多视角解析一道2021年三模压轴题

摘 要：对于圆锥曲线类问题，大多数学生都有一定的解题思路，但由于对知识理解不深刻，导致方法选择不当，从而运算不彻底，最终得不到正确答案.圆锥曲线中两直线斜率的乘积、和、比值为定值反映了曲线的本质，抓住这个关键，可以突破难点.

关键词：椭圆;斜率;定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0080-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：贺凤梅（1979-），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

一、题目呈现

题目 （2021年高三年级第三次诊断性测试 理科数学第20题）已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，过左焦点F（-2，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l与x轴垂直时，PQ=103.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为常数. 若是，求出这个常数;若不是，说明理由.

二、总体分析

定点、定值是圆锥曲线中的常见问题，问题的呈现形式有：以两直线斜率乘积、和、比值为定值引出的直线过定点;或已知直线过定点，能否得出两直线斜率之积、和或比值为定值. 本文拟以直线过定点，两直线斜率比值为定值进行多视角探究，旨在理清问题的本质，找到解决此类问题的行之有效的方法.

三、试题解答

第（1）问，易求得椭圆C的标准方程为x29+y25=1.

以下重点探讨第（2）问.

视角1利用直线的普通方程求解.

解法1 设直线l的方程为x=my-2，代入x29+y25=1，整理得（5m2+9）y2-20my-25=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=20m5m2+9， ①

y1y2=-255m2+9. ②

由①②，得y1y2y1+y2=-54m，

即my1y2=-54（y1+y2）. ③

由题设及第（1）问可得A（-3，0），B（3，0），k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2.

将③代入得k1k2=-54（y1+y2）-5y1-54（y1+y2）+y2=25y1+5y25y1+y2=5.

所以k1k2=5.

解法2设直线l的方程为y=m（x+2）（易知m≠0），代入x29+y25=1，整理，得 （9m2+5）x2+36m2x+36m2-45=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-36m29m2+5， ④

x1x2=36m2-459m2+5. ⑤

由解法1，k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=m（x1+2）（x2-3）（x1+3）·m（x2+2）=x1x2+2x2-3x1-6x1x2+3x2+2x1+6=x1x2-3（x1+x2）+5x2-6x1x2+2（x1+x2）+x2+6，

将④⑤代入，化简整理，得

k1k2=5[18m2-15+（9m2+5）x2]18m2-15+（9m2+5）x2=5.

所以k1k2=5.

評注 以上两种解题方法均采用直线的普通方程求解，但属于两根不对称的情形，也就是x1，x2或y1，y2不轮换对称，从而不能直接利用韦达定理的结果整体代入化简. 此时，需要根据式子的特点寻找两根之和与积的关系，比如解法1;第二种方法就是变换后消元，其中k1k2由x1，x2和k三个变量构成，其中x1，x2是不对称量，可将式子k1k2适当变形后，再部分利用韦达定理，改变原来的非对称量，从而得到分式上下相同的结构，达到化简的目的.

视角2 圆锥曲线齐次化，借助椭圆的第三定义求解.

解法3 由椭圆的第三定义知kQA·kQB=-b2a2=-59，以点A为基准，设直线PQ方程为 m（x+3）+ny=1，则kPA=y1x1+3，kQA=y2x2+3.

令x+3=p，y=q，将直线齐次化为mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得 9q2-30p（mp+nq）+5q2=0.

又直线m（x+3）+ny=1过点F（-2，0），所以m=1.

即9q2-30npq-25p2=0，于是9（qp）2-30n·qp-25=0.

所以kPA·kQA=-259.

联立kQA·kQB=-59，kPA·kQA=-259，，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法4 由椭圆的第三定义知kPA·kPB=-b2a2=-59，以点B为基准，设PQ所在直线方程为 m（x-3）+ny=1，则kPA=y1x1-3，kQA=y2x2-3.

令x-3=p，y=q，将直线齐次化为mp+nq=1，代入x29+y25=1中，整理，得9q2+30p（mp+nq）+5q2=0，又m（x-3）+ny=1过点F（-2，0），所以m=-15.

即9q2+30npq-p2=0，于是9（qp）2+30n·qp-1=0，所以kPA·kQA=-19.

由kPA·kPB=-59，kPB·kQB=-19，得kPAkQB=5，即k1k2=5.

解法5 由椭圆的第三定义知kQA·kQB=-b2a2=-59，将椭圆向右平移3个单位，得（x-3）29+y25=1，整理，得 9y2-30x+5x2=0.⑥

此时，直线方程设为mp+nq=1.⑦

直线过点（1，0），所以m=1.

将⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

即9（yx）2+30n·yx-25=0，kPA·kQA=-259，

同样求得k1k2=5.

评注 以上三种解法的本质是圆锥曲线的齐次化，其中一种策略是平移圆锥曲线，比如以上的解法5，不过学生对这种方法有些陌生.笔者将方法稍微改变一下，步骤为：

（1）设直线方程为m（x-x0）+n（y-y0）=1;

（2）联立齐次化，把y-y0x-x0当作整体;

（3）借助韦达定理得出k1+k2或k1k2，进而求解k1k2;

（4）得出结论：比如以上的解法3和解法4.当然还需要借助椭圆的第三定义联合求解.

视角3借助韦达定理求解.

由x2a2+y2b2=1，Ax+By+C=0，得x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2，x1·x2=a2（C2-b2B2）a2A2+b2B2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2，y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2.

解法6 结合韦达定理y1·y2=a2（C2-a2A2）a2A2+b2B2=9（4-9）9+5m2=-459+5m2，y1+y2=-2a2BCa2A2+b2B2=-2×9×（-m）×29+5m2=-36m9+5m2，所以y2=-36m9+5m2-y1.

由解法1知k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2=-45m9+5m2-5y1-45m9+5m2+36m9+5m2-y1，即k1k2=5.

评注 圆锥曲线结合韦达定理，求解的方法又称圆锥曲线的公式联立，其实是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦等问题的公式，平时并不多见. 针对学有余力的学生，教师可以适当介绍，开阔学生的视野，提高学生的思维能力.

四、解后反思

《普通高中数学课程標准（2017）》指出，高中数学的六大素养为数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算.高中数学的学习急需提高学生的综合能力.在数学学习的过程中，教师要鼓励和引导学生在学习的过程中勤思考、多动脑，在对两直线斜率比值、乘积以及和为定值的问题探究过程中，培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.教师可以根据核心素养所提出的相关理论进行教学方式、教学目的的调整，使学生能够得到更全面的发展，将立德树人的根本任务落到实处.

“一题多解”既可以丰富教学内容，也可以让枯燥的数学课堂变得活泼生动，充分调动学生的积极性，让每个学生都自觉地投入到课堂中来，不仅可以使学生集中注意力，还可以使学生的思维越来越缜密，考虑越来越周全.应用“多题一解”的教学，可以锻炼学生归纳总结的能力，使得学生“做一题，会一类”.“多题一解”的数学教学方式，不仅能提高学生学习数学的能力，还能映射生活的哲理，对于学生生存能力的提高也有效果.

参考文献：

[1]罗增儒.从数学知识的传授到数学素养的生成[J].中学数学教学参考，2016（19）：2-7.

[2]钱万毅.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践[J].中学课程辅导（教师教育），2017（02）：57.

[责任编辑：李 璟]