指向“三会”设计问题 发展数学建模素养*

安徽省阜阳市第三中学 (236000) 胡震洪

数学建模是应用数学的知识与方法，通过建立数学模型去解决问题[1].数学建模是连接学习与研究的桥梁，承载着帮助学生用数学的眼光发现问题，用数学语言表达问题，用数学的方法解决问题的功能，这三者恰恰指向了三会(会用数学眼光看、会用数学思维想、会用数学语言表达世界).数学建模离不开开展数学建模活动，然而观摩几次建模活动课，我发现执教教师虽然选题不错，但建模活动的开展并不顺利，主要表现为，教师设计的问题过于简单或者难以回答，不符合学生的认知基础和生活经验，以致建模活动开展的磕磕绊绊，导致建模活动课显得难以驾驭，为后续教师开展建模活动课带来障碍.

数学建模活动课和一般数学课一样，需要借助合理的、有梯度的问题开展教学.教师在合适的时间提出合适的问题、在必要的时候进行追问，是上好数学建模活动课的基础.这方面，北师大版高中数学教材副主编李延林老师执教的建模活动课《如何确定站台位置》给了我们一个学习的案例，值得一线教师研究、学习.

一、教学主要环节

问题1 如图1，学校准备为居住较集中的六位乘坐校车的学生设置一站，这个站设在哪里好？

图1

师(参与学生讨论后追问)：每个人对好的理解都不同，你如何理解这里的“好”？请你用文字语言表述，你认为好的标准是什么？

学生讨论后给出以下标准：1.较多的学生更快的到达车站，尽可能使大家公平；2.车站到六个点的距离之和最小；3.所有人到车站的时间和最小；4.公交车站离每个人都尽量的近；5.走的最远者走的尽量少.

师(追问)：你认为上面五种标准中哪种更具有研究的价值？

学生通过讨论发现无论站台设在何处都不可能实现绝对公平，所以标准1不可能实现；标准4不容易评判；标准5实质上是站台设在曲线上点A、F的正中间.通过讨论，学生发现标准2和标准3具有研究的价值和可行性，这两种标准也得到大部分同学的认可.

问题2 标准2中，如何表达车站到六个点的距离？

师(追问)：如何表达距离？

学生：线段的长.

师(追问)：很遗憾，现在没有线段，怎么办？学生：把曲线拉直，曲线拉直成直线(图2).

图2

师(追问)：曲线拉直成直线后，得有数据.我们研究直线上点的距离，可以把直线放在哪里?

学生：需要建立坐标系，一维的坐标系是数轴(图3).

通过设点A，B，C，D，E，F，P对应的数分别是a，b，c，d，e，f，p，从而得到标准2的数学表示——求M(p)=|p-a|+|p-b|+|p-c|+|p-d|+|p-e|+|p-f|的最小值.

问题3 如何求M(p)的最小值？

图4

(学生用代数方法求解遇到了困难)师(追问)：我们尝试着在数轴上把点P放在不同位置，猜测一下哪种放法好，如图4，点P放在P1好还是P2好？

学生通过讨论得到点P放在P2比放在P1时M(p)小了6|P1P2|.又结合对称性，最终学生讨论后发现点P放在P4最好，且P4位于线段CD上的任何一点处M(p)都不变.回归到原问题中，站台应该设在曲线CD上.

问题4 标准2和标准3完全相同吗？

学生讨论后指出：如果学生步行速度相同，“时间之和最小”可以等同于“距离之和最小”，但如果学生步行速度不等，这两个模型就存在差异，此时标准3比标准2复杂.

问题5 当学生数增加到7人、8人…，如何研究该问题？如果这6名学生中有一名学生因病走路不方便，怎么办？

学生讨论后提出，当人数为偶数时，站台设置在中间两点之间均可，人数为奇数时，站台应该设置在中间点处.

问题6 如果这6名学生中有一名学生因病走路不方便，怎么办？

学生(毫不犹豫)：“那就把站台建在离他最近的地方”.

二、听课感悟

1.设计合理的问题中彰显出教师的大智慧

本节课的难点是如何从数学的角度解决实际问题“如何设置站台位置好”.李老师通过6个主要问题和适时追问顺利的解决该问题，给听课教师展示了一节完整的数学建模活动课，充分反映出李老师的大智慧.纵观6个主要问题，我认为这些问题有以下特点：

问题1是生活问题数学化的过程，这是本节课的第一次抽象，通过这次抽象，实际问题“如何设置站台位置好”转化为数学问题“距离短”、“距离之和最小”、“时间之和最小”等，这是帮助学生用数学的眼光发现问题的过程.

问题2是文字语言符号化的过程，这是本节课的第二次抽象，是数学内部的抽象，这次抽象是符号化的过程，通过这次抽象，“好”的标准更明确、更清晰.在这个过程中学生逐步认识到：1、用数学的方法表达距离需要将曲线拉成直线；2、为了便于表达距离需要建立数轴，通过设点A，B，C，D，E，F，P对应的数分别是a，b，c，d，e，f，p，从而得到标准2的数学表示——求M(p)=|p-a|+|p-b|+|p-c|+|p-d|+|p-e|+|p-f|的最小值.这是一个帮助学生用数学语言表达问题的过程.

问题3是用数学的方法解决问题的过程，学生用代数方法求M(p)的最小值显然已经超出了高中生的能力范围.数缺形时少直观，用几何方法，借助图形，从一侧开始，逐步分析，期间渗透了分类讨论思想，同时利用对称性简化研究过程，考察了学生的逻辑推理和直观想象的素养，继而得到实际问题的解——站台应该设在曲线CD上(含端点).

问题4是一个反思的过程.教师引导学生认识到假设的“路无差异、人无差异”实际上简化了实际问题，考虑的情况越多，建模过程就会越复杂，比如如果考虑学生的步行速度不同，就需要用加权平均数.通过这个反思，学生认识到从生活问题抽象出数学问题的过程，也就是合情假设的过程中，或多或少的要舍弃一些因素，或者说要将问题理想化，理想化因素的多少决定了数学问题的难易程度.这部分是提醒学生，我们从生活问题中发现并抽象出数学问题，用数学的方法解决并还原到现实情境中去，往往得到的也是“近似解”，但这个“近似解”通常可以满足我们的需求.

问题5对问题进行了拓展.通过讨论学生认识的到：人数变化带来结果的变化，但变化中又蕴含着不变性.

问题6涉及到情感态度价值观的培养.李教授在培养学生解决实际问题的同时也在培养学生的爱心，培养学生的社会责任感.让学生认识到，这个世界有很多需要我们关心和帮助的人群，社会发展、社会进步的终极目标是让社会变得更美好！

2.追问同样重要，有时更有价值

本节课最精彩之处在于李老师的追问，李老师在参与学生讨论的过程中发现学生不知道从什么角度回答问题1，于是及时追问“请你用文字语言表述，你认为好的标准是什么”，这样即限定了学生的回答方式，又降低了回答的难度，因为对大部分学生而言该问题用文字语言比数学语言更容易回答.

中学生回答问题的语言很多是不规范的，李老师通过追问，帮助学生规范语言，在问题“点P放在P1好还是P2好”中，学生的回答是“点P放在P2比放在P1好，好了6|P1P2|”，李老师及时追问“这里的‘好了’是什么意思”，学生及时将口语“好了”换成数学用语“少了”.很多老师常常将“数学育人”挂在嘴边，李老师严谨的治学态度，注重学生数学语言的规范性，已将“数学育人”付诸于行动中.

三、结语

数学建模活动是数学内容的主线之一，不仅能够帮助学生更好地掌握知识技能，更能帮助学生学会数学的思考和实践，是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体[2].本节课李老师通过设计合理的数学问题引导学生用数学的眼光诠释“如何设置站台位置好”，有意识的培养学生用数学的眼光观察世界的能力；又通过数学问题引导学生将曲线“拉”成直线，并建立数轴，将距离之和最小转化为函数的最小值问题，培养学生会用数学思维想、会用数学语言表达世界的能力.这样指向“三会”设计合适数学问题，是数学建模活动得以顺利开展的基础，也是发展学生建模素养的基础.