“圆” 来 如 此*——刍谈三角问题中“隐圆”的发掘策略

广东省广州市南武中学 (510240) 陈长定广东省广州市广州开发区外国语学校 (510700) 蔡军喜

我们常常会遇到一类解三角形问题，道是无“源”却有圆.对于题目中显然存在的圆，学生求解时大多困难不大，而对于部分题目中隐性存在的圆，如果不善于挖掘题中的隐含信息，将圆化“隐”为“显”，则计算往往会非常繁冗，以致困难．构建将题目中的圆化“隐”为显策略，将分散的信息集中于一个圆中，问题往往能够化繁为简、化难为易.下面笔者结合解三角形中部分高考及各地模拟考试中的典型试题，谈谈在三角形中将“隐圆”问题化“隐”为“显”的常见类型和策略，供参考.

1 定长

我们知道，平面内到定点(圆心)的距离等于定长(半径) 的点的轨迹是圆，因此有关涉及定(共)点、定长或等长的问题往往可以联想构造辅助圆来解决．

例1 (2018六校联考理科16题)在△ABC中，点D在边BC上，DC=2BD,AB:AD:AC=3:k:1，则实数k的取值范围为.

图1

分析：观察题目条件AB:AD:AC=3:k:1，即B,D,C三点到共点A的距离，联想到圆的定义，以点A为圆心，分别以AB，AC长为半径构造圆，再利用圆的有关性质解决.

图2

点评：当题目的条件中出现一个定点(或共点)，并能找到到这个定点(或共点)的距离等于定长的一些点时，常常可以根据圆的定义构造隐形圆，辅助解题.

2 定角

在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧长或弦长也相等.据此说明，若三角形的某边及其对角确定(一边一角)，则该边所对的顶点必在其外接圆上运动．

例3 (2014全国卷Ⅰ理科16题)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为.

图3

图4

点评：当题目条件中出现定线段且这条线段所对张角恒为直角时，根据直径对直角的性质可以这条定边为直径，作出隐形圆；当定线段所对的张角为非直角的定值时，利用三角形外心的性质，可确定辅助圆的半径；当条件中有两角相等，且这两角对着同一条线段，且在这条线段的同侧时，可将这条线段看作圆中的弦，这两个等角看作圆中同弧(或弦)所对的圆周角，从而考虑构造隐形圆，辅助解题．

3 定比

一般地，平面内到两定点A、B距离之比为常λ(λ≠1)的点P的集合是圆，此圆叫做阿波罗尼斯圆(通常也称为圆的第二定义)(注：本性质教材以例题呈现).若题目中有关于比例关系之类的等量条件，在审题时可以利用“阿氏圆”的定义挖掘隐形圆，使问题迎刃而解．

图5

点评：本题借由阿波罗尼斯圆的定义，建立直角坐标系，找到点C所在的“隐形圆”，将求三角形面积的最大值问题转化为求阿氏圆上的动点到线段AB的距离的最大值问题.

4 定平方和

图6

分析：本题用常规方法解答较困难.由平方和定值，可建立坐标系“发掘”“隐形圆”，以形助数来解决.

数学试题千变万化．如果不对试题的共性进行研究进而形成共识，则不利于发展学生的数学思维，不能较好地培养学生的解题能力．以上主要阐述隐含圆的发掘及其在解题中的作用，所述例题的特点都是题设条件涉及一个或多个动点，结论则需要求某一条线段长度或角度的范围或最值，从数的角度看，最终都要依靠函数、方程和不等式的知识来解决，且都有较大的运算量.这促使我们转换解题的视角和入口．将“数”的问题转化为“形”的问题，运用轨迹思想寻求动点的规律，从而发掘出“隐含圆”，进而获得问题的优化解决方案，道是“无源”却“有圆”.处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”“挖”出来，因此需要注意观察、分析题目的结构特征，挖掘题目中的每一条信息，筛选出形成圆的关键或有用的信息，找准解题的切入点，让其现出“圆”形，往往能使问题中隐晦不清的关系和性质在圆中清晰地展现出来，从而起到化隐为显、化难为易的解题效果，这时你就会有“圆”来如此多娇的美妙感觉.