设计模型认知活动 培养数学核心素养

闽南师范大学数学与统计学院 (363000) 吴莉莉 林新建

“模型认知”是通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法的数学解题策略.设计“模型认知”活动的关键在于构建出问题的辅助模型，这个“构建”过程包括：这是什么模型的问题吗？这类模型问题求解的关键是什么？如何构建出利于问题求解的辅助模型？如何基于辅助模型将问题简单求解？

通过上述问题，“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，进而“分析问题、构建模型，求解结论”，在这个过程中，数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养得到了很好地培养和发展.

本文以全国卷高考试题为例，就“模型认知”活动的设计在培养和发展数学核心素养上的意义与作用作一阐释，以飨读者.

1.设计“模型识别”认知活动，发展数学抽象、数学运算素养

设计“模型识别”认知活动，对题设给出的模型进行识别，进而借助模型特征将问题轻松予以解决.

例1 (2013全国Ⅰ文16)若当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.

分析：本题依常规方法求解较为繁琐，若能基于问题的特征引领学生对给定函数模型作识别，不难将问题轻松予以求解.为此，教学可通过如下问题设计“模型识别”认知活动：

问题1：这是什么模型的问题？

问题2：这类模型问题的特征是什么？

问题3：能否借助这个特征将问题简化求解？

评析：在上述活动中，学生经历了“从数量与数量关系中抽象出基本关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，以及“探究运算方向，选择运算方法，求得运算结果”的完整过程，无疑，数学抽象、数学运算等核心素养得到了很好地培养和发展.

2.设计“模型还原”认知活动，发展直观想象、数学建模素养

设计“模型还原”认知活动，对题设给出的模型进行还原，进而借助原始模型将问题轻松予以解决.

例2 (2015新课标Ⅰ理16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

分析：本题直接求解难度很大，但若能将四边形的原始模型还原出来，则问题可轻松获得解决.为此，教学可通过如下问题设计“模型还原”认知活动：

问题1：这个图形的变化特点是什么？

问题2：能否利用这个特点构造出求解问题的原始模型？

问题3：如何基于原始模型将问题简单求解？

通过问题1，引领学生“认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”，明了这一动态四边形的特点；通过问题2，引领学生“分析问题、构建问题的直观模型”，明了可将图形还原成三角形；通过问题3，引领学生“建立形与数的联系，探索解决问题的思路”，明了找出原始三角形模型，则问题容易获得解决.

图1

评析：在上述活动中，学生经历了“认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”，以及“分析问题、构建问题的直观模型”和“建立形与数的联系，探索解决问题的思路”的完整过程，无疑，直观想象、数学建模等核心素养得到了培养和发展.

3.设计“模型构建”认知活动，发展逻辑推理、数学建模素养

设计“模型构建”认知活动，构建出待解问题的数学模型，进而借助构建的数学模型将问题轻松予以解决.

分析：本题是三角形求解问题，因为题设仅告知一边一角，无法直接运用正、余弦定理予以求解，怎么办？其实，若能注意到这是最值求解问题，则不难想到引入变量，构建出待求最值关于这个变量的函数模型，进而运用通法“知三求三”将问题轻松予以解决.为此，教学可通过如下问题设计“模型构建”认知活动：

问题1：由题设条件，你能解这三角形吗？

问题2：你是否注意到问题的模型特征？这模型特征给你的启示是什么？

问题3：如何基于特征构建求解模型？如何基于辅助模型将问题简单求解？

通过问题1，引领学生“从数量与数量关系中抽象出数学概念及概念之间的关系”，即这是解三角形问题，但题设仅告知一边及其对角，是无法运用通法“知三求三”以求解的；通过问题2，引领学生“从数学的视角分析问题、构建模型”，即明了这是最值求解问题，必须构建函数模型予以求解，这是问题获解的关键；通过问题3，引领学生“验证结果并改进模型，最终解决实际问题”，即构建出待求最值x=θ的函数模型，且引进一个角比引进一条边作为变量更能简化问题求解.

评析：在这个“从数量与数量关系中抽象出抽象出一般规律和结构”的过程中，学生“从数学的视角分析问题、构建模型”，进而“求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题”，在这个过程中，逻辑推理、数学建模等核心素养得到了培养和发展.

数学素养是一种内在的思维品质和能力，它很难直接地被观察，教师在教学设计时，要将数学素养同具体的情境与问题相连，通过创设不同的认知活动，让学生在日积月累的数学学习中，不断地进行“数学认知”，积累数学活动的经验，才能切实有效地培养起数学的核心素养.