多思会算 不畏困难

摘 要：解析几何中学生怕算，不愿意算导致几何题得分率低，多算会思带目标进行综合运算有利于学生更好学习.

关键词：多思会算;减少运算;尽量少算;防止漏算

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0025-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：戴德文（1972.11-），安徽省含山人，在职研究生，中学高级教师，從事高中数学教学研究.

解析几何是用代数的方法研究几何，但是用代数方法处理解析几何题有时运算量比较大.高中学生在学习过程中数学运算能力普遍不太好，学生不想算，特别是含有字母和式子比较多，只要在运算过程中出现符号或者字母的次数以及式子等价变形等一点差错就导致整个题目出错.教师在教学过程中要引导学生尽可能多思会算，在处理过程中有时要引导学生善于画图，观察图像从中发现规律，以图助思，有时也要根据题意在求解过程中及时调整运算方向、追根溯源、优化运算，不断提高自己的综合思维和运算求解能力.

一、整体把握，突破难点

例1 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0），点Px0，y0是椭圆C在x轴上方的动点，且△PF1F2的周长为16.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设Q为ΔPF1F2的内心，①当x0=-3时，求点Q的坐标;②求证：点Q在定椭圆上.

学生容易算出（1）椭圆C：x225+y216=1;图1（2）①Q-95，65.对于②

直线PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0，直线PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0，则点Q到ΔPF1F2三边距离相等，即

y0x-（x0+3）y+3y0x0+32+y20=y，y0x-（x0-3）y-3y0x0-32+y20=y，

由于点Q在直线PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0的右上方，又在直线PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0的左下方，根据我们所学的线性规划知识，能够判断出一个为正，一个为负，结合图形（图1）我们可以知道上面的为正，下面的为负.所以

y0x-（x0+3）y+3y0=yx0+32+y20，

-y0x-（x0+3）y+3y0=yx0-32+y20，

根据椭圆焦半径公式x0+32+y20=35x0+5，x0-32+y20=5-35x0，所以

y0x-（x0+3）+3y0=y35x0+5，

-y0x-（x0+3）+3y0=y5-35x，

两式相加得y0=83y，两式相减得x0=83x，代入椭圆C：x225+y216=1得到点Q在定椭圆x29+4y29=1上.对于直线PF1或PF2的斜率不存在时解出的点-95，65，95，65也满足.

二、利用性质，减少运算

对于例题1根据图2我们利用切线长相等得到

PF1-PF2=PR+RF1-（|PS|+|SF2|）=F1T-F2T=（x+3）-（3-x）.

∵PF1=35x0+5，PF2=5-35x0，∴x0=53x.

图2根据图3我们利用内角平分线性质定理得到PF1F1M=PQQM，PF2F2M=PQQM，根据椭圆定义和合比性质得到：QMPQ=F1M+F2MPF1+PF2=2c2a=ca=35.

从而可得y0=83y代入椭圆C：x225+y216=1得到点Q在定椭圆x29+4y29=1上.对于直线PF1或PF2的斜率不存在时解出的点-95，65，95，65也满足.

图3

本题减少运算还可以这样处理（参见图2）设PR=PS=m，F1R=F1T=x+3，F2T=F2S=3-x，因为PF1+PF2=2m+x+3+3-x=10，所以m=2.

因为PF1=x+5，PF2=5-x，p=8，pp-PF1p-PF2p-F1F2=12×16y，化简整理得：x225+y216=1.

三、目标明确，不怕运算

例2 如图（图4）所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B与C，D 分别是椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a

图4

c）的左、右顶点与上下顶点.设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.

证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形.证明1 设P（x0，y0）.由OQ∥AP，AP=OP-OA;OR∥OM，OM=12（OP+OA），所以存在λ，μ∈R，使得

OQ=λ（OP-OA），OR=μ（OP+OA）

进而可得Q（λ（x0+a），λy0），R（μ（x0-a），μy0）.再由点Q，R都在椭圆Γ上，可得λ2[（x0+a）2a2+y20b2

]=

μ2[（x0-a）2a2+y20b2]=1，

再由x20a2+y20b2=1，可得

λ2（2+2x0a）=μ2（2-2x0a）=1

λ2=a2（a+x0），μ2=a2（a-x0）

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

=a2（a+x0）[（x0+a）2+y20]+a2（a-x0）[（x0-a）2+y20]

=a（a+x0）2+ay202（a+x0）+a（a-x0）2+ay202（a-x0）

=a2+ay202（1a+x0+1a-x0）=a2+ay202·2aa2-x20

=a2+a2·b2（1-x20a2）2·2aa2-x20

=a2+b2=|BC|2.

从而线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形.

证明过程目标明确，思路清楚，不畏困难，这种通性通法就是要求学生直面困难，逢山开路遇水搭桥，一步一步往下算直到成功，不回避繁琐的运算，有利于学生逻辑推理和运算能力的提高.四、深度思考，尽量少算

对于例题2我们也可以换一个角度去思考，这对学生的要求较高，学生必须掌握好书中的阅读材料，同时对放射变换的相关知识也应该有所理解.

图5

证明2：构造一个以原点为圆心，半径为a的圆，如图5满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与圆O交于点R .设OQ与x轴所成的角为θ，则∠AOR=90°-θ.

作放射变换x′=xy′=bay

在圆中Q（acosθ，asinθ），R（-acos（90°-θ），asin（90°-θ））=

（-asinθ，acosθ），

经过放射变换后得出：

Q′acosθ，asinθ·ba=acosθ，bsinθ，

R′=（-asinθ，acosθ·ba）=（-asinθ，bcosθ），

∴OQ′2+OR′2=a2cos2θ+b2sin2θ+（-asinθ）2+b2cos2θ=a2+b2=B′C′2.

所以线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形.

证明2：主要是利用放射变换的性质，通过放射变换椭圆顺利变成了一个圆，放射变换过程中直线的平行关系保持不变，通过设θ角进行运算求解，利用圆中的几何性质垂直平分弦，从而得出结论.

五、思维严谨，防止漏算

例3 已知A（-1，0），B（5，0），圆M：（x-4）2+（y-m）2=4上存在唯一的点P使得直线PA，PB在y轴上的截距的乘积为5.求m的值.

解 设P（x0，y0），直线PA：y=y0x0+1（x+1），直线PB：y=y0x0-5（x-5）.

令x=0得：直线PA在y轴上的截距为y0x0+1，令x=0得：直线PB在y轴上的截距为5y05-x0，由已知得：y0x0+1·5y05-x0=5，则：x20+y20-4x0-5=0，学生容易想到点P的轨迹是圆，根据题意只要和圆M：（x-4）2+（y-m）2=4相切就可以了，若内切，则4+m2=2-3，无解;若内切4+m2=2+3，解得：m=±21.学生此时误认为该题已经做完，导致答案不完整.其实当两圆相交时，其中一个点B（5，0）为两个圆的交点也是满足题意的，参见图6.图6

此时解得m=±3.综上本题答案应该是m=±21或m=±3.

六、先算数值，再推一般例4

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=2x+a与抛物线C交于A，B两点.

（1）若a=-1，求△FAB的面积;

（2）已知圆M：x-32+y2=4，过点P（4，4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点D，E，求证：直线DE也圆M相切.解

（1）易知△FAB=32.

图7

設过P点圆的切线方程为x=my-4+4，即 x=my+4-4m，因为直线PD，PE与圆M相切（图7），所以

-3+4-4m1+m2=2，即 12m2-8m-3=0.

由韦达定理知：m1+m2=23m1m2=-14.

设D（x1，y1），再由x=my+4-4my2=4x

解得：x1=4m-12.

不妨设D4m1-12，4（m1-1），E（4（m2-1）2，4（m2-1）），

∴KDE=1m1+m2-2=-34.

所以DE的中点299，-83，直线DE的方程为y=-34x-14.

因为圆M到直线DE的距离为d，则：d=-94-141+-342=2，

所以直线DE也圆M相切.

总之解析几何要想学生在考试过程中得到较好的成绩，在平时教学过程中应该引导学生多思会算，不畏困难，以图助思，善于总结，在教学的实践中不断提高学生的思维品质，最终提升学生的数学学科素养.

参考文献：[1]黄富妹.高中数学解析几何问题运算量解决技巧探究[J].中学生理科应试，2019（12）：18-19.

[责任编辑：李 璟]