基于应用案例和几何意义的线性代数教学研究

王晓民 苏道毕力格

摘  要：文章讨论了在线性代数教学中引入实际应用案例和几何意义的重要性。在线性代数教学环节中给出应用案例和几何意义，有助于对抽象概念加深理解，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过几个具体的应用案例解释了矩阵的数乘运算、矩阵乘法、逆矩阵、特征值和特征向量，并且给出了向量组线性相关性和线性方程解的几何意义的例子。

关键词：线性代数;应用案例;几何意义

中图分类号：G642        文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2021）14-0104-04

Abstract： This paper discusses the importance of introducing practical application cases and geometric meaning in the teaching of linear algebra， which is helpful to deepen the understanding of abstract concepts and improve students' ability to analyze and solve problems. Through several concrete application cases， we explained the numerical multiplication operation of matrix， matrix multiplication， inverse matrix， eigenvalue and eigenvector of matrix， and we gave some examples of the geometric meaning to the linear dependence of vector group and the solutions of linear equations.

Keywords： linear algebra; application case; geometric significance

在科技迅速發展的今天，数学的作用仍然是无法替代的，几乎所有的科学理论最终解决都归结为数学问题。线性代数作为数学的一个分支，在物理、化学、生物、国民经济、航天、航海和工程技术等领域都有广泛的应用。而且在实际问题中，很多非线性的方程与函数问题都可将其化成线性方程和函数进行研究，可见线性代数承担着所有的方程和函数的研究任务。特别是在工程计算中，约90%的工作量是计算线性问题，其中约80%的计算量求解线性方程组，约10%的计算量是求解特征值和特征向量[1]，线性代数的应用几乎涵盖所有的工程技术领域。所以在工科院校的高等教育中线性代数是必修的一门重要基础课程。

一、线性代数教学现状

线性代数相对其他数学分支来说是比较简单的一门课程。但是，还有很多学生感觉线性代数难学难懂。线性代数目前主要存在的教学现状有：

首先，学生感觉线性代数抽象、知识点多，很多概念和性质容易混淆，不容易掌握。而且教学内容涉及的具体实际应用较少，教材中缺少相关生活中实际应用性的案例。很多学生不知道线性代数会在什么地方使用，也就不知道学习线性代数的重要性，所以只能被动地接受知识，学习过程中缺乏积极主动性。其次，线性代数学时少，要讲解矩阵、行列式、线性相关性、向量空间、线性方程组、二次型、特征值和特征向量等内容。所以大多数教师采用以理论灌输式的方法，很少会提及问题的实际背景和几何意义。这种以理论为主的传统教学模式，缺少对学生启发性和创新性能力的培养，使教学效果受到较大的影响。另外，目前使用的教材普遍内容不够丰富、新颖，缺少与生产生活实际紧密结合的具体应用性实例，缺少几何直观的解释，致使学生学习的积极性不高[2]。

二、教学环节中采取的措施

为了使学生较好地理解抽象的概念，我们可以从实际问题出发，首先引导学生如何建立数学模型来分析问题并解决这些问题，在解决问题的过程中再把抽象的概念和方法引出来，这样可以达到较好的教学效果。为此我们可以采用以下措施：

（一）在教学环节中，适当引入实际应用案例的启发式教学

在教学过程中，如果一个问题没有实际应用的背景，那么对于线性代数知识的理解就变得很困难。如果我们恰当适度地引入实际案例可以提高学生的学习积极性和主动性，也可以培养学生把实际应用问题转化成数学问题进行解决的能力。这样的措施不仅有助于学生对抽象概念的理解，更能够激发学生分析问题和解决问题的积极性，从而获得较好的学习效果。例如，在向量的数乘运算和矩阵乘法的教学中，可以引入下面经济学中的实际案例。

例1. 某企业生产一种产品，生产每单位产品r，需要花费6.5元的材料、3.5元的劳动力和1.5元的管理费。每单位产品r的成本为r=（6.5，3.5，1.5）T，则100r表示的经济意义是什么？

解：100r表示的经济意义是生产100个产品r所需要的各种成本是

100r=（650，350，150）T，

这就是向量的数乘运算。

如果直接讲解向量的数乘运算，很多学生会出现一部分元素乘以数k，一部分元素没有乘以数k的情况。如果通过上面的实例讲解，学生就会明白所有成本都要变成100倍，每个元素都要乘以这个数k，这样就会避免上述错误的发生。

例2. A、B两家超市两周的水果进货量和价格情况如表1、表2所示，求两家超市第一周和第二周所进水果的成本费。

解：两张表格可以写成以下矩阵形式，并且我们用矩阵的乘法来计算

所以A超市第一周和第二周所进水果的成本费分别为a11b11+a12b21+a13b31元和a11b12+a12b22+a13b32元;B超市第一周和第二周所进水果的成本费分别为a21b11+a22b21+a23b31元和a21b12+a22b22+a23b32元。

通过引入这个实际生活案例，学生就能非常容易掌握两个矩阵如何相乘和矩阵乘法的实际意义。进而学生也能够理解两个矩阵相乘需要满足的条件。在教学过程中我们也可以引入刚体运动来解释矩阵乘法的意义。

我们在讲解逆矩阵时，可以引入逆矩阵在加密通信领域中的应用。我们可以建立一个通信加密模型。发送人：明文矩阵B——加密矩阵A——密文矩阵C。接收方：密文矩阵C——解密矩阵A-1——明文矩阵B。首先设定一个双方都知道的加密矩阵A，使得|A|=1或-1，发送方产生密文矩阵C，即C=AB，因A可逆，所以接收方用解密矩阵可以得到明文矩阵B，即B=A-1C。

另外，在讲解特征值和特征向量问题时，我们可以引入人的面部图像识别的实际应用案例。尤其在科学技术迅速发展的今天，面部图像识别应用非常广泛，是一种非常理想的身份验证方式。面部图像识别实际上包含很多类问题，例如信息压缩和检索、信息挖掘、图像重建和识别等等，我们可以只介绍信息压缩问题。计算机上的一幅人脸图像实际上是一个矩阵。我们的一幅1024×768清晰度的图像，就是m=1024，n=768的m×n型矩阵。考虑简单的黑白图像，则矩阵记录的就是该点的灰度值。将每一个人的脸部图像都标准化，这样每一幅图像表达为一个向量。首先在人脸的图像库中挑选若干“有代表性的图像”，将其平均，得到一张“平均脸”，再把“有代表性的图像”的相关性用矩阵A表示出来。再考虑矩阵A的特征值问题，相对大的特征值所对应的特征向量，对表达“有代表性”图像集合所携带的信息更加重要。最大的特征值对应的特征向量是更加宏观的信息，某一个特征值对应的特征向量是更加细节的信息。我们取矩阵A的最大的n个特征值所对应的特征向量作为人脸图像所在的空间的基底，这样任意一幅人脸图像就可以用该基底近似表达出来，进而给定的人脸图像就可以成功压缩存储起来[5]。

除此之外，也可用Google搜索引擎来说明特征值的应用[5]。引入向量组的线性相关性在配制药方问题中的应用等等。

（二）在教学中引入直观的几何教学方法，将较为抽象的内容与数形相互结合，这样可以把抽象的数学内容转换为容易理解的直观几何问题

线性代数研究的是n维空间，尽管它处理的工具是代数工具，但处理的是几何对象，例如向量空间及其变换。可见线性代数是代数与几何密不可分的统一体。笛卡尔说：“没有什么东西比几何图形更容易引入腦际了，因此用这种方法来表达事物是非常有意义的。”希尔伯特说：“算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式;没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。”所以在教学中引入容易理解的直观几何问题，将代数和几何相结合，赋予抽象概念的几何意义，有助于学生深刻理解线性代数中的一些抽象概念、定理和方法，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。例如，对于两个向量线性相关和线性无关的定义，学生很难理解，我们可以通过几何意义来解释。两个向量线性相关的几何意义是当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上，否则就是线性无关[3-4]。三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面[1]。对于特征值和特征向量的几何意义可以解释为：一个图形在空间上先沿着其矩阵的特征向量的方向旋转，再沿着其特征向量的方向缩放特征值的大小的比例。

例3. R2的向量α=（2，1）T的几何表示是一条由原点（0，0）指向点（2，1）的有向线段。向量β=（4，2）T与向量α线性相关，向量γ=（3，1）T与向量α线性无关。见图1、图2。

R3的三个向量α=（0，2，-1）T，β=（2，0，-1）T，γ=（1，1，-1）T线性相关，所以共面。三个向量α=（0，2，-1）T，β=（2，0，2）T，γ=（1，1，-1）T线性无关，所以非共面。见图3、图4。

例4.问k取何值时，非齐次线性方程组

x+y+kz=4-x+ky+z=k2x-y+2z=-4，

（1）有唯一解;（2）有无穷多个解;（3）无解？

解：上述三种情况分别对应三个平面交于一点、交于一直线、无公共交点的情形。容易算出（1）k≠-1且k≠4;（2）k=4;（3）k=-1时得到结果。见图5、图6、图7。

另外，我们在理解行列式概念时可以采用数形结合的方式，二阶行列式对应有向面积，三阶行列式对应有向体积。线性方程组解的结构定理对应三维空间子空间的正交补，施密特正交化方法可以对应三维空间的向量垂直问题等等。

四、研究意义

引入应用案例和几何意义的启发式教学，可以从实际问题出发，结合相应的直观几何来启发学生的思维，充分调动学生分析问题和解决问题的主动性和积极性。

1. 如果我们通过实际案例再引出理论，使学生不再对数学理论知识感到厌烦，可以激发学生主动独立思考和自主学习的兴趣，也提高了学生理论联系实际的能力。

2. 恰当适度地引入直观几何来解释抽象的概念是非常重要的。引入直观几何，利用图形相结合的教学方式关键在于能有效启发学生的思维，弥补学生在应试模式下，从小就失去的兴趣和个性的发展。同时也避免了没有教师的一系列指导，学生虽然掌握了足够的知识也无法进行自主学习的现象，这也是传统的填鸭式教学给学生带来的危害，使学生失去了自己的个性，缺乏对自己兴趣的探索。

我们应该积极探索更有效的启发式教学，给学生留出足够的时间去独立思考，自主学习，避免每个学生所掌握的知识都来自于教师盲目的填鸭式输入。避免教师把每一个知识点都彻底地分解，要给学生保留一部分，让他们自己去分析问题然后再解决问题，这样才能充分发挥自己的想象力和创造力，使自己的大学生活更加丰富多彩，以至于在未来的职业生涯中能更多一份自信和坦然。

参考文献：

[1]乌力吉，杨海东.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]金英花，江正仙，崔金超.基于应用的线性代数教学研究与探索[J].教育教学论坛，2018（26）：178-179.

[3]戴维C雷.线性代数及其应用（第四版）[M].刘深泉，张万芹，等译.北京：机械工业出版社，2017.

[4]任广千，谢聪，胡翠芳.线性代数的几何意义[M].西安：西安电子科技大学出版社，2015.

[5]白峰杉.数值计算引论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.