关于几何“新定义”问题的探究与反思

[摘要]几何“新定义”问题对于学生的知识储备和思维能力有着较高的要求，近几年备受出题人青睐，开展几何“新定义”考题教学探讨十分必要.本文将以道几何“新定义”模考题为例，进行思路突破，总结解题策略，反思教学实践，与读者交流

[关键词]几何;综合;新定义;函数;思想方法

作者简介：邱宗泉（1986-），本科学历，一级教师，从事中学数学教育教学工作，曾获三明市第三期骨干教师

背景综述

近几年中考和模考试题中出现了众多以“新定义”为背景的函数与几何综合试题，该类试题常作为压轴题综合考査学生获取知识和处理问题的能力，同时其中所蕴含的数形结合、分类讨论思想对学生的数学素养提出了较高的要求

几何新定义题的出现为当下数学教育的改革提出了新的要求，更加追求学科本质，突出创新精神，注重学习过程，倡导思想发展，从而有力地促进了教学理念的革新.在备考复习阶段，利用优秀的模考题开展教学探究，反思解题策略可以达到事半功倍的效果.

考题探究

问题（2020年江苏省南通市模考题）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出以下定义：如果△ABC为等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”;特别的，如果△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点1）如果B（-2，0），C（2，0），那么在D（0，2），E（4，4），F（-2，-4），G（0，V2中，线段BC的“等直点”是（2）已知B（0，-6），C（8，0）①如果双曲线y=上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求ん的值.2在直线y=x+6上是否存在一点P使得点P为BC的“等直点”？如果存在请求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由.

（3）如果B（0，2），C（2，0），⊙7的半径为3，圆心为7（t，0）.当在⊙7的内部恰有三个点为线段BC的“等直点”时请直接写出的取值范围.

思路突破：本题目为涉及坐标系的几何新定义题，题干设定了与等腰直角三角形相关的新定义一等直点，问题解析需要理解该定义的具体内容，然后结合相关知识进行问题探究.由题设可知：对于由点A和线段BC构成的等腰直角三角形，若BC为直角边，则满足一般的“等直点”，若BC为斜边，则满足“完美等直点”，因此问题探究需要对其中的线段进行讨论.

（1）该问已知点B和C的坐标，则线段BC在坐标系中的位置确定，只需确定D，E，F，G四点中哪个与BC构成直角三角形即可.

根据点坐标绘制如图1所示图像，观察可知，△BDC和△FBC为等腰直角三角形，所以线段BC的“等直点”是D和F

（2）已知B（0，-6），C（8，0），则线段BC位于第四象限，且所处直线的斜率为正

①求双曲线y=-上的点A为BC的“完美等直点”，需要把握其中的两个条件：一是△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形;二是双曲线k的符号没有设定，结合线段BC的位置需要讨论点A位于第一和第四两个象限的情形.（i）当点A位于第四象限时，如图2所示，由于点A是线段BC的“完美等直点”，则△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，则有∠BAC=90°，AB=AC.过点A分别作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为E和F，如图2，分析可证△AEC≌△AFB（AAS），则AE=AF.由点B和C的坐标可知OB=6，OC=8，BC=10，设AE=AF=x，则CE=8-x，在Rt△ACE中，由勾股定理可得ACP=CEP+AEP，即（5V2）=x2+（8-x）2，可解得x=1（舍去）或x=7，所以点A的坐标为（7，-7），则N=-49.

（i）当点A位于第一象限时，如图2中的A1点，此时点A和A1关于直线BC对称，直线A1为垂直于BC的直线，k=则结合点A坐标可确定直线AA1的表达式为y=-4（x-7）-7，令x=，可解得x=1，y=1，即点41（1，1），则ん=1综上可知，k的值为-49或1.

②该问求直线y=x+6上的点P为BC的“等直点”时的坐标，需要关注其中隐含的信息，参考①问可知：若为“完美等直点”，只可能是A和A1，但A和A1显然不在直线上，故BC只能为Rt△ABC的直角边.对于该问有两种解法：一是从函数视角出发，二是从几何视角出发.后续采用假设验证法，假设点P存在，进行坐标推理.

解法一：函数法

当BC为直角边时，则PC=BC=10由于PC⊥BC，则可将PC长视为点P到直线BC：3x-4y-24=0的距离，设点P的坐标为（a，a+6），由点到直线的距离公式可得3-4（a+6）-2410，解得a=2或=-98（舍去），则点P的坐标为（2，8）已知点P（2，8），C（8，0），则线段BC长为V（8-0）+（2-8）2=10，显然BC长就为点P到直线BC的距离，则∠PCB=90°.所以直线y=x+6上存在点P，使得点P为BC的“等直点”

解法二：几何法

充分利用图像中的特殊图形和特殊关系来构建方程.

过点C作PC⊥BC，与直线y=x+6相交于点P，过点P作x轴的垂线，设垂足为点E，如图3所示.结合条件可证△PEC△COB，由相似性质可得OC=PE_8_4设OBEC6CE=3x，PE=4x，则PC=5x，AE=PE=4x.因为OA=6，则OE=4x-6=8-3x，解得x=2，所以PC=BC=10，此时△ABC为以∠PCB为直角的等腰直角三角形，所以点P为BC的“等直点”，点P的坐标为（2，8）

（3）该问探究⊙7的内部恰好有三点为线段BC的“等直点”，需要分类讨论，同时采用临界极限法求解.

①当位于⊙T的内部，恰好线段BC的“等直点”为A，0，G时，如图4，此时△ABC、△BCC和△OBC均为等腰直角三角形，当⊙7过点G时，连接TG，可求得OT=V5.而当⊙7过点时，如图5，此时若△BCF、△BCH和△BCP为等腰直角三角形，连接TF，同理可得TC=V5，OT=V5-2.所以当位于⊙7的内部，恰好点A，0，G为线段BC的“等直點”时，t的取值范围为ーV5《≤2

②当位于⊙T的内部，恰好线段BC的“等直点”为F，O，C时.如图6，此时3p过点A，有OT=AT-OA=1;而当⊙T过点P时，如图7，连接TP，过点P作x轴的垂线，垂足为E，则有TE=V5，所以07=4-V5.则当位于⊙T的内部，恰好点F、の、G为线段BC的“等直点”时，t的取值范围为1≤≤4-V5.

③当位于⊙7的内部，恰好线段BC的“等直点”为F，O，P时.如图8，T过点G时，同理可得OT=V5;而当⊙7过点O时，此时OT=3.所以当位于⊙7的内部，恰好点F，O，P为线段BC的“等直点”时，t的取值范围为V5≤に3.综上可知，当位于⊙7的内部，恰有三个点为线段BC的“等直点”时，t的取值范围为ーV5《≤2-V5或1≤1≤4V5或V5≤《3.

思考总结

优秀的新定义考题可引领教学方向，对于启发学生思维有着积极作用上述所探究的是一道经典的涉及直角坐标系的几何类新定义模考题，设问具有一定的难度梯度，可以引导学生理解“新定义”，总结方法，积累经验，处理相關的综合问题.下面从解题策略、教学实践等方面进一步反思总结.

1.由试题看策略

结合上述几何新定义考题，可将其突破过程总结为定义理解、方法总结、综合应用三个阶段，实际上这也是大多数“新定义”试题的解题模式，因此在实际解题时可以采用如下策略

第一步，结合问题图像，充分理解题干“新定义”'的表述内容，初步利用定义来认识简单的问题.

第二步，根据“新定义”来解决一些特殊的问题，总结相应的解题方法和结论，形成定义问题的解题策略.

第三步，活用方法和结论，结合相关知识探究一些综合性问题，注意由定义出发构建模型，利用关联知识处理模型.

几何类“新定义”问题往往与几何图像联系紧密，在实际求解时注意采用数形结合、分类讨论的思想方法，借用直观的图形简化图像，降低思维难度.同时合理利用图形有助于发现图像中的隐含关系，构建解题思路.

2.由试题看教学

几何“新定义”考题的“新”主要体现在形式上，对于学生而言，问题中的概念、定义是教材中所没有的，但考题内容并没有脱离教材，因此教学“新定义”题首要是使学生脱离思想枷锁.其次是帮助学生巩固知识基础，由题干定义出发，将所涉内容定位到教材知识点上，如上述“等直点”显然就是考查等腰直角三角形的性质，因此可联系勾股定理、等角对等边、“三线合一”等知识来处理.

“新定义”题的突破过程对学生的能力和思维有着较高的要求，教学引导最关键的一点是提升学生的推理论证能力，问题的求解过程实则为“学以致用”的过程，因此需要引导学生注意总结方法，概括结论，活学活用，灵活变通.同时几何“新定义”问题的解析方法较为多样，对于涉及直角坐标系的几何类问题，可从函数、几何两大视角进行突破，教学中应鼓励学生独立思考，创新思维，综合所学探究解法，优化思路.教学课堂提倡开放、互动、交流、探索，以拓展学生思维，提升学生数学素养为最终目的.