基于Hirota双线性方法的变系数BLMP方程的精确解

曹建莉，韩景芳

(河南工业大学理学院，河南郑州 450001)

1 引言

非线性发展方程可以描述各种现象随着时间变化的过程，涉及等离子物理、流体力学、生命科学、高分子材料系统等领域，因而，求解非线性发展方程显得尤为重要.本文考虑BLMP方程

uy t+uxxxy-3uxxuy-3uxuxy=0.

(1-1)

文献[1]将KdV方程推广到(2+1)维；文献[2]通过李群方法得到新的相似约化解，包括有理解、双曲函数解、Jacobi椭圆函数解和三角周期解；文献[3]获得了方程的变量分离解；文献[4]基于Bell多项式和双线性变换获得了方程的双线性Bäcklund变换和Lax对.文献[5]运用Hirota双线性方法，研究了方程的有理解、lump解及其解之间的相互作用.文献[6]得到了方程的碰撞解.

Hirota双线性方法、Wronskian技巧是求解孤子方程的重要方法.本文主要基于方程的双线性形式，利用Wronskian技巧和Pfaff式得到其Wronskian解和Grammian解，所得结果用Maya图进行表示.

2 BLMP方程的精确解

2.1 BLMP方程的Wronskian解

文献[7]中得到了BLMP方程的双线性形式、N-孤子解，并给出了一种Wronskian解.

令

u=-2(lnf)x,

(2-1)

将(2-1)代入(1-1)，可得到BLMP方程的双线性形式

(2-2)

即

(fty+fxxxy)f-3fxxyfx-fxxxfy-ftfy+3fxxfxy=0.

(2-3)

Wronskian的定义如下：

(2-4)

设函数φj=φj(x，y，t)在t≥0，-∞

(2-5)

当Wronskian(2-4)在满足(2-5)的条件下，就得到(2-2)的Wronskian解.

2.2 BLMP方程的Grammian解

在已有上述Wronskian解的基础上，设

(2-6)

a，b，c，d只表示正负号.

Grammian的形式如下：

(2-7)

引入Pfaff式元素，根据Pfaff式的元素求导，将(2-6)的条件代入其中，则

在上述计算中，可得a，c同号，b，d同号，统一分别用e和f表示.

Pfaff式的导数可由Pfaff式元素求导，并利用Pfaff式展开公式扩展到整体得到.

其中，Pfaff式中的{1，2，…，N，N*，…，2*，1*}用“·”表示.

将上述导数代入(2-3)式，得

再由-4-4f=0，得b=d=-1.则

所得结果对应的Maya图表为

结果为行列式的Jacobi恒等式.故(2-7)式在(2-6)的条件下，且b=d=-1时，为(2-2)的Grammian解.

3 变系数BLMP方程的精确解

2uy t+uxxxy+3uxxuy+3uxuxy=0.

(3-1)

(3-2)

则方程变为

puy t+uxxxy+quxxuy+quxuxy=0.

(3-3)

作变换

u=R(lnτ)x，

(3-4)

(3-5)

3.1 变系数BLMP方程的Wronskian解

文献[9]中王明亮和李志斌等教授提出了齐次平衡法构造孤子解，文献[10]中，利用相似的平衡法构造方程的Wronskian解和Grammian解.

(3-6)

将(3-6)代入(3-5)，用平衡法求得：m为任意正整数，n1=3，n2=0.

令

φj，t=αφj，xxx，φj，y=βφj,mx,

(3-7)

当m=1时，

φj，t=α1φj，xxx，φj，y=β1φj,x.

(3-8)

由-3β1-β1-pα1β1=0得，pα1β1=-4β1，上式计算为

所得结果用Maya图表表示为

结果为行列式的Plücker关系式.当m=1时，(2-4)在(3-8)的条件下，且pα1=-4时，为(3-5)的Wronskian解.

Wronskian可用Pfaff式表示为Wr(φ1，φ2，…，φn)=(d0，d1，d2，…，dN-1，1，2，…，N).其中，

3.2 变系数BLMP方程的Grammian解

由(2-6)同理设

φi，y=a1φi，x，φi,t=b1φi,xxx，ψj，y=a1ψj，x,ψj，t=b1ψj，xxx.

(3-9)

将Grammian用Pfaff式表示，基于(2-7)式，求τ关于x，y，t的各阶导数，代入(3-5)得

由-4a1-pa1b1=0，得-4=pb1时，有

所得结果与BLMP方程的Grammian解都为Jacobi恒等式，只相差系数，Maya图相同.故在(3-9)的条件下，且-4=pb1时，(2-7)为(3-5)的Grammian 解.

4 结论

相对行列式，Pfaff式的性质人们了解的很少，但是Pfaff式的性质比行列式更丰富.本文基于双线性方法得到方程的Wronskian解时，双线性方程结果化为Plücker关系式，求Grammian解时双线性方程化为Jacobi恒等式，通过其Maya图表不难发现，这两种行列式的恒等式只是Pfaff式恒等式的特殊情形：

文中还利用双线性形式的倒推得到了一个变系数的BLMP方程，采用平衡法可构造Wronskian解.Pfaff式的广泛应用、平衡法以及这种倒推方法也可以在其他方程中进行考虑.

致谢本工作受到河南省研究生教育优质课程、河南省大学生创新创业计划项目、理学院教研项目的支持资助，在此表示感谢.