高中数学辩证思维赏析

摘 要：解析几何是基础性的数学学科之一，解析几何的创立实现了从常量数学到变量数学的转折，变量的介入使得辩证法进入了数学，而辩证思维是最高层次的思维形态，是创造性思维的重要组成.解析几何中蕴含着丰富的辩证思想，在教学中教师要善于挖掘这些辩证思想并渗透在教学当中，激发学生思考的热情和多样性，培养学生用辩证思维去解决问题.

关键词：解析几何;辩证思维;高中数学

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0048-04

收稿日期：2021-09-05

作者简介：武婷（1979.3-），女，学士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：本文是四川师范大学附属中学校级科研课题：《指向高阶能力培养的行动——高中生数学辩证思维能力的培养策略研究》（课题组成员：黄光鑫、武婷、李莉莉、杨娟）的阶段性成果.

数学与哲学是两门独立的学科，同时又是两门联系紧密的学科.正如数学家Demollins所指出的那样：“没有数学，我们无法看透哲学的深度;没有哲学，人们也无法看透数学的深度;若没有二者，人们就什么也看不透.”恩格斯也指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，……”.在《普通高中数学课程标准（2017年版）》修订的基本原则中也要求：“坚持正确的政治方向……充分体现马克思主义的指导地位和基本立场……”.课程标准全书的表述中也渗透了辩证法的很多观点，比如：具体与抽象、一般与特殊、现象与本质以及普遍联系的观点等等，所以在高中数学的教学中，教师要结合数学学科的特点潜移默化的给学生渗透辩证法的基本思想，坚持用“辩证观点分析和解决数学问题”，逐步培养高中学生运用辩证思维解决数学问题的能力.

一、对立统一规律

对立统一规律是唯物辩证法的三大规律之一.根据对立统一规律，矛盾双方既相互依赖，又相互排斥，并在一定条件下可以相互转化.在笛卡尔之前的数学，“数”与“形”就是一对矛盾.数学家华罗庚说过：“数缺少形时少直观，形缺少数时难入微”.数形结合的解题方法就是对立统一的辩證思维在解题中的具体体现.

例1 已知椭圆C的方程x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于该直线对称.

赏析一 如图1，作与l垂直的直线l1，若要关于l对称的两点存在则l1与椭圆相交于P，Q两点，故设直线l1：y=-14x+n与椭圆方程联立y=-14x+nx24+y23=113x2-8nx+16n2-48=0此方程有两根故Δ>0则-132

赏析二 数形结合寻找隐含条件.如图2，先求弦PQ中点的轨迹方程C1（点差法）易得C1：y=3x（在椭圆内的部分）若要满足题意，直线l与直线C1的交点M在椭圆内部，故联立方程y=3xy=4x+mM-m，-3m在椭圆内部即m24+9m23<1得解-21313

赏析三 图形启发，层层转化.如图3同分析二中的弦PQ中点的轨迹方程C1：y=3x与椭圆x24+y23=1交于E，F即y=3xx24+y23=1E21313，61313，F-21313，-61313，若l过E，则m=-21313，若l过F，则m=21313，故-21313

以形助数，可以充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性;以数辅形，有助于寻找运动规律.数形结合，促成矛盾双方顺利转化，创造条件使对立双方达到统一，从而培养学生对立统一观点.

二、量变质变规律

唯物辩证法认为：量变是质变的必要准备，没有一定的量变，就不会发生质变.质变是量变的必然结果，单纯的量变不会永远持续下去，量变达到一定的程度必然引起质变.

比如：在研究圆锥曲线的第二定义和统一的极坐标方程ρ=ep1-ecosθ（e为离心率，p为焦点到准线的距离）时，当01时为双曲线，当e=1时为抛物线.在极坐标方程中我们发现：正是因为离心率e的连续量变，才导致了曲线性质的质变.在这个量变过程中e=1是发生质变的一个转折点.同时我们也知道当椭圆的离心率e越接近于0椭圆越圆，所以是否可以这样认为圆就是离心率为0的椭圆？在这个量变过程中e=0也是一个发生质变的转折点.这正是高中数学中体现量变到质变的一个经典案例.

例2 已知动点P与两个定点A0，0，B3，0的距离比为k，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

赏析 设动点Px，y，由题意知PAPB=k，即x2+y2=kx-32+y2整理得x+3k21-k22+y2=3k1-k22，广义讲它是以-3k21-k2，0为圆心3k1-k2为半径的圆.

当k=0，P点轨迹退缩为点A;

当k从1的两侧趋近于1时，参数k与1k对应的点P轨迹为两个关于直线x=32对称的圆，半径随k的上述变化无限增大直至两圆趋于直线x=32，此时k=1.

本题的数学背景就是著名的阿波罗尼斯圆：设A，B是平面内两个定点，平面内的动点C到点A的距离与到点B的距离比为定值λλ>0且λ≠1，则点C的轨迹为圆.在对k的分析中，我们充分体现了辨证法中由量变到质变的过程.

三、否定之否定规律

否定之否定规律表明事物自身发展的整个过程是由肯定、否定和否定之否定诸环节构成的，揭示了事物发展的全过程和总趋势.事物都有肯定方面和否定方面，当肯定方面居于主导地位时，事物保持现有的性质、特征和倾向，当事物内部的否定方面战胜肯定方面时，旧事物就需要转化为新事物.

高中数学的解题思想中有一种叫“补集思想”，也就是“正难则反”，充分反映了否定之否定的辩证思想.有些问题如果从正面入手，情况复杂，毫无头绪，若从问题的反面去想，有可能“峰回路转，柳暗花明”，所以掌握正与反的辩证思想它可以帮助学生从不同的侧面去思考问题，进而解决问题.

例3 已知直线l过定点P3，0且斜率为k，试求k的取值范围使得曲线C：y=x2的所有弦都不能被直线l垂直平分.

分析 要使得曲线C的所有弦都不能被直线l垂直平分，正面考虑就得分三种情况：

l与C没有交点;

l与C虽然有交点但曲线C的所有弦都与l不垂直;

l与C的弦垂直但中点不在l上.

显然要找出满足条件的斜率正面入手相当困难，那我们不妨从反面考虑，问题转化为曲线C中至少有一条弦能被直线l垂直平分的斜率范围，然后再取补集得解.解答如下：

赏析 设直线l的方程为y=k（x-3），曲线C中存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，AB中点为Mx0，y0，则由y1=x21，y2=x22得y1-y2x1-x2=x1+x2，又因为y1-y2x1-x2=-1k，x1+x2=2x0，代入上式得：x0=-12k又因为y0=k（x0-3），所以y0=-12-3k所以M-12k，-12-3k，因为点Mx0，y0必在抛物线内部，所以y0

四、普遍联系的观点

事物的联系具有普遍性，任何事物或现象之间以及事物的内部要素之间都是相互影响，相互依赖，相互作用的.唯物辩证法要求我们用普遍联系的观点看问题.

比如在高中数学教材中给出了椭圆的第一定义，同时教材中又给出了一个例题介绍椭圆的第二定义，教学当中教师应该引导学生挖掘这两个定义之间的联系.同为椭圆定义两者之间必然是有某种联系.通过对教材中两个推导椭圆方程的过程深入分析我们会发现，定义一所得方程a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2化为方程a2x2+a2c2+a2y2=c2x2+a4，两边同时减去2a2cx得a2（x-c）2+a2y2=c2（x-a2c）2，即為（x-c）2+y2x-a2c=ca，这就是例题中的第二定义表达式.这就是在普遍联系观点指导下获得的一个非常精彩的认识结果！虽然第一定义是研究动点到两个定点距离之和为定值，但通过转化又可整理出动点到定点与到定直线距离之比为一定值的形式.

五、矛盾分析的方法

1.运动与静止

在辩证唯物主义的自然观中，运动是绝对的，静止是相对的.“运动”是一个具有普遍意义的范畴.恩格斯是这样描述的：“运动”，就一般的意义来说，就它被理解为存在的方式，被理解为物质固有的属性来说，它包括宇宙中发生的一切变化和过程，从单纯的位置移动起直到思维活动.动中有静、静中有动.“动”与“静”在一定条件下可以相互转化.

在解析几何的教学中理应积极渗透运动变化的思想，有目的、有计划地展现数学对象运动的基本过程，揭示数学对象运动变化的本质和规律，以利于培养学生唯物主义世界观、掌握科学的辩证思维方法，提高分析问题和解决问题的能力.

例4 教材上的一道例题：已知圆O：x2+y2=r2，求经过圆O上一点Px0，y0的切线方程.

赏析 这条切线是确定的、静止的，如何化静为动呢？我们会以点Px0，y0为圆心作一个半径为ε的充分小的圆，使它与圆O相交于A，B两点，则圆P的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=ε2，两圆方程作差即可求出相交弦AB：2x0x+2y0y=2r2-ε2，现在令ε不断变小趋近于0时，直线AB就与过点P的切线重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本题运用割线逼近思想求切线，化静为动，把某些静态问题转化为动态研究，达到化静为动，动中求静的目的.

2.共性与个性

“共性存在于个性之中并通过个性表现出来，个性中包含着共性，任何事物都是共性和个性的统一.”数学中经常用到“特值法”、“归纳法”这些均利用了这种辩证思想，我们常把特殊化作为实现化归的途径之一，在“特殊”的指引下促成一般解题思路的形成.例如解析几何中圆、椭圆、双曲线方程的统一形式，椭圆、双曲线、抛物线的统一定义.椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线的标准方程x2a2-y2b2=1a>0，b>0，抛物线的标准方程y2=2pxp>0，这三种曲线无论从形式还是图像上都完全不同，但方程却都可以统一成二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.

3.整体与局部

整体与局部既相互区别又相互联系.整体居于主导地位，统率着局部，二者不可分割又相互影响.解决高中数学问题时我们既要立足整体，统筹全局，又要把握好局部，通过对用局部的研究去推动对的整体的研究.此所谓“滴水反映出太阳的光辉！”

例5 （2014年浙江卷）设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线x2a2-y2b2=1a>b>0的两条渐近线分别交于点A，B，若点Pm，0满足PA=PB，则双曲线的离心率是.

赏析一 从局部出发考虑.由x-3y+m=0y=baxA（am3b-a，bm3b-a），同理x-3y+m=0y=-bax

B（-am3b+a，bm3b+a），则AB的中点Ca2m9b2-a2，3b2m9b2-a2，而kAB=13，kCP=3b2m9b2-a2a2m9b2-a2-m=-3，化简得ba2=14.所以双曲线的离心率e=1+ba2=1+14=52.

赏析二 从整体出发考虑.设线段AB的中点Cx0，y0，则PQ所在直线方程为y=-3x-m，与直线AB联立y=-3x-mx-3y+m=0C4m5，3m5，又设Ax1，y1，Bx2，y2把两条渐近线的方程合二为一视为x2a2-y2b2=0，由x21a2-y21b2=0x22a2-y22b2=0相减，采用点差法可得kOC·kAB=b2a2，即：34×13=b2a2，从而e=1+b2a2=52.

显然上述第二个方法通过对渐近线方程的整体把握，大大降低了运算量，教师在教学当中应向学生渗透整体与局部的辩证思想，让学生树立整体观念、全局思想，从整体出发，在整体上选择最佳方案，实现最优目标但同时也要搞好局部，使整体功能得到最大发挥.

4.现象与本质

本质与现象是揭示事物内部联系和外部表现相互关系的一对辩证法的基本范畴.本质是事物的内部联系，是决定事物性质和发展趋向的东西;现象是事物的外部联系，是本质在各方面的外部表现.本质与现象是对立统一的关系.在高中数学解题中我们一定要善于透过现象看清本质.

例6 已知圆M：x2+y-32=1，直线l：x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.求证：经过A，P，M三点的圆必过定点.

赏析一 过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，设点P2y0，y0，则圆心坐标y0，3+y02以PM为直径的圆方程是x-y02+y-3+y022=14[2y0-02+y0-32]，化图4简得y03-2x-y+x2+y2-3y=0（*），令3-2x-y=0x2+y2-3y=0x=0y=3或x=65y=35，无论y0取何值，0，3，65，35都满足（*）所以得证.

赏析二 以PM为直径的圆与直线l：x-2y=0的位置关系因已经有公共点P，所以只能是相交或者相切.当MP与直线l不垂直时，产生的另外一个公共点Q一定满足PQ⊥QM，而PQ即为l，故一个定点即为过M作l垂线的垂足Q（如图4），易求得点Q（65，35），当MP与直线l垂直时P即为Q，顯然另一个定点为点M（0，3）.

我们发现通过对圆上定点的分析，我们挖掘了圆与直线的位置关系以及圆中直径所对的圆周角为直角的本质快速的找到了定点，透过现象看动圆过定点问题的本质，理解就更深入了.

唯物辩证法是辩证思想发展的高级形态，在高中数学的教学实践中，教师如果能够充分挖掘其中的辩证思维素材，有效的指导学生进行辩证思维，必将大大促进学生对数学知识的理解，提升学生看待问题的观点和分析问题、处理问题的能力，也必将提高他们的思维品质和科学素养！

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[责任编辑：李 璟]