数学解题中对培养数学建模与逻辑推理素养的思考

李华

[摘  要] 数学教学要培养学生的核心素养，高中数学共有六大核心素养，如何让核心素养在高中阶段发芽、生长，在教与学的过程中落地生根，值得我们思考. 文章通过一道试题着重探究在解题中学生个人的数学知识与思维建模对于他们逻辑思维的影响.

[关键词] 知识储备;核心素养;数学建模;逻辑推理

数学核心素养将知识与数学技能作为学科核心素养的基础，并将知识与技能予以运用，利用其解决问题，从而进一步展现数学学科的本质特点与学科思想. 而解题能力正是学生核心素养的集中体现. 在数学解题中，培养学生思维的灵活性是目的之一，而思维的灵活性实质是“迁移”，它的实现正是来自数学知识的迁移与模型的迁移. 著名数学家华罗庚用“由薄到厚”和“由厚到薄”两个基本过程，形象地解释了知识储备、数学模型与学生解题能力之间的辩证关系. 所谓“由薄到厚”指的是学习知识，构建知识框架、数学模型的过程，“由厚到薄”是消化提炼、探索本质、迁移应用、提升能力的过程.

[?]真实问题再现

下面以一道高二年级期中考试题为例，谈谈知识储备、数学模型对学生的推理、思维的影响.

例：已知P为椭圆+=1上一个动点，过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，求·的取值范围.

本题涉及椭圆、圆、切线、向量等基础知识. 通过分析，其实际上是一道向量题，虽有椭圆，却没有用椭圆. 我们进行如下分析：

[定位1] 向量数量积定义. 此题求的是数量积的取值范围，因此应立足数量积的定义将其逐步转化，最终使其实数化是目标.

F为圆心，也为椭圆的左焦点. 设∠APF=θ，则sinθ=，所以·=

cos〈，〉=

2·cos2θ=（

2-1）

1-

，其中，

是焦半径，取值范围是[1，3].

[定位2]向量运算. 将向量进行分解，向模长已知和夹角已知的方向靠拢，最终完成实数化的转化.

设∠AFP=α，则cosα=，·=（+）（+）=2+（+）+·=2cos2α-1-2

cosα+2=+2-3.

[定位3]向量模型. 我们明白向量兼具形、数两个特征，是数形结合的典范，此题即可从形上完成实数化，也可设坐标完成实数化.

[定位4] 从圆的知识模块中提取出切线问题的方法模型，发现直角三角形，又结合三角函数，转化成为三角函数取值范围问题.

设∠APF=θ，则tanθ=，所以·=

cos〈，〉=

2·cos2θ=cos2θ=cos2θ. 令cos2θ=t，则·=（1-t）+-3.

[定位5]从解析几何的角度出发，定位坐标法.

设P（x，y），∠APB=2θ，·=

2cos2θ=

2（2cos2θ-1）=2

PM

2+1-

PF

2. PM是点P到弦AB的距离，因为AB：（x+1）x+yy+x=0，

PM

= =，所以·=2·-（x+1）2+y+1. 令（x+1）2+y=m，所以·=2·-m+1=m+-3，m∈[1，3].

方法很多，出口也很多，虽然出发点不同，但最后的研究结果都很相似，甚至表现形式一样. 但是在考试中，很多学生并不能利用以上方法顺利完成，因此这引起笔者进一步思考.

[?]学生困难与剖析

成果源于实践，因此要针对学生的困难加以剖析，现发现困难如下.

困难一：学生认为P是动点，A，B也是动点，不知将·如何转化，设坐标又觉得太复杂，无法实施.

困难二：将·按照定义表示之后，发现有模长、夹角两个变量，未能探究二者之间的联系，导致无法继续下去.

困難三：学生没能发现圆心是左焦点，也不会判断圆与椭圆的位置关系，因此，不敢画图，后续无法完成.

困难四：学生能画图，但未连接圆心与切点，没有发现圆的切线问题中的直角三角形，没选到合适的变量，无法刻画动态的过程.

困难五：学生把此题当成解析几何的大题，有畏惧心理，未能完成对向量数量积的转化，此题没有入手点，有的即便想到转化，但担心怎么没用到直线与椭圆方程的联立，因此无法完成.

进一步对学生的困难进行挖掘分析，可以发现，学生困难的本质是：一方面未能用数形结合思想及运动变化观点，主动探究解决问题的思路，另一方面学生对一些基本知识储备不足，基本方法、基本模型储备不足，导致逻辑推理无法进行. 因此可以看出，很多学生的学习是一种高度的模仿水平，缺乏思考、总结，尤其是一些方法模型的构建，并未吃透本质.

[?]教学思考

按照课标要求，对比学生在上述解答问题中出现的困难，笔者觉得作为教师在教学中要先改进.

1. 在教学中我们要重视基础知识作为学科中的支撑作用，并在此基础之上予以基本技能的运用，并结合数学的基本思想与基本方法，把课程的主权交给学生，增强学生学习的体验感，给予学生一定的思维空间，提升其学习兴趣，充实课程，进一步提升学习效率.

2. 教师应想方设法为学生搭建提升创造力的平台，而数学建模就具备该种特性. 数学建模的应用不光局限在实际问题中，应将它作为一种思维方式，比如说对一个模型的总结，让学生思考该模型能解决什么问题，只有这样才能举一反三. 分析问题时教师应发散思维，全面分析，如果情况允许，还可以引导学生创设多个假想，并选取一个最优的，这样可以有效提高学生的解题能力.

孙斌勇作为我国年轻的数学家之一有着自己独到的学习方法与学习心得. 在回忆自己小时的数学学习心得时，他说：“我小时候特别喜欢看书，并且看书的时候往往要读很多遍，直到深入了解每一个公式定理之后才罢休，因此想要学好数学，我的经验是仔细通读全文，并带着问题去读，寻找自己所需要的答案，从而理解每一个字词、每一个数学符号的意义，并在此基础之上适当做一些习题，但我做得并不多. ”这充分说明，只有将解题建立在知识框架之上，充分发挥学生的创造力，学生才能理解巧妙思路的来源，激发寻找更多思路的灵感.

3. 作为教师，要系统规划培养学生数学核心素养的途径. 我们要落实每一个模块、每一个章节的基础知识及基本方法和思想，并生成一些数学模型，这对学生的帮助会比较大. 比如解析几何的学习当中，我们要让学生的理解不局限于一些简单的数学思想方法，而是潜移默化地培养学生逻辑推理的过程，充分利用数学思维启发学生化繁为简，从而进一步培养学生的核心素养.

在教学中，教师要关注学情，关注数学本质，因材施教，并不断反思与学习，唯有如此才能有效落实数学核心素养的培养.