借助“巧解”实现课堂效率最大化

崔克琼

[摘  要] 高中数学学习的目的并非简单地应对高考，其主要目标是培养学生良好的学习习惯和思维习惯，为此，在教学中要摒弃简单机械的套用，要重视学习能力的提升. 在解题教学中，除了培养学生的“双基”外，要重视解题技巧的探究，引导学生多角度观察，根据不同的题型实施不同的解决方案，巧妙地应用概念、题设、数形结合等多种解题策略“巧解”问题，进而实现课堂效果的最大化.

[关键词] 学习习惯;思维习惯;巧解

谈到数学学习就不得不谈解题教学，其是数学教学的重要组成部分，是“用数学”的重要表现形式. 在素质教育的影响下，现行高考更侧重于考查学生“用数学”的能力，即应用数学基本知识和基本思想解决现实问题的能力，因此，培养学生的“双基”是解决问题的前提和保障. 然而，在培养“双基”的基础上不能忽视解题效率的提升，众所周知，高考数学题量大、题目新，若解题时不重视方法和技巧，将不利于学生缜密和灵活性思维的培养，那么学生在面对灵活多变的高考题目时势必会出现畏难情绪，进而影响学生“用数学”的积极性. 为此，在日常教学中，除了重视基础知识和基本方法的积累，也要关注解题技巧，引导学生学会“巧用”数学，使解题过程由繁变简，进而提升解题的成功率. 笔者选取了几道典型性的案例进行剖析，展示“巧解”在锻炼学生思维能力，提升学生解题能力的妙用，以期激发学生探究“巧解”的热情.

[?]巧用概念，化繁为简

数学概念是数学学习的基石，是数学知识的交汇点，是数学知识体系的重要组成部分，全面地、准确地掌握概念有利于“双基”的提升. 但在现实教学中，学生对概念的把握仅限于熟背，缺乏对概念内涵和外延的挖掘，以至于对概念的理解缺乏深刻性和灵活性，进而学生在面对应用概念直接求解的问题时显得束手无策，从而影响了解题效率.

例1：已知抛物线x2=2px（p>0）上存在A，B两个动点，且满足AB=l（l≥2p），试求线段AB的中点M到x轴的最小垂直距离时M的纵坐标.

分析：本题在求解时大多数学生都是构造线段中点M到x轴的最小垂直距离的方程f（x，y）=0，再求y的值，虽然这样求解思路简单，但其运算过程烦琐，运算量大，若要顺利求解不仅要有较强的运算能力而且需要消耗更多的时间，这样势必会影响解题的准确率和解题效率. 为了规避烦琐的运算，在解题时可以尝试回归概念，调动最原始的认知重新审视题目，也许有意外的收获. 本题根据抛物线的相关概念可以构造出如图1所示的图形，在梯形ACDB中，ME=，即y+=. 由抛物线的定义可知，AC=AF，BD=BF，则AC+BD=AF+BF. 在△AFB中，AF+BF≥AB，则y+≥=，即y≥-，当AB经过焦点F时，y的最小值为-（l≥2p）.

点评：本题求解中灵活应用概念构造出了图1，通过应用抛物线的定义得到AC=AF，BD=BF，从而将梯形问题转化为三角形问题，转化后直接应用三角形三边知识得出了答案. 从上面的解题过程可以看出，应用概念求解并不需要复杂的计算，同时思路更加清晰，步骤更加简洁，解题更加高效. 可见，在解题时巧用概念可以有效简化解题过程，有利于解题效率的提升，因此，在日常学习中一定要注意深化对概念的理解，进而解题时可以灵活应用，从而化繁为简，提升解题效率.

[?]巧用题设，优化解题策略

学生在解题时常急于求成，看到熟悉的题目就直接生搬硬套原有的解题思路，不重视观察题设信息，这样稀里糊涂盲目套用往往容易造成思路中断，不仅未能成功解决问题，而且浪费了宝贵的时间，因此，在解题前应先仔细观察题设信息，注意题设隐含信息的挖掘和提取，从而获得解题的捷径.

例2：已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0的两根相等，试证明，，是等差数列.

分析：本题在求解时很多学生仅关注“两根相等”这一信息，解题时直接利用方程“Δ=0”，即（bc-ab）2-4（ac-bc）（ab-ac）=0，显然若要化简要经历开方、配方等复杂的过程，而且在计算前并不能預判此方法是否能获得解题信息，解题处于“走一步算一步”的状态，缺乏对整体解题思路的把控，进而难以保障解题的准确率. 此题在动手前应先观察，看看除了“Δ=0”这一信息外是否还隐藏着其他已知条件. 经过观察方程的系数知晓“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”，由此可知方程的两个相等的根为“1”，分析至此，完整的解题思路就形成了，求解也就水到渠成了.

根据韦达定理可知：=2，即2ac=ab+bc，=+，所以，，是等差数列.

点评：本题解题时通过观察获得了“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”这一重要信息，成功地找到了解决问题的突破口，有效规避了常规解题思路所带来的复杂运算过程，使解题效率大大提升. 要知道，高考重点考查学生的运算能力，但运算绝非简单机械的套用，其更主要的是考查学生是否能够根据题设条件寻求最合理、最简洁的运算途径，进而实现“巧算”. 为此，在教学中教师要避免解题机械化、模式化，要引导学生仔细观察题设的外部结构，寻找个性化解题方案，进而优化解题策略，提升学生的解题能力.

[?]巧用数形结合，捕捉问题切入点

数形结合是一个老生常谈却不得不谈的问题，因为借助“数”的严谨，“形”的直观往往可以收获许多意外的惊喜. 有时在解题时若单一从“数”或单一从“形”的角度出发，绞尽脑汁也难以求解，而将二者相结合不仅容易找到解题的突破口，而且可以避免烦琐冗长的计算，进而提高解题效率.

例3：已知方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的两个实根为x，x，满足0

分析：根据题设信息学生很容易从代数的角度出发，调用解一元二次方程的经验，根据韦达定理和根的取值范围进行求解，显然，应用该方案不仅求解困难，而且思路容易混乱，很难求解，若将其转化为二次函数，借助函数图像的直观性更容易找到解题的切入点，方便求解.

令f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，根据方程的两個实根为x，x，满足0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0，即k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

由k2-k-2>0得k<-1或k>2;由k2-2k-8<0得-20得k<0或k>3. 将结果用数轴表示（如图3），则k的取值范围为（-2，-1）或（3，4）.

点评：本题求解时将方程、函数、不等式等问题相串联，先将方程转化为函数，根据方程根“0

[?]巧妙转化，规避分类讨论

分类讨论其实质就是根据题设条件将含有不确定因素的大问题拆分成若干小问题来解决，其可使解题思路更加清晰，但应用分类讨论其解题过程往往会较为烦琐，这也是分类讨论无法回避的一个问题，同时，有时因分类不清可能也会增加错解的风险，因此，在解题时，有时将问题巧妙转化往往可以有效规避分类风险.

例4：已知集合A={x

ax2+3x+2=0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

分析：A中元素有三种情况：0个、1个、2个，但要满足“至多一个元素”，则需要分两类进行讨论，即0个和1个，显然若求出A中有两个元素的情况，再应用补集则可以规避分类，进而减少运算过程. 对于a而言，不论a取任何实数，集合A都有意义，所以全集=R.

假设A中有两个元素，即ax2+3x+2=0有两个不同的实根，则a≠0，Δ=9-8a>0，解得a<，且a≠0. 求出A后，根据补集的思路可得a的取值范围为{0}∪

，+∞

.

评注：本题求解过程中利用“补集”有效地规避了分类讨论. 有时解题时若顺势分析可能会有多种情况，不妨逆向而上，往往可以优化解题策略. 虽然分类讨论有明显的优势，但有时巧妙地规避，也会有意外惊喜.

当然，数学中的“巧解”不拘泥于这几类，其分散于教学的每个角落，为此，教师要注意各个环节进行渗透，让学生在掌握“双基”的基础上可以跳一跳，根据不同的知识点、不同的题设结构、不同的题型采取不同的解决策略，进而实现化繁为简、简化流程，最终提升解题效率的目的.