一个圆锥曲线问题的解决与推广

摘 要：本文通过针对一个椭圆常规练习题的抽象化研究和拓展探索，运用转化与化归思想，得出以圆锥曲线为载体的同类问题的一般性结论.

关键词：交点;韦达定理;线段乘积;斜率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0067-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：许银伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

转化与化归是高中重要的数学思想方法，它对于问题的思路探寻和简化运算有着不可估量的作用.本文通过针对一个椭圆常规练习题的拓展探索，运用转化与化归思想，得出在圆锥曲线中同类问题的一般性结论.

问题 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次为等比数列，其离心率为22，过点M（0，1）的动直线l与椭圆E交于A，B两点.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）当AB=453时，求直线l的方程;

（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立，求点G的坐标.

解析 （1）椭圆E的标准方程为x24+y22=1;

（2）所求直线l的方程为y=±x+1或y=±12x+1;

（3）设存在符合条件的点G，由已知条件和椭圆的对称性得点G必在y轴上，可设点G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①当直线l斜率存在时，设l方程：y=kx+1，代入椭圆E得：（2k2+1）x2+4kx-2=0，Δ=32k2+8>0，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得：kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，则得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+1）+x2（kx1+1）x1+x2=2kx1x2x1+x2+1=2，所以点G（0，2）.

②当直线l斜率不存在时，可得A（0，-2），B（0，2）或A（0，2），B（0，-2）.点G（0，2）代入可得GAMB=2，MAGB=2，符合.

综上得，符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，2）.

评注 问题（3）的解决诀窍是利用对称性判断出所求点G必须在y轴上，然后把距离的乘积转化为横坐标和斜率的比，使其到两个交点的连线斜率互为相反数，或者到两个交点连线的倾斜角互补，再利用韦达定理得出结果.

推广一 已知曲线E：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），过曲线E内的定点M（0，t）（t≠0）的动直线l与曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

解析 设存在符合条件的点G，由已知条件和曲线的对称性得点G必在y轴上，可设点G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①當直线l斜率存在时，设l方程：y=kx+t，代入曲线E得：（a2k2+b2）x2+2a2tkx+a2（t2-b2）=0，由点M（0，t）在曲线E内得：t20，x1+x2=-2a2tka2k2+b2，x1x2=a2（t2-b2）a2k2+b2.

GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得：kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+t）+x2（kx1+t）x1+x2=2kx1x2x1+x2+t=b2t，所以点G（0，b2t）.

②当直线l斜率不存在时，可得A（0，-b），B（0，b）或A（0，b），B（0，-b）.点G（0，b2t）代入可得GAMB=bt（b2-t2），GBMA=bt（b2-t2），符合.

综上得：符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，b2t）.

评注 1.推广一把原来问题一般化，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

2.曲线E可以是焦点在x轴或y轴上的椭圆，还可以是圆.

推广二 已知曲线E：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），过曲线E内的点M（t，0）（t≠0）的动直线l与曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

解析 设存在符合条件的点G，由已知条件和曲线的对称性得点G必在x轴上，可设点G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①当直线l倾斜角不为0时，设l方程：x=t+my，代入曲线E得：（b2m2+a2）y2+2b2tmy+b2（t2-a2）=0，由点M（t，0）（t≠0）在曲线E内得：t20，y1+y2=-2b2mtb2m2+a2，y1y2=b2（t2-a2）b2m2+a2.

GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=a2t，

所以点G（a2t，0）.

②当直线l倾斜角为0时，可得A（-a，0），B（a，0）或A（-a，0），B（a，0）.点G（a2t，0）代入可得GAMB=at（a2-t2），GBMA=at（a2-t2），符合.

综上得：符合要求的点G存在，且点G的坐标（a2t，0）.

评注 1.推广二只是把推广一中曲线内的定点放到曲线的另一对称轴，运用同样的方法和技巧获得一般化的结论.2.曲线E可以是焦点在x轴或y轴上的椭圆，还可以是圆.

推广三 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），过定点M（t，0）（t≠0）动直线l与双曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

仿照推广二可得符合要求的点G存在，且点G的坐标（a2t，0），过程略.

评注 推广三只是把推广二中椭圆换成焦点在同一坐标轴上的双曲线，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

推广四 已知双曲线E：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），过定点M（t，0）（t≠0）动直线l与双曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

解析 设存在符合条件的点G，由已知条件和双曲线的对称性得点G必在x轴上，可设点G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），顯然直线l的倾斜角不为0°.

①当直线l斜率存在时，设l方程：x=t+my，代入双曲线E得：（b2-a2m2）y2-2a2tmy-a2（t2+b2）=0，由已知得b2-a2m2≠0且Δ=4a2b2（b2-a2m2+t2）>0，y1+y2=2a2mtb2-a2m2，y1y2=-a2（t2+b2）b2-a2m2.

GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=-b2t，所以点G（-b2t，0）.

②当直线l斜率不存在时，可得A（0，-a），B（0，a）或A（0，a），B（0，-a）.

点G（-b2t，0）代入可得MAGB=（a2+t2）（b4t2+a2）=MBGA，符合.

综上得：符合要求的点G存在，且点G的坐标（-b2t，0）.

评注 推广四把推广三的双曲线换成焦点在另一坐标轴上，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

推广五 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），过定点M（0，t）（t≠0）动直线l与双曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

解析 设存在符合条件的点G，由已知条件和双曲线的对称性得点G必在y轴上，可设点G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l斜率存在.

①当直线l斜率存在且不为0时，设l方程：y=kx+t，代入双曲线E得：（b2-a2k2）x2-2a2tkx-a2（t2+b2）=0，由已知得b2-a2k2≠0且Δ=4a2b2（b2+t2-a2k2）>0，x1+x2=2a2tkb2-a2k2，x1x2=-a2（t2+b2）b2-a2k2.

GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+t）+x2（kx1+t）x1+x2=2kx1x2x1+x2+t=-b2t，所以点G（0，-b2t）.

②当直线l斜率为0时，由双曲线对称性得点G（0，-b2t）符合要求.

综上得：符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，-b2t）.

评注 推广五把推广三中直线所过坐标轴上的定点换成另一坐标轴上，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

推广六 已知双曲线E：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），过定点M（0，t）（t≠0）动直线l与双曲线E交于A，B两点，探求是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

类似推广五得符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，a2t），过程略.

评注 推广六把推广四中直线所过坐标轴上定点换成另一坐标轴上，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

推广七 已知抛物线E：y2=2px，过异于原点的定点M（t，0）的动直线l与抛物线E交于A，B两点，是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

解析 设存在符合条件的点G，由已知条件和抛物线的对称性得点G必在x轴上，可设点G（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l的倾斜角不为0°.

①当直线l斜率存在时，设l方程：x=t+my，代入抛物线E得：y2-2pmy-2pt=0，由已知得：Δ=4p2m2+8pt>0，y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以y1y2=y11+1k2AGy21+1k2BG，得kAG=-kBG，即y1x1-x0=-y2x2-x0，得x0=x1y2+x2y1y1+y2=y1（my2+t）+y2（my1+t）y1+y2=2my1y2y1+y2+t=-t，所以点G（-t，0）.

②当直线l斜率不存在时，由抛物线对称性得G（-t，0）符合GAMB=MAGB.

综上得：符合要求的点G存在，且点G的坐标（-t，0）.

评注 推广七把推广二中的曲线换成抛物线，运用上面的方法获得一般化的结论.

推广八 已知抛物线E：x2=2py，过异于原点的定点M（0，t）的动直线l与抛物线E交于A，B两点，是否存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立;若存在，求点G的坐标.

类似推广七得符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，-t），过程略.

评注 1.推广八把推广七中抛物线对称轴改变，运用上面的方法和技巧获得一般化的结论.

2.推广七和八通常取定点M为抛物线的焦点作为质检考题.

见微知著，举一还三，是学好数学必需的能力与习惯，需要有意识的培养与磨练.本文通过针对一个普通练习题的拓展思考，获得同类问题的一般性结论，既强化问题解决的方法和技巧，又加深对问题的本质认识，值得在数学学习与研究的过程中借鉴.

参考文献：

[1]石磊.例谈解析几何问题中的条件转化[J].数理化解题研究，2018（6）：27-28.

[2]李维.对一个高考模拟题的解法探究、背景溯源与拓展[J].数学通讯（上半月），2019（10）：32-34.

[责任编辑：李 璟]