培养转化意识 提升数学素养

张道霞

[摘  要] 转化既是重要的数学思想，也是学生必备的数学技能. 文章以类比、数形等常见转化策略为例，阐述了转化在揭示问题本质、优化解题策略、提升解题能力等方面的积极作用. 因此教学中教师要重视培养学生数学转化意识和转化能力，以此来提高其数学思维和数学素养.

[关键词] 转化;数学思维;数学素养

数学教学常强调解题能力的提升，但解题能力实为一种转化能力，即将陌生难懂转化为熟悉易懂，将抽象转化为直观，将顺向思维转化为逆向思维等，通过对问题的恰当转化提升解题能力. 数学转化的方法较多，笔者不一一列举，本文选取了几个常见的转化方法进行剖析，以期引起同行的重视.

[?]类比转化

类比是数学教学的常用手段，通过对属性相近问题的类比，不仅可以让学生发现知识点间的内在联系，又可以发现其本质的区别，从而让新知与旧知在碰撞中不断沉淀和升华.

案例1：探究几何概型计算公式

如图1，AB是一条长3米的线段，线段AB上的5个等分点P，P，P，P，P将线段分成6等份，现从5点中任取一点，求其到顶点A和顶点B的距离不少于1米的概率.

为了激发学生探究的热情，加快探究的速度，教师设计了如下问题情境：

师：请说出基本事件及其总数（问题简单，很快有了答案）

生1：基本事件为取点，总数是5.

师：若记“选取的点到顶点A和顶点B的距离都不少于1米”为事件A，则满足事件A的总数有多少个？

生2：有3个，即P，P，P.

师：谁能求出P（A）呢？

生3：P（A）=.

师：通过上面的问题，你能总结一下该概率模型有什么特点吗？（同学们开始讨论并进行总结和归纳）

生4：其基本事件是有限的，且每个事件发生的概率是相同的.

师：总结得很好，我们称这样的概率模型为古典概型.

师：如图2，若是在AB上任取一点，那么会发生什么变化呢？

通过与上面问题相类比，学生发现虽然基本事件都为取点，并且发生的可能性是相等的，但满足该事件的点却有无限多个，因此该概率模型不再是古典概型.

师：若记“选取的点到顶点A和顶点B的距离都不少于1米”为事件B，若继续用古典概型可以得出答案吗？

生5：P（B）=事件B的个数÷基本事件的总数，但两者都是无数个，故无法算出.

师：很好！参考图1，你知道任取的点对应哪部分线段吗？

生6：应该是线段PP.

师：如图3，将P和P转化为C，D，则C，D为线段AB的三等分点. 线段AB上的点为基本事件的总数，线段CD上的点为事件B的总数. 根据这个条件，是否可以将“无限”转化为“有限”呢？

生7：是否可以将个数转化为份数呢？

在猜想、尝试、争论下，学生将1份线段长度上的无数个点看为一个整体，进而得出P（B）=. 通过类比使学生的思路更清晰，对古典概型的成立条件有了更加深入的了解，同时对非古典概型的转化也有效地提升了学生思维的变通性，因此，在数学教学中要让学生多观察、多联想、多类比，进而让学生获得更好的数学体验，提升学习信心.

[?]数形转化

数中有形可以使数更加直观，形中有数会使形更加具体，两者相互依存，协同发展. 教师在教学中要引导学生通过观察、挖掘等手段让数与形完美融合，即通过数形转化将未知转化为符合学生认知的，与已有经验匹配的数量关系，从而提升解题能力，活化思维.

案例2：已知a>0且a≠1，f（x）=x2-ax，当x∈（-1，1）时，均有f（x）<，求实数a的取值范围.

题目给出后，大多数学生应用了直接代入法，即将f（x）=x2-ax代入条件f（x）<，得x2-ax<，但代入后，如何解呢？学生感觉无从下手，看来若本题单纯从数的角度出发难以解决，因此需要另辟蹊径. 形往往是数的最直观表达方式，通过数形转化往往会收获到意外的惊喜，故学生尝试从形的角度去思考问题，但不等式x2-ax<的左边既有二次式又有指数式，这样的图形很难找出，思维再次受阻，需要进行转化，如何才能将其转化为熟悉的模型呢？教师留时间给学生进行分组探究，最终找到解决问题的方案.

生1：可以将原不等式x2-ax<进行变形，得x2-

师：非常好. 通过生1的转化，将问题转化为我们熟悉的，够得着的模型了. 那么现在是否可以直接画出图形呢？

生2：根据不等式与函数的关系可知，在区间I上，若f（x）

师：很好，请大家画出函数图像. （教师引导学生进行分组绘制，接下来展示成果，如图4）

图像画出后，学生根据图像寻找解题信息，即若当01时，f（-1）

，1∪（1，2）.

数形转化思想是数学的重要思想之一，本题从数出发，在求解碰壁后，用形的观点来重新审视题目，通过对数的转化和重组，将其转化为学生熟悉的函数模型，进而将抽象、复杂的数量关系转化为直观、简单的几何图形，从而找到了解决问题的方法. 在此过程中，充分地让学生体验了数形结合的优势，让学生在交流和沟通中学会了分析和探索，使学生真正地理解了转化是为何而转.

[?]辩证转化

已知与未知、部分与整体、动与静、具体与抽象等数学内容往往既对立又统一，其有明显的界线，但又有密不可分的联系，只有将其辩证统一才能顺利解决问题，因此，当正面思维受阻时不妨换个角度，大胆地尝试，打破原有思维的束缚，逆向而行，从反面的角度思考和解决问题，也许会出奇制胜.

案例3：已知3条抛物线的解析式如下：

①y=x2+2ax+a2-a+3;

②y=2x2-（4a-2）x+2a2-a;

③y=x2-（2a+1）x+a2+2.

若三条抛物线中至少有1条与x轴相交，求实数a的取值范围.

若有1条与x轴相交则可以是①与x轴相交，或②，……①②③同时与x轴相交，所以共有7种可能，故若在此基础上直接分类讨论，其分类讨论的过程将会特别复杂，很容易将思路带入死胡同，显然本题从正面入手很难求解. 教师通过引导，以期学生找到新的解决方案.

师：从“至少有1条”你可以解读出什么信息呢？（反应快的学生已经有了答案）

生1：3条抛物线都与x轴不相交.

师：很好，转化后7种方案变为1种，显然这样不仅可以提升解题效率，也可以提高解题正确率. 接下来如何求解呢？

生2：3条抛物线都与x轴不相交，则Δ<0，即：

（2a）2-4（a2-a+3）<0，

[-（4a-2）]2-4·2·（2a2-a）<0，

[-（2a+1）]2-4（a2+2）<0，解得

所以当a≤或a≥时至少有1条与x轴相交.

本题的难点就是将“至少有1条与x轴相交”转化为“3条都与x轴不相交”，通过对立的辩证分析，不仅减少了解题步骤，也降低了求解的难度，使求解过程获得了柳暗花明的效果.

[?]表征转化

在解答同一问题时往往出现不同的解决方案，其主要原因就是同一个数学对象往往存在着不同的数学表征，因学生的认知结构不同，数学经验不同，因此对信息的加工和反馈也往往不同，那么，为了找到最优的解决策略，拓展学生的视野，教师在教学时要善于利用表征转化引导学生多角度观察、多角度探究，进而将问题转化为自己熟悉的、等价的问题，以此既可以提升解题能力，也可以培养思维的灵活性.

案例4：不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

题目解析：本题若顺势求解，则需要讨论含参数a，b的二次不等式ax2+bx-10<0的解集，显然此种方法很烦琐，不易于控制，因此需要变换角度，转换思路. 若将ax2+bx-10<0转换为ax2+bx-10=0，则根据解集可知，-2和5就是方程的解，故可以将其从方程的角度重新定位思考，从而寻找最佳解题方案.

解题过程：根据不等式ax2+bx-10<0的解集为{x

-2

4a-2b-10=0，即求得a=1，b=-3. 部分学生也尝试用根与系数的关系进行求解，两种方法解题后所得答案相同.

数学知识点间往往存在着一定的逻辑性和关联性，因此，教师要引导学生关注问题间的内在联系，引导学生从整体和全局去看待问题，从而实现知识间的合理转化与迁移，提升解题能力. 如本题就利用了不等式和方程间的内在联系，由不等式的解集联想到方程的根，即通过表征对已知进行加工，通过视角的转化解决难题，优化解题策略.

总之，转化是数学学习的重要特征，也是数学思想的重要组成部分，教师在教学中要注重引导和渗透，这样既培养学生良好的思维习惯，又发展学生的数学思维，有利于提升学生的综合能力.