一道联考题的解法探究与纵、横向拓展

摘 要：本文從学生角度出发，解决一个具体双曲线定值问题，探索求解一类定值问题的方法并进行了升华归纳;通过变式拓展过渡到定点问题并归纳其解题思路;横向延伸到椭圆定点定值问题并进行纵向探究，为教师解题和命题形成了一类问题模板.

关键词：定点;定值;变式拓展;类比

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0010-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：张海泉（1976.7-），男，江苏省泰州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

本文先对2021年泰州三市三区高二数学期末统考一道试题的解法作些探究，再将试题进行纵向、横向推广与延拓，形成一般问题的解题思路，以期达到举一反三、触类旁通的教学效果.

一、试题呈现

题目 已知A，B分别是双曲线C：x2-y24=1的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线交于C，D两点，若直线AC与BD交于点P，求证：点P在定直线上.

二、解法探究

解析 设直线CD方程为x=my+5，C（x1，y1），D（x2，y2），联立x=my+5，x2-y24=1， 得（4m2-1）y2-85my+16=0.

其中y1+y2=85m4m2-1，y1y2=164m2-1 .

设lAC：y=y1x1+1（x+1），①

lBD： y=y2x2-1（x-1），②

由①②，得x+1x-1=x1+1y1·y2x2-1=（my1+5+1）y2y1（my2+5-1）=my1y2+（5+1）y2my1y2+（5-1）y1

=my1y2+（5+1）（y1+y2）-（5+1）y1my1y2+（5-1）y1

=16m4m2-1+（5+1）85m4m2-1-（5+1）y116m4m2-1+（5-1）y1=-（5+1）（-4（5-1）m+85m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-（5+1）（4（5+1）m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-5+15-1.

再由x+1x-1=55 ，解得x=55.

故点 P 在定直线x=55 上.

三、解后反思

本题是一道圆锥曲线中的定值问题，题目设计入口较宽，学生容易想到联立直线与双曲线方程求出两直线交点，转化为非对称的韦达定理形式求解.因题目设计的直线过焦点，所得交点P恰好在双曲线的准线上.很好地展示了双曲线的一个完美特殊性质.故学生易产生疑问：如果直线不过焦点是否也有类似的性质呢？

拓展1 已知A，B分别是双曲线C：x2-y24=1的左、右顶点，直线l过点N（n，0）且与双曲线交于C，D两点，若直线AC与BD交于点P，问点P是否在某定直线上？

四、猜想探索

仿照上面解法，设直线CD的方程为x=my+

n，C（x1，y1），D（x2，y2），联立4x2-y2=4，x=my+n， 得（4m2-1）y2+8mny-4=0 .

其中 y1+y2=8mn4m2-1，y1y2=4n2-44m2-1.

设lAC：y=y1x1+1（x+1），①

lBD： y=y2x2-1（x-1）， ②

由①②，得x-1x+1=y1x2-y1x1y2+y2=y1（my2+n）-y1（my1+n）y2+y2=my1y2+（n-1）y1my1y2+（n+1）（y1+y2）-（n+1）y1=m（4n2-4）4m2-1+（n-1）y1m（4n2-4）4m2-1-（n+1）8mn4m2-1-（n-1）y1 =m（4n2-4）4m2-1+（n-1）y1-4m（4n2-4）4m2-1-（n+1）y1=-n-1n+1.

再由x-1x+1=1-nn+1 ，解得x=1n. 故点 P 在定直线x=1n上.

解到这个结果，细心的同学发现：直线过焦点F（5，0）时，2点P在定直线x=15上，当直线过点N（n，0）时，点P在定直线x=1n上，不由得会猜想这两者是否有倒数关系？

五、归纳模型

基于学生的这种发现，于是试着从一般形式探索：

拓展2 已知A，B分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右顶点，过点N（n，0）的直线l与双曲线交于C，D两点，直线AC与BD交于点P，试探究点P是否在某定直线x=1n上？

分析 设直线CD的方程为x=my+n ，C（x1，y1），D（x2，y2），

联立x=my+n，x2a2-y2b2=1，得（b2m2-a2）y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

其中y1+y2=-2mnb2b2m2-a2，y1y2=b2（n2-a2）b2m2-a2.

lAC：y=y1x1+a（x+a） ，①

lBD： y=y2x2-a（x-a） ，②

由①②，得x+ax-a=my1y2+（n+a）y2myy2+（n-a）y1 =my1y2+（n+a）（y1+y2）-（n+a）y1myy2+（n-a）y1=mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+-（n+a）2mnb2b2m2-a2-（n+a）y1mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+（n-a）y1=mb2n2-mb2a2-2mn2b2-2mnab2b2m2-a2-（n+a）y1mb2（n2-a2）b2（m2-a2）+（n-a）y1=-（n+a）（（n+a）mb2b2m2-a2+y1）（n-a）（（n+a）mb2b2m2-a2+y1）=n+aa-n.

再由x+ax-a=a+na-n ，得x=a2n.

故点P在定直线x=a2n.这个结果既在意料之外、也在情理之中.

六、拓展延伸

为给学生一些更直观的认识，笔者打开geogebra软件演示了旋转CD的过程中点P的变化情况，演示的过程中部分学

生发现：当点P在定直线x=a2n上移动时， MA，MB长度为定值，由kPA=tanα=PMMA，kPB=-tanβ=-PMMB，得出kPAkPB=-PM·MBMA·PM=-a-a2na2n+a=a-na+n 是定值.即kPA与kPB 有着线性关系，这样从教师的命题角度来看，本题可以以点带面扩大试题的教学功能，于是进一步将定点拓展为定值问题.

拓展3 已知A，B分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右顶点，过点N（n，0）的直线l与双曲线交于C，D两点，直线AC与BD交于点P，证明：kPAkPB是定值.

七、纵向探究

继续使用geogebra拖动点P在直线上、下移动时，发现kPAkPB始终是定值，而C，D两点随着点P的移动而移动，那么点N是否会改变？于是进一步把定值问题过渡到定点问题.

拓展4 已知A，B分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右顶点，点P是x=a2n上一点，直线AP交双曲线于C，PB交双曲线于点D，试探索直线CD是否过定点.

分析 设直线AC方程为y=k1（x+a），BD的方程为y=k2（x+a），C（x1，y1），D（x2，y2），联立y=k1（x+a），x2a2-y2b2=1， 得（b2-a2k21）x2-2a3k21x-a2（a2k21+b2）=0.

由xA·xC=-a2（a2k21+b2）b2-a2k21 ，

得xC=a（a2k21+b2）b2-a2k21 ，yC=k1（xC+a）=2ab2k1b2-a2k21.

所以C（a（a2k21+b2）b2-a2k21，2ab2k1b2-a2k21） .

同理可得D（-a（a2k22+b2）b2-a2k22，-2ab2k2b2-a2k22）.设N（n，0）.

则KDN=0--2ab2k2b2-a2k22n+a（a2k22+b2）b2-a2k22

=2ab2k2nb2-na2k22+a3k22+ab2，

kNC=2ab2k1b2-a2k21-0a（a2k21+b2）b2-a2k21-n=2ab2k1a3k21+ab2-nb2+na2k21

=2ab2·a-na+nk2a3k22（a-na+n）2+（a-n）b2+na2·（a-na+n）2·k22

=2ab2k2a3k22（a-na+n）+b2（n+a）+na2·a-na+nk

22 =2ab2k2（a+n）a2k22（a-n）（a+n）+b2（n+a）2

=2ab2k2a2k22（a-n）+b2（n+a） =KDN.

所以D，N，C三点共线，即CD直线过定点N（n，0）.

八、横向探究

由于椭圆和双曲线有统一定义，因此本题探究过程可以类比到椭圆中.通过本题可以扩展出椭圆中的一般结论.

拓展5 已知A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右顶点，过点N（n，0）的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC与BD交于点P.

①过点N（n，0）的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC与BD交于点P，则点P在定直线x=a2n上.

②过点N（n，0）的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC与BD交于点P，则kPAkPB=a-na+n.

③在直线x=a2n任取一点P，PA，PB与椭圆交于C，D两点，则直线CD过定点N（n，0）.

给学生一杯水，教师要有一桶水，一桶新鲜活水.讲授一道题，教师不能向学生一样仅仅满足于会解题，还需要考虑如何高效解题，注重通式通法，拓展探究、挖掘试题的内涵和外延，找到试题的源头、研究出一类题的解题规律，形成一种思维上的升华和命题模板，达到放得开，收得拢的自如境界.

参考文献：

[1]殷向东，费存信.圆锥曲线中的定点与定值问题[J].中學数学月刊，2011（12）：43.

[责任编辑：李 璟]