摘 要:对于圆锥曲线类问题,大多数学生都有一定的解题思路,但由于对知识理解不深刻,导致方法选择不当,从而运算不彻底,最终得不到正确答案.圆锥曲线中两直线斜率的乘积、和、比值为定值反映了曲线的本质,抓住这个关键,可以突破难点.
关键词:椭圆;斜率;定值
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0080-03
收稿日期:2021-09-05
作者简介:贺凤梅(1979-),女,湖北省随州人,本科,中学一级教师,从事中学数学教学研究.
一、题目呈现
题目 (2021年高三年级第三次诊断性测试 理科数学第20题)已知A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,过左焦点F(-2,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,当直线l与x轴垂直时,PQ=103.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,试问k1k2是否为常数. 若是,求出这个常数;若不是,说明理由.
二、总体分析
定点、定值是圆锥曲线中的常见问题,问题的呈现形式有:以两直线斜率乘积、和、比值为定值引出的直线过定点;或已知直线过定点,能否得出两直线斜率之积、和或比值为定值. 本文拟以直线过定点,两直线斜率比值为定值进行多视角探究,旨在理清问题的本质,找到解决此类问题的行之有效的方法.
三、试题解答
第(1)问,易求得椭圆C的标准方程为x29+y25=1.
以下重点探讨第(2)问.
视角1利用直线的普通方程求解.
解法1 设直线l的方程为x=my-2,代入x29+y25=1,整理得(5m2+9)y2-20my-25=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=20m5m2+9, ①
y1y2=-255m2+9. ②
由①②,得y1y2y1+y2=-54m,
即my1y2=-54(y1+y2). ③
由题设及第(1)问可得A(-3,0),B(3,0),k1=kAP=y1x1+3,k2=kBQ=y2x2-3.
所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[(my2-2)-3][(my1-2)+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2.
将③代入得k1k2=-54(y1+y2)-5y1-54(y1+y2)+y2=25y1+5y25y1+y2=5.
所以k1k2=5.
解法2设直线l的方程为y=m(x+2)(易知m≠0),代入x29+y25=1,整理,得 (9m2+5)x2+36m2x+36m2-45=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-36m29m2+5, ④
x1x2=36m2-459m2+5. ⑤
由解法1,k1=kAP=y1x1+3,k2=kBQ=y2x2-3.
所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=m(x1+2)(x2-3)(x1+3)·m(x2+2)=x1x2+2x2-3x1-6x1x2+3x2+2x1+6=x1x2-3(x1+x2)+5x2-6x1x2+2(x1+x2)+x2+6,
将④⑤代入,化简整理,得
k1k2=5[18m2-15+(9m2+5)x2]18m2-15+(9m2+5)x2=5.
所以k1k2=5.
評注 以上两种解题方法均采用直线的普通方程求解,但属于两根不对称的情形,也就是x1,x2或y1,y2不轮换对称,从而不能直接利用韦达定理的结果整体代入化简. 此时,需要根据式子的特点寻找两根之和与积的关系,比如解法1;第二种方法就是变换后消元,其中k1k2由x1,x2和k三个变量构成,其中x1,x2是不对称量,可将式子k1k2适当变形后,再部分利用韦达定理,改变原来的非对称量,从而得到分式上下相同的结构,达到化简的目的.
视角2 圆锥曲线齐次化,借助椭圆的第三定义求解.
解法3 由椭圆的第三定义知kQA·kQB=-b2a2=-59,以点A为基准,设直线PQ方程为 m(x+3)+ny=1,则kPA=y1x1+3,kQA=y2x2+3.
令x+3=p,y=q,将直线齐次化为mp+nq=1,代入x29+y25=1中,整理,得 9q2-30p(mp+nq)+5q2=0.
又直线m(x+3)+ny=1过点F(-2,0),所以m=1.
即9q2-30npq-25p2=0,于是9(qp)2-30n·qp-25=0.
所以kPA·kQA=-259.
联立kQA·kQB=-59,kPA·kQA=-259,,得kPAkQB=5,即k1k2=5.
解法4 由椭圆的第三定义知kPA·kPB=-b2a2=-59,以点B为基准,设PQ所在直线方程为 m(x-3)+ny=1,则kPA=y1x1-3,kQA=y2x2-3.
令x-3=p,y=q,将直线齐次化为mp+nq=1,代入x29+y25=1中,整理,得9q2+30p(mp+nq)+5q2=0,又m(x-3)+ny=1过点F(-2,0),所以m=-15.
即9q2+30npq-p2=0,于是9(qp)2+30n·qp-1=0,所以kPA·kQA=-19.
由kPA·kPB=-59,kPB·kQB=-19,得kPAkQB=5,即k1k2=5.
解法5 由椭圆的第三定义知kQA·kQB=-b2a2=-59,将椭圆向右平移3个单位,得(x-3)29+y25=1,整理,得 9y2-30x+5x2=0.⑥
此时,直线方程设为mp+nq=1.⑦
直线过点(1,0),所以m=1.
将⑦代入⑥,得9y2-30nxy-25x2=0,
即9(yx)2+30n·yx-25=0,kPA·kQA=-259,
同样求得k1k2=5.
评注 以上三种解法的本质是圆锥曲线的齐次化,其中一种策略是平移圆锥曲线,比如以上的解法5,不过学生对这种方法有些陌生.笔者将方法稍微改变一下,步骤为:
(1)设直线方程为m(x-x0)+n(y-y0)=1;
(2)联立齐次化,把y-y0x-x0当作整体;
(3)借助韦达定理得出k1+k2或k1k2,进而求解k1k2;
(4)得出结论:比如以上的解法3和解法4.当然还需要借助椭圆的第三定义联合求解.
视角3借助韦达定理求解.
由x2a2+y2b2=1,Ax+By+C=0,得x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2,x1·x2=a2(C2-b2B2)a2A2+b2B2,y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2,y1·y2=a2(C2-a2A2)a2A2+b2B2.
解法6 结合韦达定理y1·y2=a2(C2-a2A2)a2A2+b2B2=9(4-9)9+5m2=-459+5m2,y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2=-2×9×(-m)×29+5m2=-36m9+5m2,所以y2=-36m9+5m2-y1.
由解法1知k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[(my2-2)-3][(my1-2)+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2=-45m9+5m2-5y1-45m9+5m2+36m9+5m2-y1,即k1k2=5.
评注 圆锥曲线结合韦达定理,求解的方法又称圆锥曲线的公式联立,其实是一套求解椭圆(或双曲线)与直线相交时,联立方程求判别式、韦达定理与相交弦等问题的公式,平时并不多见. 针对学有余力的学生,教师可以适当介绍,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.
四、解后反思
《普通高中数学课程標准(2017)》指出,高中数学的六大素养为数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算.高中数学的学习急需提高学生的综合能力.在数学学习的过程中,教师要鼓励和引导学生在学习的过程中勤思考、多动脑,在对两直线斜率比值、乘积以及和为定值的问题探究过程中,培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.教师可以根据核心素养所提出的相关理论进行教学方式、教学目的的调整,使学生能够得到更全面的发展,将立德树人的根本任务落到实处.
“一题多解”既可以丰富教学内容,也可以让枯燥的数学课堂变得活泼生动,充分调动学生的积极性,让每个学生都自觉地投入到课堂中来,不仅可以使学生集中注意力,还可以使学生的思维越来越缜密,考虑越来越周全.应用“多题一解”的教学,可以锻炼学生归纳总结的能力,使得学生“做一题,会一类”.“多题一解”的数学教学方式,不仅能提高学生学习数学的能力,还能映射生活的哲理,对于学生生存能力的提高也有效果.
参考文献:
[1]罗增儒.从数学知识的传授到数学素养的生成[J].中学数学教学参考,2016(19):2-7.
[2]钱万毅.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践[J].中学课程辅导(教师教育),2017(02):57.
[责任编辑:李 璟]