一道椭圆方程题的求解思考

摘 要：椭圆经常出现在历年高考数学试卷的选择题或填空题中，借助椭圆的相关知识与其他知识加以交汇融合，破解时可以从平面解析几何自身角度出发，也可以借助平面向量、解三角形等相关工具，合理引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：椭圆;平面向量;解三角形;焦半径;方程

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0002-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：曹晓琰（1981.8-），女，江苏省南通人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

一、问题呈现

问题 在椭圆C：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，

图1

且焦距为23，O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，|OP|=24a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则橢圆C的标准方程为.

二、问题分析

要求解椭圆C的标准方程，就是确定参数a，b，c的值，而根据题目条件，可以建立起已知的关系式c=3，a2=b2+c2，那么只需要再找到一个关于参数a，b，c的关系式即可达到破解的目的.而根据题目中的条件，还可以得到相关的信息：|OP|=24a，|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，|PF1|+|PF2|=2a，如何整合这三个相关信息而转化为一个关于参数a，b，c的关系式，从而得以巧妙转化与破解.这就需要我们从已知条件入手，运用不同的数学知识，从不同的破解方向入手，通过知识间的灵活迁移，加以巧妙变形，灵活运用，整体代入.

三、破解方向

解法1 （平面向量的线性运算法）

由题可知PO为线段F1F2的中线，则有

PF1+PF2=2PO，

上式两边平方，可得|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=4PO2=12a2，

则有|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=12a2，

而结合余弦定理可得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，

代入上式有|PF1|2+|PF2|2+（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=12a2，

整理可得2（|PF1|2+|PF2|2）-|F1F2|2=

12a2，由题知c=3，则有|F1F2|2=4c2=12.

又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

则有2（4a2-24）-12=12a2，解得a2=8，则b2=a2-c2=5，所以椭圆C的标准方程为x28+y25=1.

解法2 （平面向量的极化恒等式法）

由题知c=3，又由题可知PO为线段F1F2的中线，结合平面向量的极化恒等式可得4PF1·PF2=（PF1+PF2）2-（PF1-PF2）2，

整理，得PF1·PF2=

PO2-OF21=18a2-c2=18a2-3.

结合余弦定理，得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，那么

PF1·PF2=

|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=12（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=18a2-3.

又由于|F1F2|2=4c2=12，又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|=4a2-24，

则有12（4a2-24-12）=18a2-3，解得a2=8，则b2=a2-c2=5，

所以椭圆C的标准方程为x28+y25=1.

点评 根据条件可知PO为线段F1F2的中线，而与中线密切联系的就是平面向量知识，借助平面向量的线性运算、数量积等，就可以非常有效地构建起与中线有关的关系式，从而得以巧妙破解.

解法3 （同角的余弦值相等法）

由题知c=3，|F1F2|2=4c2=12.在△PF1F2中，结合余弦定理，得cos∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|，

在△PF1O中，结合余弦定理可得cos∠PF1O=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，

根据同角的余弦值相等，可得

|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1O|=

|PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|，整理，得|PF1|2+|PF2|2=

14a2+6.

又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-

2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

则有4a2-24=14a2+6，解得a2=8，则b2=a2-c2=5，所以椭圆C的标准方程为x28+y25=1.

解法4 （互补角的余弦值互为相反数法）

由题知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

在△POF1中，结合余弦定理，得cos∠POF1=

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|，

在△POF2中，结合余弦定理可得cos∠POF2=

|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|，

根据互补角的余弦值互为相反数，可得

|PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|+|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|=0，

整理，得|PF1|2+|PF2|2=14a2+6.又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

则4a2-24=14a2+6，解得a2=8，則b2=a2-c2=5，

所以椭圆C的标准方程为x28+y25=1.

点评 根据条件可知PO为线段F1F2的中线，把问题放在△PF1F2中来处理，其实质就是解三角形问题，借助三角形的性质，通过三边以及中线PO的条件，可以利用在两个不同三角形中同角的余弦值相等，或是两个不同三角形中互补角的余弦值互为相反数来建立有关的关系式，从而得以巧妙破解.

解法5 （焦半径公式法）

图2

如图2所示，过点P作PH⊥x轴交x轴于点H，设P（x0，y0），在△PHO中，|PH|2+|OH|2=|OP|2，即x20+y20=18a2.①

由题知c=3，|F1F2|2=4c2=12.

又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|.成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，根据焦半径公式可得（a+ex0）·（a-ex0）=12，即a2-e2x20=12，亦即a2-3a2x20=12.②

而点P在椭圆C上，可得

x20a2+y20a2-3=1.③

由①②③，解得a2=8，则b2=a2-c2=5，

所以椭圆C的标准方程为

x28+y25=1.

点评 根据条件可知PO为线段F1F2的中线，又由

|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，涉及|PF1|与|PF2|的长度问题，可以考虑利用椭圆的几何性质，结合焦半径公式（|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0）加以转化，再结合题目相关条件建立有关的关系式，从而得以巧妙破解.

其实，在实际求解椭圆的标准方程中，一定要充分抓住椭圆的几何性质，根据具体情况选取比较合适的求解方法加以处理，有时也结合椭圆的几何性质、平面几何性质、平面向量、三角函数、解三角形、直线与圆等相关知识加以融合与交汇，利用相交知识的转化与应用来综合处理相应的方程问题.

参考文献：[1]李雪航.浅析椭圆方程的多种解法[J].数理化解题研究，2017（13）：50.

[责任编辑：李 璟]