基于知识构成的结构化教学主张——以“合并同类项”为例

陈学军 (江苏省苏州高新区教研室 215163)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标》)强调，数学知识的教学要注重知识的生长点与延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性．[1]章建跃多次指出“在课堂教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生建构前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程当中学会思考”[2]．基于知识构成的结构化教学主张就是在数学课程目标的指导下，把科学形态的数学知识(主要是事实性知识、概念性知识)加工成体现思想方法、数学价值的数学教育形态的知识；通过对数学内容的整合与开发，使目标、知识、任务、活动形成一个相互一致的整体，在学生认知最近发展区内纵向连接数学核心内容与数学方法、思想，横向凝聚数学学科关键能力，引导学生在背景和过程中主动探究、构建认知结构、积累获取知识的经验，应用和内化数学思想方法，形成以在问题解决过程中理解数学学习内容本质为指向的心理特征，并培育其后继发展所需要的必备品格和关键能力．

1 把握教材中学科知识的构成

教材是学科知识的重要载体，决定着教师教什么、学生学什么，教材的学科知识由陈述性知识(事实性知识、概念性知识)、程序性知识、方法性知识和价值性知识构成[3]．其中陈述性知识、程序性知识是以一定的逻辑结构来表征的，是学科知识的骨架．而方法性知识和价值性知识是隐性的知识，是学科观念和灵魂．不同知识的教学策略不同，只有挖掘教材中的隐性知识，洞察到事实性知识、概念性知识和程序性知识背后的过程与方法以及情感与价值观，才能激活学生的知识与技能，逐渐形成学科素养．本节课中的同类项定义为概念性知识，合并同类项则是程序性知识，而为什么研究合并同类项、如何从实际背景中抽象出同类项概念以及合并同类项的法则、建立以“运算”为主线的探究框架，这些关于如何学的策略需要数学的观念方法等隐性的知识去支撑．

2 教学任务结构化分析

在分析课程标准、教材内容以及学情的基础上，根据本节课知识的构成、其背后隐含的科学观点方法、价值观以及与数学学科关键能力的关联，来设计承载它们的任务与情景．

核心词陈述性知识程序性知识隐性知识预设结果教学活动预设抽象意识生活中的“同类项”;同类项的定义;合并同类项法则感受情景-对象-内容-方法-结果的探究过程和数学的统一性,形成学科观念从“运算”角度类比猜想新课探究内容;能由特例概括同类项的定义、合并同类项法则问题1发挥先行组织者的功能,获取研究对象;片断2、片断3由生活情景到数学情景,引导学生从感性到理性、特殊到一般进行抽象概括推理能力合并同类项法则在“做—感受—明晰法则”中理解原理能说出每一步的依据学生独立思考片断2和片断4,明确例题中计算的依据运算能力合并同类项法则的步骤经历“数→式→数”的学习过程,体会数、式的统一知道合并同类项本质上是转化为数的计算师生共同完成片断3、片断4

在此基础上，确定教学目标为：(1)理解同类项的概念，能识别同类项；(2)知道合并同类项的依据，掌握合并同类项的法则，会合并同类项；(3)在探究同类项的概念和合并同类项法则的过程当中，体会一般观念指导下数学探究的一般途径，感受“数式通性”的内在和谐统一，提升数学审美意识和理性思维．

这样结构化的教学任务框架进一步准确地把握教学的起点和归宿，规定了教与学的进程与方向，将知识、活动、目标等进行逻辑化和具体化，引导教学的全过程，确保了教学目标与过程之间的一致性．

3 基于知识构成的结构化教学实施

教学中为了更好地实现认知思路和核心观念的结构化设计，针对知识类型，通过知识的梳理与整合、数学思维的程序优化、数学学科观念等的建构来提升学生知识结构化水平，发展数学学科关键能力．

3.1 策略性知识——以学科观念的角度建构教学内容

策略性知识指如何学习和思维的知识，是对如何进行问题探究、观念建构与“一般套路”的思维模式的认知．教学中将蕴含在概念、法则形成过程中的数学知识的建构、数学方法的运用、数学思维的训练等“如何学”的隐性而又有统摄性的知识进行显性化，使其融入核心知识的教学内容中，可进一步优化学习策略，提升自主学习能力．

片断1 同类项概念的引入(策略性知识——构建研究过程的认知)．

问题1上一章我们学习了有理数，把数进行了分类，从特殊入手，归纳了有理数的运算法则和运算律．本章在学习了用字母表示数以后又出现了代数式，接下来我们该研究哪些内容？怎么研究？

生1：代数式的运算．

生2：可以类比数的研究，先探究代数式的加减法．

师：对，我们可以类比数的研究，先从简单又熟悉的单项式入手．

问题1是本节课研究的核心问题，也是关于如何学习的问题，起到了先行组织者的作用．

本节课的教学起点究竟在哪里？很多教师往往是先展示一些现实的情景，然后从中抽象出研究对象，课本也是从“计算校园总体规划图的占地面积”入手的.这样做常常是可行的，但学生困惑的是，作为一个探究者怎样想到这一“从天而降的”现实问题的？另一方面，学生也很难从一些支离破碎的现实情景中体会数学发现的一般方法．而从“运算”的角度发现问题和提出问题，既是数学知识自然发展过程中的“数学现实问题”，也是发展学生一般观念的需要．让学生类比“数→式”的学习过程，系统地发现问题、提出问题并解决问题符合“建构前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程当中学会思考”的理念(图1)．同时，也为后续的为什么要学、学习什么、如何学积累了经验，帮助学生进一步体会数学探究的“一般套路”，自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，发展理性思维．

图1

片断2 合并同类项法则的探究(策略性知识——构建研究过程的认知)．

生活情景：小明去买早点.爸爸：两个包子，一个大饼；妈妈：一个包子，一个大饼；小明：一个包子，两个大饼．他该如何表达？

生：把“单位”相同的分别合起来，共买四个包子、四个大饼．

熟悉的生活问题，让学生隐约感受到同类型的量是可以合并的，现在学生已学习了同类项，那么是否也可以合并同类项呢？假如可以的话，应该遵循怎样的法则？

数学情景：图2是某学校的总体规划图(单位：m)，试计算出这个学校的占地面积．

图2

比较小丽和小明的算法：

小丽：学校的占地面积可表示为(100a+200a+240b+60b)m2．

小明：学校的占地面积可表示为[(100+200)a+(240+60)b]m2．

师：你认为小丽和小明的计算合理吗？

生1：都对的，小丽是分四小块计算的，小明是分上、下两大块合并计算的．

师：还可以怎么计算？

生2：直接合并得到(300a+300b)m2．

师：小丽、小明还有生2的计算结果相等吗？依据是什么？

生3：三位同学的计算是相等的，依据是乘法的分配律．

师：从小丽的分块计算到生2的合并以后的简洁表达，你能把隐约感觉到的法则进一步明晰吗？可以分组讨论．

生：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母或字母的指数不变．

3.2 陈述性知识——以知识关联的角度建构教学内容

陈述性知识是关于事实及其关系的知识，数学概念和事实是关于“是什么”的陈述性知识．教学中对分散孤立的数学事实建立起逻辑关联的概念，使教学内容结构化，可以更好地引导学生用整体联系的观念理解概念，建构知识体系．同类项概念的学习过程如下：

片断3 生活情景(事实性知识——生活中的同类项)．

问题1某公司A大楼一周产生其他垃圾100袋，可回收物240千克；B大楼产生其他垃圾200袋，可回收物60千克．合计是多少？

生1：100袋+240千克+200袋+60千克．

生2：300袋+300千克．

师：生2你是怎么想的？

生2：“单位”相同的可以合并起来．

师：还可以继续合并吗？

生3：不行了，“袋”和“千克”不是同一个类型的“单位”，所以不能再合并．

师：生活中常常把具有共同特征的事物合并在一起，如“垃圾分类”等．数学也是这样．

数学情景(概念性知识——同类项的定义)

问题2观察下列单项式，把你认为相同类型的式子归为一类：

2,3t,4xy,3x2y,-7xy,-3,-3t,2x2y．

生1：按系数符号分，可以分为两类：2,3t,4xy,3x2y,2x2y；-7xy,-3,-3t．

生2：还可以按所含字母分成三类：2,-3；3t,-3t；4xy,3x2y,-7xy,2x2y．

生3：更细一点，把“单位”相同的看作一类：2,-3；3t,-3t；4xy,-7xy；3x2y,2x2y．

师：生3的你“单位”相同的含义是什么？

生3：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．

师：我们对事物的分类可以有不同的标准，以上三种分类你们认为哪个更有意义？

生：根据今天学习的项的合并，应该是生3的分类更有意义．

师：我们把所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

教学中从学生头脑中零散的生活情景入手，通过建立起生活中的相同“单位”和数学的同类项之间的联系，引导学生用数学的眼光观察世界，增强了学生的抽象概括能力(图3)．

图3

3.3 程序性知识——以认识思路的角度建构数学内容

程序性知识是关于完成某项任务的行为或措施步骤的知识．数学中的运算、解决问题的探索步骤、解决的方法及操作流程等都是关于“如何做”的程序性知识．

片断4 (例)合并同类项：a2-3ab+5-2a2+4ab-7．

分析：先找出同类项，并标注不同的标记；再用加法交换律把同类项移在一起；然后利用乘法的分配律进行合并，最后将式的合并转化成数的计算．

a2-3ab+5-2a2+4ab-7

寻找

=a2-2a2-3ab+4ab+5-7

交换

=(1-2)a2+(-3+4)ab+(5-7)

合并

=-a2+ab-2．

计算

其思考流程为如图4所示．

图4

在帮助学生理解题意的基础上，搭建认知思路层面上的程序性支架，可引导学生用数学的思维系统缜密地分析问题、规范高效地解决问题，提高推理和运算能力．

师：合并同类项的依据是乘法的分配律，本质上是将“式”的合并转化为“数”的计算．根据刚才的研究，我们怎么完善图5的结构？

图5

在结构化的教学主张中我们要注重概念的联系和统一，突出对研究思路的剖析以形成认知程序，体会研究方法和研究结论的类比．由此，帮助学生站在更高、更宽的视野下理解知识的背景、生长点，准确地把握核心概念之间的逻辑关联、体会知识背后所隐含的科学方法与理性思维，逐步提升数学学科关键能力．