圆中的特殊角

黄芹

圆周角是圆中一类特殊的角，正确理解圆周角的概念，深刻认识圆周角定理，切实掌握圆周角定理的应用，是学好圆周角的关键，也是进一步学好圆的相关知识的基础.

例1 如图1，☉O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，∠A=45°，BD为☉O的直径，BD= 2，连接CD，则∠D=______，BC=______.

【解析】由“同弧所对的圆周角相等”可知，∠D=∠A=45°；又BD为☉O的直径，所以∠BCD=90°；又BD=2，所以BC=CD=2.

例2 若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC=______.

【解析】据抽样调查，本题作答30°的同学很多，究其原因是有些考生受思维定势的影响，只以锐角△ABC得出答案.其实，本题中的三角形不一定是锐角三角形，因此需要进行分类讨论：（1） 若△ABC是锐角三角形，则如图2，∠BAC=∠BOC，答案为30°；（2） 若△ABC是直角三角形，则如图3，∠BAC=∠BOC，答案也为30°；（3） 若△ABC是钝角三角形，则如图4，此时在优弧上取一点D，连接BD、CD，则∠BDC=∠BOC=30°，∠BAC=180°-∠BDC=180°-30°=150°，答案为150°. 因此，本题的答案为30°或150°.面对如此复杂的情况，不掌握分类的思想方法，难免以偏概全.

例3 如图5，☉O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2 cm，则☉O的半径为______cm.

【解析】过点A作直径AD，连接BD，则由圆周角定理有∠D=∠C=30°，∠ABD=90°，由AB=2 cm，有AD=4 cm，故☉O的半径为2 cm.

例4 如图6，已知AB为☉O的直径，C是的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE交CD于点F，连接AC，试说明AF=CF.

【分析】要说明AF=CF，只要说明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是弧CE所对的圆周角，而由条件知=，因此只要找出所对的圆周角与∠ACF相等即可，而构造所对的圆周角，需连接BC，此时恰好构造了直径AB所对的圆周角∠ACB.

解：连接CB，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCD=90°. ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF. ∵C是的中点，∴=，∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.

【点评】见“直径”构造“直径所对的圆周角”，是常用且重要的辅助线. 由例3和例4应学会由直径联想直角及由直角联想直径，这种双向联想在解决圆中有关问题时十分有效. 例4还告诉我们，在圆中，构造同弧或等弧所对的圆周角即可得到相等的角，因此这也是常用的辅助线.

小试身手

1.（2013·山东泰安）如图7，点A、B、C在☉O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）.

A. 60° B. 70°

C. 120° D. 140°

2.（2013·浙江舟山）如图8，☉O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交☉O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（ ）.

A. 2 B. 8

C. 2 D. 2

3. （2013·浙江温州）如图9，AB为☉O的直径，点C在☉O上，延长BC至点D，使DC=CB. 延长DA与☉O的另一个交点为E，连接AC，CE.

（1） 求证：∠B=∠D；

（2） 若AB=4，BC-AC=2，求CE的长.