激发学生空间想象能力的六个措施

云南省昆明市第一中学 (650000) 张远雄

空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察、研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将某些文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形、对图形进行各种变换；对图形的想象是指主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力的高层次的标志．

《考试大纲》具体要求如下：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观图形；能正确的分析出图形中的基本元素及相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象的揭示问题的本质．回顾近几年的高考试卷中关于立体几何的考题，真实地反映出对考纲要求的知识点的全面考查，又有基础知识的落实，更有能力考查的体现．

我们在复习备考中，必须精做题、练规范、广看题、勤思考、善总结，做到熟悉各类题型的解法，完善各种题型的规范表述．下面就几个重点题型举例分析，供同学们参考．

一、通过识别三视图考查组合体的面积与体积

例1 已知某几何体的俯视图是长为8，宽为6的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

图1

(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．

解析：由几何体的俯视图是长为8，宽为6的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD如图1.

评注：给出几何体的三视图，考查几何体的形状、表面积、体积等问题，首先由三视图找到原几何体的相关数量，再运用面积公式和体积公式来解决问题，在计算锥体和台体的侧面积时，必须求出侧面的斜高，应注意的是三视图中侧面的高是锥体和台体的高，而不是斜高，不能混淆．

二、通过添加辅助线降低对几何图形的理解难度

例2 在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点．(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E，如图2求证：点E为AC的中点；(2)若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

图2

图3

证明：(1)平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE． 在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点．

(2)因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，如图3，则PO⊥平面ABC．因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB，又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC．

评注：有一些题目中给出了某些条件，但这个条件的作用比较难发现，我们必须添加一些辅助图形将条件细化，使这些条件在解题中能发挥作用．如本题中由面面垂直很难找到直线与平面垂直，我们就应该直接在一个平面内作交线的垂线，创造出直线与平面垂直．

三、运用空间向量解决几何体中的角的问题

例3 如图4，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=2，点E、F是棱AD、PC的中点，直线PC⊥平面BEF.求平面BEF与平面PAB夹角的大小．

图4

评注：空间向量是解决空间角问题的有力武器，同时也减弱了对空间几何体抽象理解，本题抓住直线PC与平面BEF垂直，利用向量运算建立方程解决参数问题，这是用空间向量解题的优越之处．

四、抓住折叠中的不变量判断新的线面关系

图5

例4 如图5，ABCD是正方形，E是AB的中点，将△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，

(1)求证：PE⊥平面PDC； (2)求二面角P-CD-E的度数．

图6

解析：从折叠的过程可以看出，AD⊥AE，EB⊥BC这两个垂直关系是不变量，而折叠后A、B重合为P，故在立体图6中有PE⊥PD，PE⊥PC，根据线面垂直的判定定理可获解．

证明：(1)由折叠过程可知PE⊥PD，PE⊥PC，又PE∩PE=P，PD⊂平面PDC，PC⊂平面PDC，故PE⊥平面PDC．

评注：折叠问题是比较常见的问题，弄清楚给出的已知条件的折叠前后的变化情况是解题的关键，本题中折叠前后的顶点位置和字母名称都改变了，但垂直的关系没有改变，抓住了这一点，就抓住了问题的实质．

五、关注一些立体几何中的探索性问题

图7

(2)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.如图7，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，因为D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，所以EF∥AB1，而AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1；同理可证FE∥平面AB1C1，因为EF∩FD=F，所以平面EFD∥平面AB1C1，又DE⊂平面EFD，所以DE∥平面AB1C1．

评注：在解决存在性问题中，首先对一个判断下结论，然后在设法证明你的结论的正确性．本题中证明直线与平面平行，常用的有两种方法，即证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，或证明直线所在的平面与要证的平面平行，而已知中点再找中点是最基本的思路．

六、了解立体几何在实际生活中的的应用

例6 如图8，边长AC=3，BC=4，AB=5的三角形简易遮阳棚，其中A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能使所遮影面ABD面积最大？最大面积是多少？

图8

评注：立体几何知识在实际生活中应用广泛，解决这样的问题首先需要将应用问题抽象为某一个类型的数学问题，本题是与立体几何有关，然后在建立几何模型，落实相关条件，找到它们之间的联系，列出等式是解题的关键，平时要加强知识应用方面的训练．