的概念、图象和性质，考查学生对三角函数性质的掌握情况，命题者的立意很明显是建立在对f(x)=sin(2x+φ)图象及其性质掌握的基础之上，解题方法也应当是直接瞄准这些基本内容．

教学中发现，不少学生采用了以下方法：

方法2 由题意知

尽管也运用了不等式思想以及三角函数的有关运算，但是方法2、方法3对f(x)=sin(2x+φ)根据条件所得到的函数图象和性质不清晰，在取值运算的过程中，完全无视三角函数性质和题目条件所暴露的图形信息，有理由认为方法2、方法3不是命题的最优意图，也似乎缺少一些更触及问题本质的理性思维．

3.2 分析结构，划归数学模型

在数学模型中建构数学问题是命题者重视的，发现问题背景模型，往往会带来“似曾相识”之感，更容易聚焦思维，给解题指明方向．特别是高考的应用问题，透过题目给出的一些生活、文化等信息，发现其背后的数学本质，建立起解题的数学模型，有效地将“生活化”的问题进行“数学化”，这是解这类题的必然思维轨道．

例2在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn(n≥1)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求bn= tanantanan+1的前n项和Sn．

前者运用了倒序相乘法这一模式化的方法，后者运用了等差、等比数列的定义及通项公式，仅从方法层面而言，尽管我们无法评判两种解法孰优孰劣，但是数学问题能够模式化解决，运用自己熟悉的范式，这是很多学生愿意而且希望看到的．

很多学生不能解决本例的根本原因，是对“裂项求和”模式不熟练，tanαtanβ常常在tan(α+β),tan(α-β)中见到，因此构造两角和、两角差的正切函数可以说是不二的选择，而在两角和与两角差之间也只能选择两角差的正切，这是裂项求和模式的需要．数学问题模式化尽管不能过于强调，但是也不可或缺，增加数学模型的储备是非常必要的．

3.3 优化信息，显现核心本质

捕捉、提取和加工解题信息是解题活动中最为关键、最为基础的环节，势必会成为数学问题立意的热点．从信息的来源看，一方面是从“双基”中获取的信息，如相关的数学定义、概念、法则、结论，数学思想方法，题型特征等．另一方面是从题设、题断中提取的信息，如位置信息、数值信息、结构信息等．这些是高三复习中的重要关注方向之一，决定了能不能看透问题的本质以准确剖析问题．

这种解题方法考查了不等式的性质、代数恒等变形的能力和推理论证能力，而且运用的是不等式证明中的通性、通法：作差法．私自揣摩，这或许并不违背命题意图．但是，总感觉有些不自在和不踏实，因为这道题结构特征那么明显.

从方法2可以看出，这种解法与数学问题的结构信息相关联，它不仅贯穿了函数的单调性并且有很“浓厚”的函数思想，思维增加了一些灵动．

3.4 应对沉稳，积淀思想方法

以数学思想、方法和能力立意的数学问题，不仅要注重逻辑推理，更要领会形式化表达背后所蕴涵的思想方法，这是数学问题立意中最隐性也是最难以把握的．形式化表达是数学的基本特征之一，在数学教学中，要透过形式化的表达，强调对数学本质的认识，揭示其蕴涵的思想方法，使思维在积淀中沉稳．

(Ⅰ)当x∈(0,x1)时，证明:x

分析 这道题在形式化表达的背后有几个关键问题：

(2)已知条件中有x2，而在求证中没有x2，那么x2的作用是什么？如何发挥x2的作用？

(3)研究对象是y=f(x)还是F(x)=f(x)-x？

观察图象，在形式化表达上揣摩立意背后的数学思想，如不等式思想、方程思想、函数思想、数形结合的思想，更进一步探究其背后的内在联系，以及逻辑结构和核心，提出几方面的探索：

图1

考虑到二次函数的对称性以及00，在x∈(0,x1)时，y=f(x)在y=x上方，且最大值为f(x1)=x1，所以x

从方程、不等式的角度，可以构造F(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，这是目前最常见的解法，这里不再赘述．

(2)x2的作用是什么？

从数形结合的角度看x2的作用，它是在确定y=f(x)对称轴的位置上发挥了作用．但是，从不等式、方程的角度看是起放缩比较的作用．

①求证：x

设F(x)=f(x)-x,因为F(x)=0的根是x1,x2，所以F(x)=a(x-x1)(x-x2)．当x∈(0,x1)时，由于x10，故f(x)-x>0．

②求证：f(x)

这个过程也蕴含了问题(3)的回答．从以上分析看，对数学问题立意的分析、探究和归纳、概括，不仅走近了数学问题，了解了数学命题的意图、触及数学本质．更为重要的是在这一过程中，所运用的数学概念、法则、结论更明确、合理，更容易判断．同时，在这一过程中充分暴露了解题思维的全过程，以及蕴涵其中的数学思想方法，这对提高学生思维品质，形成理性思维具有积极的意义．

4 结语

磨砺始得玉成，会解题只是学习的初级阶段，通过对问题的正本溯源，对话命题本意，让学生把题目做得明白，知道为什么这么做．再通过进一步分解、组合、重构等一系列过程，探索问题和已知知识、熟悉问题的联系，建立已知和未知的通道，认清问题的本质，并对问题进行更深层次的变化，让思维更加理性，这应该是我们期盼的“解题教学”吧．