基于自然生成的运算教学的探索及反思

[摘要]运算教学的自然生成是促进教学师生关系和谐发展的原动力，运算教学的自然生成应该遵循运算的发生、发展、形成的数学规律.运算教学的过程应该是让学生体会蕴含在运算中的数学思想和方法与数学活动经验的过程，也是为了促进学生“四基”能力的形成，发展学生核心素养自然形成为目标的过程教学.

[关键词]运算教学;自然形成;过程教学;“四基”能力;核心素养

作者简介：张炜（1973-），本科学历，中学高级教师，主要从事初中教学有效性研究工作

近期我校开展了“运算教学自然生成”为主题的“同课异构”的教师研训活动，研训的立意是促进我们一线教师能注重运算法则的自然生成，从而真正落实“以学为中心”的高效课堂.课题选用的是浙教版八年级下册第二章的“S2.2一元二次方程的解法（1）”.笔者有幸聆听并参与了课题的研讨，我们听后认为现在运算教学普遍存在节奏快、容量大、强度高、反复练的教学模式，这样的教学模式造成了教师教得辛苦、学生学得吃力的不良现象，并且有悖于研训的主题，怎样才能在自然生成运算法则立意的主旨下，让学生学得轻松，教师教得放心，实现教与学的和谐发展呢？笔者在经过教研组反复研讨的指导下并经历再次磨课的基础上对于该课进行了重建，课后受到听课师生的一致好评，大家普遍认为教学过程较好地诠释了运算法则的自然生成的教学理念.下面将本节课的教学过程整理成文，并进行教学反思，以期与同仁共享.

教学过程

1.以退为进，追本因式分解的自然生成

师：我们用尝试检验法认识了一元二次方程的解，今天我们沿着这条主線探索一元二次方程新的解法.

问题1：填表（表1）.判断下列x的取值是否是方程x（x-3）=0的解，并说明理由

生1：我们认为，x=0，x=3是方程的解，根据表格数据可知，由方程根的检验方式，当x=0时，代入方程：左边=0（0-3）=0，右边=0，因为左边=右边，所以x=0是方程的解.（x=3同理，过程略）师：说得很好，你结合填表的结果用尝试检验法获得方程的解那么每次都用尝试检验法生成相应的一元二次方程的解的过程简便吗？

生2：不简便.

师：是的，数学是一个从烦琐运算中寻求简便，生成智慧的学科.你从尝试检验求解的过程中有何发现？你是否有寻找求解的简便方法呢？（提示：左边的运算结果的变化趋势与方程的解的联系是怎样的？）

生3：当左边的结果趋于零的时候对应的x的值就是方程的解.

生4：当等号左边的取值从正数变到负数的时候（或者从负数变到正数的时候）就是方程的解.

师：你们观察得很正确，说明当元二次方程左边是乘积形式，右边为零时，用尝试检验法的方式确定方程的解，其实就是当等式右边为零，左边取值出现了正负数转折的地方.这也是方程解的“延生地”.当一元二次方程不是般形式，这种寻觅解的特征还适合吗？譬如方程x（x-3）=4适合吗？

生5：不适合，因为在实数范围内乘积等于4的情形很多

师：这说明在实数范围内只有乘积为零的结构取值是明确的.不过你们无形中开发出了一个快速获得一元二次方程解的特征：左边是乘积形式，右边是零的结构.如果用A，B描述这个特征，我们称其为AB=0型”那么“AB=-0

“型”的形式与获得解的关系是怎样的？确定方程的解的依据是什么呢？设计意图通过尝试检验法的基础上寻觅因式分解法的“诞生地”.旨在强调因式分解法并不是无源之水，不是“天上掉下来个林妹妹”.其次，为什么要强调书写的是一元二次方程的一般形式？这样的限制是学生理解一般书写时思考的“切入点”，如x（x-3）=4，倘若我们缩小解的取值范围一求方程的整数解，当右边不是零的时候将4进行分解后探索方程的解也不失为一个良策.将4进行分解时，方程左边对应的乘积形式本身也是学生寻找解的特征的自然方式.强调一般形式的书写特征，是因为我们的方程求解范国是实数，这样书写上的“苛刻”的要求只有在学生“碰壁”才会领悟.教师告知不如学生探知，教师反复提醒不如学生自我反省.因式分解的溯源过程是揭示因式分解法诞生的自然性：一是因式分解法解方程的生成是为了代替尝试检验由繁到简的过程;二是因式分解强调右边是零、左边是乘积的运算书写是因为在确定AB=0时实数范围内确定解的客观需要.

2.合作学习，溯源教材导入材料的意义

师：看来，我们今天解决了“AB=0型”方程的解，那么AB=0这样的形式在确定解的结构有何特点呢？带着思考，我们解决下列问题.

问题2：若AB=0，下面的两个结论正确吗？

（1）A和B都为0，即A=0且B=0;（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0

生6：我们认为第二个结论是正确的.

师：这说明AB=0时，应为A=0或B

0这也是我们接下来寻找从AB=0到A

0或B=0确定的依据和格式，AB=0的下一步是A=0或B=0，中间的联结词一定是“或”.那么从AB=0的模型中，你能描述方程x（x-3）=0的求解过程吗？

生7：x相当于A，x-3相当于B，其实就是=0或x-3=0.

师：你们都是这样思考的吗？

众生：是的.

师：下面我们从这个变化过程中总结一下，“AB=0型”的一元二次方程与其一般形式在结构上的关系.

（1）AB==/A0，一元二次方程っ

B=0

一元一次方程，如x（x-3）=0→

一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），特殊形式：（mx+n）（Px+g）=0→mx+n=0或px+AB=0=A=m+n，B=px+q：ax+bx+c=0=（m+n）（px+9）=0：x-3=0=x（a3）=0

（2）借助AB=0，得到A=0或B=0的

模型过程，实现了借助因式分解将一元二次方程的求解过程转化成一元一次方程的求解过程.

（3）因式分解是将一元二次方程化成“AB=0型”的重要渠道.

设计意图因式分解法解一元二次方程，它的出现的意义是为了便于形成AB=0的模型，它带来的降幂以及转化的数学思想，这都是蕴含在方程形式变化中的内涵，这些抽象的内涵都是在学生不断的视觉刺激中、从书写外观上的自我比较中、感受和体会的过程中，自然地生成.容不得教师直接去告知和代替.

3.模型主导，架设因式分解到解方程的桥梁

师：我们今天获得的解的特征是方程AB=0的形式，AB=0又是一元二次方程在一般式的情形下因式分解形成的.

那么我们学过的因式分解法有哪些类型呢？以及考虑它们在使用时的顺序是怎样的？举例说明.（允许研讨、合作交流

生8：因式分解有：提取公因式法，如x2-x=c（x-1）;公式法一平方差公式，如2-1=（x-1）（x+1），完全平方公式如x士2x+1=（x士1）2等.它们在使用中的顺序是先提取公因式法，然后是平方差公式法或完全平方公式法.

师：对的，通过举例，你们描述了因式分解常用的方法及使用顺序，下面请大家选择恰当的因式分解法进行变形：（1）x2-3x;（2）25x2-16;（3）（3x-4）2-4x-3）2;（4）x-2V2x+2.

生9：我们认为第一个用提取公因式法：x2-3x=x（x-3）

第二個用平方差公式法：25x2-16=（5x）2-（4）=（5x-4）（5x+4）

第三个用整体思想和平方差公式法：（3x-4）2-（4x-3）2=[（3x-4）-（4.x-3）]·（3x-4）+（4x-3）];

第四个用完全平方公式法：x22V2

师：好的，说明你们已经从变化的外观上发现因式分解的本质特征，下面我们把因式分解的特征总结一下（见图1）设计意图本节课的重点是落实如何用因式分解实现AB=0的变形.由于因式分解是七年级下册学习的内容，相隔时间较长，本节的重点就是寻找形成AB=0的特殊变形.

因此，这就需要教师帮助学生将因式分解久远的、碎片化的知识进行整合，帮助学生深挖细究因式分解的模型，为透彻理解因式分解形成“AB=0型”后求解埋下伏笔

4.变式拓展，领略因式分解求解方程的魅力

师：下面我们看看在方程中能否找到用因式分解变形成AB=0的形式.解下列方程：（1）x2-3x=0;（2）25x2=16：（3）（x-5）（3x-2）=10;（4）（3x-34）2=（4x-3）2;（5）x2=2V2x-2

设计意图教材将因式分解解方程分为三个例题，分别代表了因式分解在一元ニ次方程的常用的基本结构与基本特征.第一个x2-3x=0是一般形式，提取公因式法就可以解决，低起点，易操作.第二个25x2=16将因式分解的变形的思维提高了一个高度，通过移项，再考虑平方差公式法因式分解，启示学生化成一般式书写的必要性.第三个和第四个都属于含有括号类型的，需要先确认括号的处理方式，増加了因式分解的梯度：第三个存在方法易错点，学生会出现（x-5）=2或（3x-2）=5的错解等;第四个既可以将括号看作一个整体，转化成平方差的形式进行因式分解来解方程.第五个的难度在于如何形成完全平方式，再加上系数是无理数，将2变形成（V2）2需要逆向思维，教材的编写如果将这些题目分为三段式讲解，先例1，再例2，然后再例3势必会造成学习的疲劳.将三个例题放在一起，变成学生去寻找因式分解特征的“大会餐”

5.反例剖析，提升方程求解的深度思考

解方程：7x2=21x

师：小明的解法如下，他的解法对吗？如果不对，请说明理由，并修改解：两边同时约去x，得7x=21，所以设计意图通过纠错，落实正反两个层面化成AB=0的意义，纠错能帮助学生在“做中学”落实因式分解的规范性，能帮助学生学会自我反省，自主进行知识的梳理，形成解题经验的积累

6.概括归纳，自然生成解方程的理论

师：下面我们一起归纳一下利用因式分解法求解一元二次方程的解题步骤：

（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零（化成一般形式）

（2）将方程的左边因式分解（在整式范围内因式分解）;

（3）根据若AB=-0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元次方程（降幂化归方程）;

（4）口诀：右化零，左分解，两因式各求解.

设计意图通过解题后的总结、概括，帮助学生形成对于本节内容的重点和难点的知识点梳理，促进学生从解题中学会总结，学会归納，形成自然的知识网络.

7.拓展训练，强化学生深刻思考的意识

用因式分解法解下列方程，并指出对应的因式分解方法：（1）4x2=12x;（2）9x2=（x-1）2;（3）（x-2）（2x-3）=4;（4）（x+2）2=2x+4：（5）x2-2V3x=-3.

设计意图教材提供的素材往往是结果性的内容.为何具备这样的素材？这样的素材怎样与学生的“最近发展区”实现无缝焊接？我们应具备换位思考，把自己作为“学生”融入教材导入素材的揣摩中，在精选的强化练习中，现固对于解方程原理的理解，从而帮助学生“精做题，做精题”，达到做一题、通片的高效.

8.课堂归纳，形成解方程的拓展思考

问题清单：

（1）你认为因式分解解一元二次方程的过程是怎样的？

（2）你认为其中的数学思想方法是什么？

（3）你认为还可以继续研究哪些关于一元二次方程解法的内容？

（4）你在学习中有哪些困惑和收获？

设计意图通过以问题清单的形式让学生对于课题的学习过程进行教学重点的回顾反思，旨在帮助学生思维上形成思考的收尾和新知识上的延伸，促进学生在求解运算中实现基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验（简称“四基”）的归納和概括，増强学生数学学习活动的针对性，学什么？怎么学？为什么学？促进学生从机械性做题到智慧性做题的蜕变

教学反思

1.坚持正确的自然观引领，需要站在知识系统的高度思考美国著名数学教育家波利亚指出：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但是不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过道题，就像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”这就是说，教师始终要把贯彻“以学为中心”的四个维度作为开展方程求解教学的“切入点”第一个维度学生已经到了哪里？例如，本节课学生是在学习了一元二次方程及其解的概念的基础上，从尝试检验法求解到因式分解法求解的过程.本节课的学习也是学生从盲目性尝试求解到针对性特殊求解的学习过程.第二个维度是学生应该到哪里去？本节课的课题是因式分解法解一元二次方程.其实质是希望学生在一元二次方程的一般式中寻找特殊解法，它也是为后续寻找元二次方程的通解通法做铺垫.第三个维度是教师怎样帮助学生到达哪里去《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调学生是学习的主体，教师是学生学习的引导者与合作者.就本节课来说，教师帮助学生在方程环境中甄别关于x的因式分解特征，从而引导学生快速将方程形成AB=0的形式，梳理形成因式分解的结构就是教师急需花力气的事情.所以本节课教师要做的更多的是帮助学生如何正确识别和使用因式分解法，而不是大量反复机械地操练、第四个维度是如何检测学生有没有到达那里？这需要教师精心设计问题素材，包括教材编写素材的整合，因地制宜地由浅入深，针对性地做题训练.这就需要教师透彻理解教材的编写意图，仔细揣摩教材中每个例题（包括习题）的编写用意和蕴含的数学价值，为因式分解法在解方程中的自然生成做好铺垫.

2.坚持正确的自然观引领，需要注重过程与四基落实

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）中指出，数学课程的内容应关注过程与结果的关系这就是说，教学过程本身也应该是教学内容的重要组成部分.譬如本节课学生不仅会正确运用因式分解法解“AB=0型”的一元二次方程，而且能够理解为什么会运用因式分解法去解，以及怎样オ能选用合适的因式分解法在方程中进行因式分解.这些都是应该给学生明确的体验过程.除此之外，在新课标中的教学目标中提到学生在义务教育阶段的教学目标应该落实学生学习基础知识、基本技能、基本方法与基本数学活动经验.这就是说，落实到本节课的教学，不能只停留在让学生会做几道题，会按照因式分解法解几个方程的知识与技能上;还需要教师做好引导者，帮助学生体会蕴含在解方程的过程中的化归思想，不能将课堂满堂灌变成满堂做，学生在“做中学”'实现“精练悟”，在教师的引领下通过交流合作实现经验的导富济贫”

3.坚持正确的自然观引领，需要注重为学生长远发展谋利

新课标中指出，学生要有充分的时间与空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程.这就是说方程的解法教学中还有更重要的东西，解法的形成过程的经历以及蕴含在解法形成过程中的数学思想方法和解题经验的获得.例如，多数教师在本节课导入开头语是“我们今天学习因式分解法解一元次方程，下面请看因式分解法解一元次方程的概念……”.其实这样的“開门见山”的导入方式，本质是缺乏课题学习必要性的揭示过程，它直接抹杀了学生认识课题学习意义的知情权，忽视了揭示课题编写意图及学习意义的自然性.在这样没有深刻理解课题的“数学味”的情形下，学生对于学习的内容也是困惑不已，学习的效果就如同囫囵吞枣，糊里糊涂.正如，很多学生在课下抱怨，上课都能听懂，但是下课遇到题目就不会做了.究其原因，是教师没有让学生充分经历认识方程的解法的发生、发展过程，而是重点在解法的反复训练上.当题目变化，学生就会陷入束手无策的境遇.又如，本节课的重点是认识因式分解法求解“AB=0型”的方程.

由于因式分解的类型颇多，教材编写分为三个例题和三个层次，在第一个例题中包含两个题型，分别是提取公因式和平方差;第二个例题是括号题型，分别是去括号以及将括号看作整体两个类别;第三个例题是系数为无理数的完全平方公式题型.很多教师的方式是采用推磨式讲一道例题，强化一种模型.这种方式其实都是教师的思维辨析过程，对于学生来说，难度是在众说纷纭的方程中辨析出因式分解模型特征，并灵活自如地进行因式分解，从而将一元二次方程转化成“AB=0型”的特征，最终实现求解.所以教学的中心应该放在重温因式分解，并且在方程的环境中结合等式的性质提炼出因式分解的特征.所以通过代表性的因式分解为学生在后续的例题中发现、辨析因式分解才是王道，通过因式分解回顾由代数式到方程，实现学生由现象看本质的数学活动，正如“授人以鱼，不如授之以渔”.教师对思考的过程都包办，表面上是好事，提高了上课的节奏，其实对于培养学生的深度思维，这种做法是越俎代庖，学生变成不会思考，只会盲目刷题、机械做题的“书果子”，一旦题型变了就变得束手无策.

总之，我们在自然观的引领中实现运算教学不能盲目陷入题海战术，不能盲从于刷题来实现学生“核心素养”的落实，在今天我们呼吁减负高效的课堂，更应该关注课堂学习内容的自然生成，在运算法则自然形成的主线下，首先教学精细化、透彻化，在课堂中让学生学得轻松、学得明白，做一题通一片，自然学习的学习效率也会大大提升，高效课堂的梦想也会兑现