例析分段数列问题求解策略*

广东省广州市白云区教研院 (510440) 徐再友

近年来各类考试中出现了不少的分段数列问题，虽然与分段函数是不同类型的问题，但在结构上、问题的逻辑推理上有相近之处，需要我们根据分段函数求解思路，充分抓住数列问题的特点，使二者互帮互补、各用其长．本文列举几个典型例子并分析点评，主要提示一些常用有效的求解思路，希望对读者朋友有所帮助．

一、寻找周期

例1 已知数列{an}满足an+1=

评注：本题通过赋值验算，找出了数列的周期性，揭示了问题的实质，使问题轻松获解，这是一类常见且比较简单的问题．

二、建立联系

评注：这是一个与分段函数中“取小”或“取大”函数是相似的，解题时要抓住数列中整数的特点，运用特殊值验算，建立不等式即可范围解决．

三、探求规律

评注：抓住题目中求4m+4项和的特点，通过赋值验算，找到了所求和式的规律，这是解题的关键所在．

四、活用递推

评注：在充分理解新定义的数列的实质的基础上，根据定义规则进行赋值验算，找出隐含的递推关系，这是破解本题的核心步骤．

五、灵活替换

例5 已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数,当x为奇数时f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时，f(x+1)-f(x)=3,且f(1)+f(2)=5,求f(x)的解析式.

评注：本题是一个用函数符合表述的分段数列问题，通过分奇偶数讨论并且及时替换，使问题获得圆满解决，这里的偶数时用奇数的情形进行替换是数列中常用的手段．

六、分类讨论

评注：在数列问题中，如果在已知式中含有(-1)n，则必须分奇数和偶数来讨论，将结果表示成分段数列的形式，然后综合其它条件继续解题．

上面几个例题是近几年高考复习中常见的题型，也反映了高考题的命题趋势，我们应该适应新情况，及时调整、充实课堂教学，给学生实时传递新方向，少让学生走弯路．由于此类问题所给条件各异，很难有一个通法，因而在遇到具体题目时，应该抓住题目特点，注重分析，尽量展示出一个比较合理的解题方案．