投射生成子与DC-内射模

何东林

(陇南师范高等专科学校数学与信息科学学院，甘肃陇南 742500)

0 引言

Gorenstein同调理论作为相对同调代数的研究热点之一，受到了许多学者的研究和推广.2006年Holm等[1]在交换Noether环上介绍了关于半对偶模C的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein内射模.2010年White[2]进一步研究了交换环上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein内射模(即GC-投射模和GC-内射模).Gillespie[3]讨论了Ding-投射模和Ding-内射模，此处的Ding-投射模与文献[4]中强Gorenstein平坦模一致，而Ding-内射模与文献[5]中Gorenstein FP-内射模一致.为了研究Ding-投射模和Ding-内射模的可数部分及涉及的模类，Zhang等[6]引入了关于半对偶模C的Ding-投射模和Ding-内射模，称之为DC-投射模和DC-内射模.本文主要讨论DC-内射模的若干性质，研究DIC(R)-投射维数小于等于n的若干等价刻画，以及短正合列0→L→M→N→0中各项的DIC(R)-投射维数之间的关系.

1 定义和引理

定义1[6]称R-模M是DC-内射模，如果存在正合列

(ε)：…→HomR(C，I1)→HomR(C，I0)→I-1→I-2→…

使得M≅Ker(I-1→I-2)，且对任意HomR(C，F)∈FIC(R)有(ε)在HomR(HomR(C，F)，-)下正合，其中Ii∈I(R).用DIC(R)表示所有DC-内射R-模组成的类.

例1 (1)当C=R时，DC-内射模与Ding-内射模一致.

(2)每个DC-内射模都是GC-内射模.

引理1[7]设w是x的生成子且x关于扩张封闭，0→M′→M→M″→0是R-模短正合列，则以下说法成立：

(ⅰ)如果x关于直和因子封闭，M，M″∈x且M′∈w⊥，那么M′∈x.

(ⅱ)如果w关于直和因子封闭，M，M′∈x且M″∈⊥x，那么M″∈w.

证明证明过程与文献[6]中命题1.4对偶.

2 主要结果

定理1 IC(R)是DIC(R)的投射生成子.

命题1 模类DIC(R)关于扩张、直积、直和因子、单同态的余核均封闭.

证明由[6]中命题1.10、命题1.11和定理1.12的对偶结论易证.

定理2 设0→L→M→N→0为R-模正合列，L∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(N)有限，则DIC(R)-pdR(M)=DIC(R)-pdR(N).

证明设DIC(R)-pdR(N)=n<+∞，下面对n用数学归纳法.

当n=0时，DIC(R)-pdR(N)=0且N∈DIC(R).因为L∈DIC(R)且DIC(R)关于扩张封闭，所以M∈DIC(R).可见DIC(R)-pdR(M)=0=DIC(R)-pdR(N)，结论成立.

当n=1时，有DIC(R)-pdR(N)=1，存在正合列0→D1→D0→N→0，其中D1，D0∈DIC(R).构造拉回图，如图1

图1 M→N和D0→N的拉回图

由中间行正合列0→L→U→D0→0及DIC(R)关于扩张封闭知，U∈DIC(R).从而由中间列正合列0→D1→U→M→0得，DIC(R)-pdR(M)≤1.若DIC(R)-pdR(M)=0，由L∈DIC(R)及命题1知，N∈DIC(R).这与假设n=1矛盾，所以DIC(R)-pdR(M)=1.从而有DIC(R)-pdR(M)=DIC(R)-pdR(N)，结论成立.

图2 K0→D0和HomR(C，E)→D0的拉回图

图3 M→N和HomR(C，E)→N的拉回图

由中间行正合列可知Q∈DIC(R).在中间列正合列0→H→Q→M→0中，Q∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(H)=n-1，从而有DIC(R)-pdR(M)=n=DIC(R)-pdR(N).结论成立.

综上所述，结论成立.

定理3 设M为R-模，n为非负整数，则以下条件等价：

(ⅰ)DIC(R)-pdR(M)≤n+1；

(ⅱ)存在正合列0→K→D→M→0，其中D∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n；

(ⅲ)存在正合列0→K′→HomR(C，E)→M→0，其中E∈I(R)且DIC(R)-pdR(K′)≤n.

证明(ⅰ)⟹(ⅱ)设DIC(R)-pdR(M)≤n+1，则存在正合列0→Dn+1→…→D1→D0→M→0，其中Di∈DIC(R)(0≤i≤n+1).令K=Ker(D0→M)，则DIC(R)-pdR(K)≤n且0→K→D0→M→0正合.序列0→K→D0→M→0就是满足要求的正合列.

(ⅱ)⟹(ⅲ)设存在正合列0→K→D→M→0，其中D∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n.由定理2知，IC(R)是DIC(R)的投射生成子.可见存在正合列0→D′→HomR(C，E)→D→0，其中D′∈DIC(R)且HomR(C，E)∈IC(R).构造拉回图，如图4.

图4 HomR(C，E)→D和K→D的拉回图

在上行正合列0→D′→K′→K→0中，D′∈DIC(R)且DIC(R)-pdR(K)≤n.根据定理2可知，DIC(R)-pdR(K′)≤n.可见中间列正合列0→K′→HomR(C，E)→M→0就是满足要求的正合列.

(ⅲ)⟹(ⅰ)显然成立.

推论1 设0→L→M→N→0为R-模正合列，则以下说法成立：

(ⅰ)如果M，N∈DIC(R)且L∈IC(R)⊥，那么L∈DIC(R).

(ⅱ)如果L，M∈DIC(R)且N∈⊥DIC(R)，那么N∈IC(R).

证明根据引理1、命题1和定理1易证.

命题2 设R-模正合列0→L→M→N→0在HomR(IC(R)，-)下正合，且M，N∈

证明对任意HomR(C，E)∈IC(R)，由引理2知

定理4 设R-模正合列0→L→M→N→0在HomR(IC(R)，-)下正合，则以下说法成立：

(ⅰ)如果M∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(N)≤DIC(R)-pdR(L)+1.

(ⅱ)如果N∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M).

证明(ⅰ)显然成立.

(ⅱ)设N∈DIC(R).当DIC(R)-pdR(M)=+∞时，DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M)显然成立.不妨设DIC(R)-pdR(M)=n<+∞.下面对n用数学归纳法.

当n=1时，有DIC(R)-pdR(M)=1，存在正合列0→D1→D0→M→0，其中D1，D0∈DIC(R).构造拉回图，如图5

图5 L→M和D0→M的拉回图

在中间行正合列0→U→D0→N→0中，N，D0∈DIC(R).由命题1知U∈DIC(R).由左列正合列0→D1→U→L→0知，DIC(R)-pdR(L)≤1.从而结论成立.

假设结论对于n-1成立，下面讨论对于n的情形.由DIC(R)-pdR(M)=n知，存在正合列0→Dn→…→D1→D0→M→0，其中Di∈DIC(R)(0≤i≤n).令K=Ker(D0→M)，则DIC(R)-pdR(K)=n-1且0→K→D0→M→0正合.构造考虑拉回图，如图6

图6 L→M和D0→M的拉回图

由中间行正合列0→V→D0→N→0及命题1知，V∈DIC(R).在正合列0→K→V→L→0中，DIC(R)-pdR(K)=n-1且V∈DIC(R).可见DIC(R)-pdR(L)≤n.从而结论成立.

综上所述，如果N∈DIC(R)，那么DIC(R)-pdR(L)≤DIC(R)-pdR(M).

3 结论

利用环模理论和同调代数的方法，研究了DC-内射模的若干性质以及DIC(R)-投射维数小于等于n的若干等价刻画.结果表明IC(R)是DIC(R)的投射生成子.从而补充了同调代数中关于半对偶模的相关理论.