波利亚的解题思想在初中几何命题教学中的实践

[摘要]文章对三个版本教材进行了对比分析，并结合从波利亚的解题思想得到的启示，创造性地使用教材，对圆周角定理及推论的教材内容进行大胆地整合、重组，探索与圆周角有关的三个命题的产生和证明更加自然、顺畅的教学设计

[关键词]圆周角定理;波利亚解题思想;命题教学

基金项目：本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度普教重点自筹课题“关注每一个的初中‘差异化递进教学”的实践研究”（批准号：B-b/2018/02/48）、江苏省南京市教育科学研究“十三五”规划2018年度课题“波利亚解题思想在初中几何命题教学中的实践与延伸”（批准号L/2018/251）和“基本图形在初中几何教学中的渗透策略研究”（批准号：L/2018/250）的阶段性成果之一.

作者简介：陈静（193-），硕士研究生，中学一级教师，从事初中数学教学工作，曾获南京市第二届鼓楼区优秀青年教师称号

“数学教学不仅要使学生掌握知识，而且要使学生掌握思想方法，发展思维品质”“教学要关注过程”，这些几乎已经被所有数学教师所接受，但在教学实践中很难让认同的理念自觉地影响自己的教学.在初中几何命题教学中存在这样两种现象：第一，课堂中，新知探究和讲例题、练习的比例不合理，有时放手让学生思考、讨论、探究，却导致课堂头重脚轻;第二，教学时费尽心思引导学生自主发现定理、证明定理，以为学生理解了，可是学生做题时依然不能灵活地运用定理.与其抱怨学生不会解题，不如执果索因，反思我们的教学是否出了问题：学生的探究体验是否真实？我们提出的问题是否给予了学生足够的探究空间，抑或是一种假探索？我们是否为了赶进度、做练习而出现了学生圆囧吞枣的教学？每节课的结论固然重要，但如何得到这个结论更重要;方法很重要，但如何掌握这个方法更重要.也就是获取知识的知识、提炼方法的方法更有价值.

圆周角定理是初中数学“图形与几何”领域的核心定理，它是初中定理中史无前例、独一无二的“位置不定，但数量确定”的例子，是第一次采用完全归纳法证明的定理.圆周角定理有两层意思，一层是“同弧所对的圆周角相等另一层是“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”.圆周角定理的教学实质就是自然、合理地挖掘和揭示这两层意思的思维过程.在定理的发现和证明过程中，蕴含了分类讨论、从特殊到一般、转化等重要的数学思想方法

三个版本教材的对比及思考

人教版、苏科版和北师大版教材都是直接给出圆周角的定义，但细节略有不同

显然，北师大版教材的定义更加严谨，考虑到了交点恰好在顶点的情况.接着，三个版本的教材依次得到了3个命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等;推论1，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径;推论2，圆内接四边形的对角互补

1.人教版教材

人教版教材直接抛出研究问题：同弧所对的圆心角与圆周角存在什么关系？先引导学生测量一种情况，换一条弧，再测量，从而发现规律并证明.证明时以直线AO与圆周角的位置关系作为分类标准

2.苏科版教材

苏科版教材从一个包含了同弧所对的圆心角和三种不同位置的圆周角的图中，给出圆周角的定义;接下来的操作与思考环节，从特殊的90°圆心角出发，通过度量得到三种位置的圆周角均为45°，同时发现特殊位置下的等腰直角三角形;接着给出60°的圆心角，又发现特殊位置下的等腰三角形，得到圆周角为30°;进而猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.那如何证明呢？由前面的特殊化经验，先研究特殊情形，即圆心在圆周角的一条边上，由等腰三角形与外角的知识易证对于圆心分别在圆周角内部和外部的情形，只要作出直径，就可以转化成两种特殊情形的组合了.

3.北师大版教材

化比师大版教材以实际问题一射门游戏为问题情境，圆上一点对着球门形成三个张角，由此给出圆周角的定义，接着提出问题：这三个角的大小有什么关系？先引导学生操作，给出一个80°的圆心角，画出它所对的弧所对的圆周角，然后提出问题：它們有什么关系呢？这些圆周角与这个圆心角的大小有什么关系？你是怎样发现的？改变圆心角的度数，你得到的结论还成立吗？证明时以圆心角与圆周角的位置关系为分类标准，从特殊到一般，对三种情况分别进行了讨论.

4.三个版本教材的对比

在推论部分，三个版本的教材大同小异.推论1，当圆心角为180°时，圆周角为90°，即直径所对的圆周角是直角反之，90°的圆周角所对的弦是直径.这样的圆心角具备数量和位置双重特殊性.推论2，当四边形的四个顶点在同一个圆上时，得到圆内接四边形的对角互补.对于推论2，苏科版和北师大版都是先给出特殊情形，即一条对角线是直径时，结合四边形的内角和为360°，得到两组对角分别互补，再推广至一般情形;人教版则直接由一组对角所对的弧度数和为360°，得到圆内接四边形的对角互补.

这三个版本的教材，几乎都是直接抛出研究问题：同弧所对的圆周角与圆心角之间有什么关系或同弧所对的圆周角有什么关系？为什么要讨论这个问题？在教学时，如何引导学生自己关注到圆周角与圆心角之间的关系？如果这个问题不能引起学生的共鸣，学生便无法理解研究它的必要性，这部分的教学将会很生硬、很别扭.另外，证明时为什么要分类？教材中的三种情况是怎么想出来

的？人教版中的折痕AO在证明过程中起到了辅助线的作用，但学生会想到吗？另外两个版本，如何想到以圆心与圆周角的位置关系作为分类标准的？如何发现圆心在圆周角的一条边上可作为特殊情形先行研究？这些是本节课教学的难点，如何突破它们成为教学成败的关键.

从波利亚的解题思想中得到的启示

从解题的角度看，本节课要解决的问题是如何探索与证明圆周角定理.波利亚的解题理论告诉我们，解决一个问题通常有如下四个步骤：理解题目、拟订方案、执行方案和回顾反思

第一步，理解题目.我们要研究的是什么？这其实是命题教学最大的难点，即如何提出问题，我们为什么要关注圆周角和圆心角的关系？北师大版教材的实际背景直接指向圆周角，实际上圆中的角不止这两种，我们还可以关注同弧所对的圆内角、圆外角和圆周角之间的关系.那如何让研究对象出现得自然合理呢？学生首先要理解研究它们的必要性.另外，为什么是同弧？圆周角和圆心角也可以对同弦，这值得研究吗？我们可以从哪些方面研究圆周角和圆心角的关系？你可以用什么方式把要研究的对象梳理清楚？先证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半还是先证明同弧所对的圆周角相等？第二步，拟订方案，这是问题解决的关键步骤.明确了研究对象是圆周角后，如何猜想出圆周角与圆心角的大小关系呢？这个问题最大的难点在于研究的对象有无数个.那如何探究这无数个圆周角与唯一的圆心角之间的数量关系呢？人教版教材引导学生先画出同弧所对的圆周角和圆心角，再借助量角器度量，猜想出规律，最后证明.为了化解这一难点，教材中还设计了操作：沿着直线AO折叠，直线AO是这个定理证明

时很重要的辅助线，但怎么想到的呢？教学时总觉得这里不够自然.苏科版教材在这个环节的设计更加用心，从两个特殊的圆心角（即90°和60°）出发，找到了特殊的位置，即圆心在圆周角的边上为后面的一般情况的证明先发现特殊位置提供可能.实际上，在度量和叠合的过程中，结果的指向性是比较明确的，这样的活动其实学生的思维参与度是很低的.作为初三的学生，那除了这两种方法而外，还有其他更加严谨的方法吗？波利亚在《怎样解题》一书中指出，如果你不能解决所提出的问题，可先去解决一个更特殊的问题，或者解决这个问题的一部分.第一个特殊位置下的研究成为整个证明的突破口（如图1）;后两种情况，只需要作出直径就可以一分为二，转化成两种特殊情形的组合了（如图2和图3）

第三步，执行方案.理清了证明思路，下面就用科学准确的语言表达出来.在表达的过程中，要体会研究过程中蕴含的数学思想方法，加强思维的严谨性.

第四步，回顾反思.从过程来看，这定理的证明是我们初中第一次使用完全归纳法，即把要研究的某类事物的所有情况先逐一加以讨论，或分成几类，对每类加以讨论，再概括得出一般结论，体现了从无限向有限的转化思想.如何找到分类标准是这个环节最大的难点明确了研究对象后，是先证明同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半呢还是先证明同弧所对的圆周角相等呢？实际上，这两种思路都是可以的.如果先研究圆周角和圆心角之间的关系，需要先找到最特殊的情况，即圆心在圆周角的一条边上，再实施转化，这是本环节的另一个难点.如果想直接研究同弧所对的圆周角相等，那应如何设计问题串，使结论出来得自然而合理呢？

从结论来看，这与“两直线垂直、平行”的本质一样，都揭示了“位置关系与数量关系”的辩证统一，体现了“形内外”与“正负性”的辩证思想在研究“圆与圆的位置关系”时，当两个圆分别外切与内切时，其圆心的距离等于两圆的半径之和与半径之差，也体现了这一思想探索更自然、顺畅的教学设计

基于以上对三个版本教材的对比分析和从波利亚解题理论中得到的启示，笔者大胆突破教材的“权威”影响，对教材进行重新整合、重组，建立新的逻辑体系，探索与圆周角有关的三个命题的产生和证明更加自然、顺畅的教学设计.

1.引入

在八年级下册中，我们研究过平行

四边形.它是什么特殊？（形状特殊）若添加一个条件，即其中一个内角为90°，则平行四边形成了矩形;若添加一组邻边相等，则平行四边形成了菱形.我们研究了这些特殊的平行四边形的性质及判定方法.那是不是所有的四边形都有外接圆呢？如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这种特殊的位置，又会给四边形带来什么特殊的性质呢？今天我们先来研究圆内接四边形的性质，如图4.

设计意图在“2.3确定圆的条件”中，学生知道了“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，也了解了三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念，本节课顺势提出两个研究问题：是不是所有的四边形都有外接圆？圆的内接四边形作为一种特殊位置的四邊形，有什么特殊性质？从三角形过渡到四边形，自然、合理、不突元，既与前一节内容关系紧密，又与平行四边形的内容联系紧密体现了知识的整体性和研究方法的前后一致性

2.活动一：圆的内接四边形有什么特殊的性质四边形的内角和为360°，当四个顶点在同一个圆上时，如图5，点O在四边形内部，连接四条半径就可以得到四个等腰三角形，于是四对底角分别相等.通过观察可以发现，一组对角处的四个底角之和正好占了四边形ABCD的内角和的一半，即180。

当然，还应该考虑一种情形，即点O在四边形外部的情形，如图6此时∠DAB+∠BCD=∠DAO-∠BAO+∠BCO+∠OCD=∠ODAー∠OBA+∠OBC+∠ODC=∠OBC-∠OBA+∠ODA+∠ODC=∠ABC+∠CDA.所以∠DAB+∠BCD=∠ABC+∠CDA=180°.于是圆内接四边形的对角互补

设计意图圆内接四边形的对角互补，可以直接通过连接半径，转化为四个等腰三角形来解决，这回归到了本源性的知识解决问题上.同时，这一发现中的180°为接下来关注圆周角与孤的关系提供了可能

在这里，类比圆心角的定义，给出圆周角的定义.在刚才的基础上，引导学生观察和思考：180°是什么？360除了是四边形的内角和而外，还可以是什么？这一组对角在圆上的位置又有何特殊？不难发现，这组对角所对的圆弧正好组成完整的圆周，而周角正好也是360°，于是猜想：圆周角与其所对的弧之间是否存在某种关系？

3.活动二：同弧所对的圆周角有什么关系引导学生观察图7，保持∠A所对的弧不变，改变∠A的位置，可以发现∠A和∠E同为∠C的补角，所以∠A=∠E，即在同弧或等弧的条件下，角的顶点在圆周上的位置发生变化，但其度数不变，体现了“变中不变”的数学思想.

由此，我们可以得到圆周角定理的一部分：同弧所对的圆周角有无数个它们都相等.

设计意图同孤所对的圆周角有无数个，它们都相等，这就意味着它们都等于一个确定的值.这里蕴含着“变中不变”的图形规律，必然存在某种特定的数量规律，那这个值是什么呢？一定跟这个唯一的孤有关系在2.2节我们已经知道，弧有确定的度数，并且弧的度数就等于它所对的圆心角的度数.我们不便于研究圆周角与弧的关系，可以将问题转化为研究角与角之间的关系，于是我们把问题转化成研究同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系.

4.活动三：同弧所对的圆周角与圆心角之间有什么关系

研究的对象——圆周角有无数个，而圆心角只有一个.分类可以将“无限型”问题转化成“有限型”问题.那如何分类呢？一般的思考方法是化一般为特殊，化复杂为简单.我们可以从特殊的数量着手，如画出90°或60°的圆心角，量出它们所对的弧所对的圆周角的度数，猜想规律.那如何证明呢？我们可以再从特殊的位置着手，多画一些，如图8～图10，可以发现圆心正好在圆周角的一条边上的情形很特殊（图8），于是先行研究观察图8，连接OC和BC，得到图11

发现两对同弧所对的圆心角和圆周角，∠BOC和∠BAC，∠AOC和∠ABC.利用等腰三角形和外角的性质，易得∠BOC=2∠BAC.∠AOC=2∠ABC.

设计意图这个问题解决的是圆周角定理的核心问题，即如何分类，这是难点，突破的方法是寻找特殊情况.这里有两个思考方向：数量和位置.特殊的数量只能提供猜想，但不能解决一般情形.如何从特殊到一般，需要动手操作，多画一些图，才能发现共三种不同的位置，研究角与角之间的关系时，我们容易想到的是利用三角形解决，而圆中又蕴含着很多等腰三角形，所以将问题聚焦到三角形是明智的选择.

5.活动四：再观察图11，你还可以发现什么如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，可以推出这个三角形是直角三角形，因此，图中∠BCA=90.于是可推出直径所对的圆周角是直角.反之，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在图11中，当以AB为直径作圆时，由于OC=OA=OB，所以点C在OO上，这就得到90°的圆周角所对的弦是直径.

设计意图在特殊位置下，必然蘊含着特殊的数量.

这个图可以说是一图三用，既解决了特殊情形，又是圆周角定理的突破口，还能得到推论1.实际上，这个直角三角形仍然可以看成是两个等腰三角形，所以等腰三角形才是“本源”

最后，回到一般情形，当A4，O，B点不共线时，还有点O在圆周角内部和外部两种情形.利用刚才的经验，连接AO并延长，就会出现两种特殊情形的组合图（如图12和图13）

本节课结束时，学生可以继续探究同弧所对的圆周角、圆内角和圆外角之间的大小关系”，这有利于构建与圆有关的角的整体结构，进而再研究“四点共圆的条件”虽然《数学课程标准》对“圆内角、圆外角、四点共圆”等内容的教学已不作要求，但这样的探究活动是很有价值的，能够有效地培养学生的探究能力和探究素养.

命题学习是培养学生思维能力的优质素材，教师要在专业的引领下，挖掘思维因素，为学生创设思维空间，将思维能力的培养自然融合到教师的教学行为中.在概念教学中，概念的引出要解决必要性的问题，在命题教学中也要解决如何让学生关注到命题的“探索与证明”的问题，而不是学生直接解决教师抛出的问题.这对培养学生发现问题和提出问题的能力起着至关重要的作用.波利亚在《怎样解题》一书中有这样一段话，数学的趣味性就在于它需要我们推理和创造能力的充分发挥.但如果最为引人注目的步骤，其动机和目的仍不可理解，那么我们在推理和创造方面就学不到任何东西.

教学是否真正为学生创设了思维参与的空间，取决于教师对数学教育教学内容本质的认识和教育视野的宽度、高度.新课程倡导教师要创造性地使用教材，要在使用教材的过程中融入自己的科学精神和智慧，对教材进行深加工.本节课的教学设计，紧扣等腰三角形和直角三角形，实现了三角形向四边形的自然过渡，回归本源，也体现了问题研究的前后一致、逻辑连贯.数学知识本身就有很强的系统性，我们的教学要站在系统的高度，注重数学知识的整体性，帮助学生理解和领会数学知识之间的联系，这样才能真正把握数学知识的本质.