高中立体几何“存在型”探索性问题求解策略

摘 要：“存在型”探索性问题是指根据题干所给出一系列特定条件探索一些相对来说不确定的数学问题.这类问题通常存在“是否有”、“是否存在”等问题，让学生探讨有待证明的结论.这类问题重点考察学生对数学理论知识的灵活应用能力，即将数学理论知识灵活地应用到数学问题的解决和分析当中.通过这样的考察方式逐步提高学生利用数学知识分析和探索问题的数学综合能力，最终培养学生形成系统的数学理论思想.因此，本文主要从高考中存在的“存在型”探索性问题的求解策略方面进行分析.

关键词：高中数学;存在型;解题技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0052-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：杨帆（1985.3-），男，江苏省海门人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

一、直接求解

“存在型”探索性问题虽然属于形式多样的复杂问题，但其中有些问题与我们所熟知的封闭性的问题相似，对于这类问题在解答时可以引导学生直接从题目所给的已知条件出发，从结果出发推导原因，进行相关的理论逻辑推理从而获得结论.

例1 已知图1，在梯形ABCD中，AD平行于BC，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=2AD=4，在AB、CD上分别存在点E、F，并且线段BC平行于线段EF，BC的中点为点G，如图2所示，先将梯形ABCD沿EF翻折，形成平面AEFD和平面EBCF垂直形式.

（1）若线段AE的长度为2，那么异面直线BD与EG关系如何，是否垂直？证明你的结论.

（2）若线段AE的长度为2，能否求解出二面角D-BF-C的余弦值.

解析 （1）如下图所示，过点D作DH⊥EF，垂点为H，将BH、GH分别连接，又因为已知平面AEFD和平面EBCF垂直，因此DH⊥平面EBCF，又因为EG在平面EBCF中，因此可得线段EG垂直于DH.

因为线段AE的长度为2，所以BE长度为2，因此线段AE和BE长度相等，因为∠ABC=∠BAD=π2

所以四边形BGHE为正方形，同时可知线段EG和BH互相垂直.

因为线段BH和线段DH相较交于H，因此线段EG和平面DBH相互垂直.

又因为BD在平面DBH内，所以线段EG和线段BD互相垂直.

（2）如图3所示，过H点做HM⊥BF，同时连接线段DM.

根据三垂线定理能够得到线段BF和DM互相垂直，因此∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角.又因为△HMF和△EBF相似，因此HMBE=HFBF，而HF=1，BE=2，BF=BE2+EF2=13，又因为∠DMH为锐角，所以cos∠DMH=1414.

二、假设一推证一定论

同时学生也可以采用假设—推证—定论的方式解决一部分存在型探索性的数学问题.即：先提出一个与题干相矛盾的假设的存在，通过推理得出这个结论不正确最终得出所探索的问题的正确性，或是从正面利用演绎推理的方法证明所探索的问题的正确性.

例2 下图为正方体棱长为1，BB1、AB的中点分别是M、N，B1C的中点是O，过O作直线OQ，使得OQ交AM于P，交CN于点Q.

（1）能否求出图中线段PQ的长度;

（2） 无限延展平面A1B，T是平面A1B中的一个不规则动点，T点距离直线DD1与距离P点的长度平方差为1，能否在此情况下尝试建立一个直角坐标系最终求解出动点T所构成曲线的方程K.

解析 （1）如图5所示，连接线段MO和CC1，两条线段相较于点E，连接DE同時将线段DA延长，此时与线段CN相交与点Q，连结线段OQ，使得OQ与线段AM相交于P，则PQ为所求的线，易得MPAP=MOAQ=12.

所以MP=56，在Rt△PMO中，可得到PO=MO2+PM2=146，

故PQ=143.

（2）过T作TE⊥DD，过T作TF⊥AA1，DD1⊥TE，DD1∥AA1，所以AA1⊥平面TEF，故AA1⊥EF，所以EF∥AD.在Rt△TFE中，TF2=TE2-EF2=TE2-1=PT2.由此可得点T的轨迹实际上是以AA1为准线，以P为焦点的一条抛物线.此时可以将以P点到AA1的垂线段的中点作为原点去建立一个直角坐标系.由此可设抛物线的方程y2=2px（p>0）.

由于P点到AA1的距离为23，从而p=23

因此可以得到曲线K的方程为y2=43x.

三、先猜后证

对于一些特征较为明显的存在性探索问题学生往往可以采用先猜后证的方式进行求解.

例3 如图7，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，若经过AB1且与BC1平行的平面交上底于DB1.

试确定点D的位置，并证明你的结论;

解析 由图中信息我们不难猜测D为AC的中点，此时可以连结A1B，使得且A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点.

因为BC1∥平面AB1D，DE为平面AB1D与平面A1BC的交线，所以BC1∥DE，由此就可以证明出点D确实是为AC的中点.

总而言之，“存在型”探索性问题并没有学生想象的那么复杂，还有向量法等多种方法都可以应用到立体几何问题求解的过程当中，本文旨在希望能够通过分析相关求解思路给广大学子带来解题建议.

参考文献：

[1]陆鹏.高中数学立体几何的类型和结构特征分析[J].东西南北（教育），2017：173.

[2]朱福文.重温典型题型 智取高考数学[J].求学（文科版），2015：43.

[责任编辑：李 璟]