初中数学评讲课构建与实例分析

邱小伟 曾昌涛

[摘要]在充分分析学生试卷的基础上，高效的试卷评讲课可以从五个方面进行数学课型构建，从而提高数学试卷评讲课的教学效率，完成数学课堂教学目标，加深学生对数学概念的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力

[关键词]核心素养;课型构建;评讲课;试卷

作者简介：邱小伟（1991-），硕士研究生，从事初中数学教学工作;曾昌涛（1968-），本科学历，中学数学研究员，从事中学数学教学研究

数学试卷评讲是重要的数学教学环节之一，它是数学考试的延续，也是学生对所学知识进行错误纠正、归纳总结和査漏补缺的最佳方式.在充分分析学生答题情况的基础上，有针对性地备课，才能使试卷评讲高效.但在实际教学中，教师评讲数学试卷时仍然存在以下问题：一，在不批改试卷的情况下，凭借自己的工作经验直接评讲试题;不统计学生各题的得分率及典型错误，不根据实际的学情进行备课，而是按照自己理解的重点进行评讲;三，不分重难点全部讲解一遍，仅仅就题论题，得到一个正确答案即可，没有必要的反思和小结;四，只重视解题思路，不注重解题过程和规范的板书过程;五，课后学生不总结、不整理错题，没有再测试进行基础的夯实.在笔者看来，在充分分析试卷的基础上，高效的试卷评讲课可以从以下五个方面来着手.

以点带面，精选题材

新课改后的中考，基于教材，以考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度，命题则来源于多个知识的交汇处，以便学生更容易施展拳脚.因此，教师在评讲数学试卷时，应精选题材，将典型例题深度剖析、深人挖掘，实现题组串联，以达到“切入一点，带出一串，连成一片”的教学效果，即以点带面的教学效果.例如，在“七年级下数学定时训练10”中出现了以下五道试题.

第3题：要使式子V2-x有意义，则x的取值范围是（）

B.x-2

C.x≥2

D.x≤2

第7题：已知x-3+Vx+2y-7=0则（x+y）2的值为（）

A.4B.16C.25D.64

第13题：已知实数x，y满足y=

Vx2-16-V16-x2+2，则x-y=

第20题：已知a，b，c满足V8-a+a-8=c-17+b-30b+225.

（1）求a，b，c的值.

（2）以a，b，c为边能否构成三角形若能构成三角形，求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形，请说明理由第23题：已知y=

分析上述5道题都涉及算术平方根的“双重非负性”，其中第3题单纯利用“V”的非负性求x的取值范国;第7、13、20、23题则添加了其他知识点，换着花样结合“V”的“双重非负性”求未知数的值.因此，这5道题的本质就是考查学生对V”的理解.所以，试卷评讲时，可以选取第20题进行详细讲解，则其余4道题便可以迎刃而解了.第20题除了考查算术平方根的“双重非负性”而外，还考查了以下知识点：绝对值的非负性，构成三角形的三条线段应满足“较大两边之差小于最小边”或“较小两边之和大于最大边”，直角三角形的判定，三角形的周长、面积的求解.故将第20题讲解清楚了，能帮助学生理清很多数学知识点对于第20题，求解第（1）问时，可以以V8-a+Va-8=c-17기+b2-30b+225为突破口，即由算术平方根的“双重非

负性”V8-n≥0，。8-a≥0，

V-8=080农且

a≤8且a≥8，所以a=8.所以c-17기+（b5）=0.所以c=17，b=15.

抓住本原，归纳题型

抓住题目考查的实质，把握重点并进行引申和推广.几乎每套试卷中都有一些具有研究价值的典型试题，这些试题往往隐藏着一般的规律和解法，对于这类题，应将其归纳、提炼出来，成为典型题型.教师在评讲典型题型时，应引导学生进行条件的分析、变式的练习，以及结论的延伸，探索从一般到特殊的结论，从特殊到一般的规律，通过评讲和延伸做到解一题、带一串、通一类.例如，在“七年级下数学定时训练10”中，有以下三道与行程有关的试题第10题：（多选）在20km赛跑中甲、乙两名选手所行路程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图像如图1所示，根据图中提供的信息，下列说法中正确的有（）

A.两人相遇前，甲的速度小于乙

的速度

B.出发后1h，甲、乙的行程均为10km

C.出发后15h，甲的行程比乙多3km

D.甲比乙先到达终点

第25题：甲、乙两人在一条平直的马路上相向而行，乙开车从B地前往A地，甲骑摩托车从A地前往B地，他們分别以各自的速度匀速行驶.已知甲先出发6min后，乙オ出发，在整个过程中甲、乙两人之间的距离y（单位：km）与甲出发的时间x（单位：min）之间的关系如图2所示，则当乙开车到达终点A时甲騎车还需min才能到达终点B.

第27题：甲老师从家开汽车匀速行驶回学校给学生们布置作业（布置作业的时间可忽略不计），又以相同的速度赶往离学校30km远的篮球场和乙老师打球.在甲老师出发的同时，乙老师也从学校开汽车匀速向篮球场行驶，乙老师途中在永辉超市买篮球停留了5min，接着继续以相同的速度向篮球场行驶甲老师与乙老师两车离学校的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的图像如图3所示，根据图像回答下列问题

（1）乙老师的行驶速度为km/mina=

（2）当甲老师与乙老师初次相遇时，他们俩距篮球场多少千米？

（3）出发多久后，两车相距18km？

分析上述3道题均是一次函数图像题，分析出图像中各个拐点的意义是这类行程问题的突破口，接着理解每条线段上升或者下降的意义，其次画出线段图，建立方程求甲、乙的速度，得出甲、乙的速度后，基本上所有问题便可迎刃而解了.在评讲试卷时，可以简要分析第10题和第27题，重点评讲第25题对于第25题，由函数图像知甲先行驶1km用了6min，又甲是匀速行驶，所以可求得=-km/min.再由纵坐标可看出A，B两地相距16km，当t=16min时，甲、乙相遇.设乙的速度为（单位km/min），由题意得（16-6）+16p=16，解得z=km/min.甲从A地到B地一共要用16÷=96（min），乙从B地到A地一共要用16÷こ=12（min），所以当乙到达终点A时，甲还需要96-12-6=78（minl才能到达终点B

针对第25题，可以总结出此类题的般求解规律：①读懂题意，弄清各拐点的意义;②画出线段图，分析图像中各线段的意义;③根据图中拐点、特殊点建立关于速度、时间、路程的等式;④求出甲、乙的速度

击中要害，引导方法

初一学生的思维正处于形象思维到抽象思维的过渡期，他们分析问题的能力和空间想象能力都还处于较弱的阶段，在一些相似的概念、公式、图形的理解上显得有些吃力，有时会出现概念混淆、图形判断不准确的情况.在考试中，问题情境稍有变化，问题方式发生变化，学生就会由于思维定式而察觉不到，从而造成错误.基于此，教师可以发挥引导作用，将这些概念整理、归类罗列，引导学生从不同角度进行观察对比，感悟其中的差异，形成完善、系统的知识链，从而击中学生对模糊知识的理解，在方法上进行引导，进而提升学生解题的正确率.另外，数学中的计算题，学生平时自认为什么都能算对，思想随意性很强，不在意计算题的计算步骤，因此这类计算题的得分率往往不高，故教师在评讲这类错题时，一定要借机将所涉及的知识点进行归纳.

比如，在实数的运算中，一般涉及倒数、相反数、绝对值、算术平方根等知识，这些知识小而杂，教师应耐心引导学生将它们系统化、条理化.比如“七年级下数学定时训练10”中的以下试题.

第21题：若167-（2m-1）xy+4y2是一个完全平方式，m为常数，则m=

第22题：已知x2+4x-1=0，则的值为

分析第17题属于二次根式的运算，计算时，学生需要具备以下知识基础和能力：（1）充分理解最简二次根式的定义，即①被开方数开不尽，2“V”里面不含分数，③“V”不在分母，④最后的结果约分至最简;（2）灵活应用积和商的算术平方根，即Va=Va·Vb

（a≥0，b=0）

（a≥0，b>

0）;（3）知道去括号时什么情况下括号里的每一项都需要变号;（4）熟练运用单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等.第21题主要考查学生对完全平方式的理解很多同学看到“-（2m-1）xy”，就只想到“（x-y）2”这种完全平方差的展开形式，忘记了“（x+y）2”的形式也是可以的，从而导致错误.所以评讲时，教师需要强调和总结出“-（2m-1）xy=±24x2y””，从而求出m=或m=-

第22题主要考查学生对“x2+4x-1=0”信息的分析与提取，以及对“x4+x2+1的变形处理.由x+4x-1=0可得到以下结论：①）x≠0;2x+2;④x2=1-4x.评讲时，教师应引导学生理解这4个结论，从而得到x4+x2+1

旁征博引，突破难点对于难题的评讲，首先可以寻找一个能引起学生共鸣和感兴趣的话题作为切入点，然后采用阶梯设疑法，即设计有梯度的问题，由浅入深，由易到难，步步推进，从而解决问题.也可以用分解整合法，即，把一个问题从不同层次和不同角度分解成几个小问题来讲，然后加以概括、归纳，这样就可以降低难度，达到突破难点的效果，使学生更易于接受和理解.

例如“七年级下数学定时训练10”中的第28题：如图4，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从点A出发，沿A-B→C→D路线运动，运动到点D停止;点Q从点D出发，沿D→C→BA4运动，运动到点A停止.若P，Q两点同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，as时P，Q两点同时改变速度，点P的速度变为mcm/s，点Q的速度变为ncm/s.图5是点P出发xs后△APD的面积S1（单位cm2）与x（单位：s）的函数图像;图6是点Q出发xs后△AQD的面积S2（单位：cm2）与x（单位：s）的函数图像.1）求a，m，n，c的值;2）设P，Q两点出发xs后离开点A的路程为y1，y24（单位：cm），请写出y1，y2与x的函数关系式，并求出点P与点Q相遇时的x的值

分析对于第（1）问，分析图4可知点P，Q的运动方向和大致的运动情景由图5可知，当0≤x≤10时，S4P=PAAD，于是x（1xa）×6=24，解得a=8：又由点P在运动8s变速后以mcm/s运动2s后到达B点可得m12-1×8=2.再由图610-8知点Q从点D开始，经过C，B，最后运动到点、A共用了22s，前8s以2cm/s的速度运动，后14s以ncm/s的速度运动，于是2x8+（22-8）n=DC+CB+AB，解得n=1.又由（c-8）x2+1Xx8=12+6+12可解得c=19.

第（2）问主要涉及分类讨论和关系式的表示，初一的学生对分类讨论的情況很难把握，他们遇到稍微复杂一点的问题，就不知道如何去分类或者不知道分成多少类，这些都需要教师耐心地引导，慢慢培养他们分类讨论的能力.另外，学生对于用关系式来表示两个变量之间的关系同样困难.对于这两个难点

教师可以抓住P，Q变速前和变速后来进行分类讨论.下面将问题拆分，以达到降低难度的目的，并让学生逐一解决问题1：P，Q两点在第几秒开始变速？变速前P，Q两点行驶的路程与时间的关系如何表示？变速后P，Q两点行驶的路程与时间的关系又如何表示？问题2：当P，Q两点相遇时，P点的路程和Q点的路程有怎样的数量关系？

变式拓展，落实重点

进行数学试卷评讲时，教师不能就题论题，而应在讲清楚、讲透彻原题的基础上进行相应的变式拓展，以起到举反三的作用，让学生真正掌握这个知识点.变式题的设计应当和原题具有密切性、针对性、有效性，而不是单纯地变题，应该从不同角度、不同层次对原题进行挖掘，使变式题起到拓展延伸的作用，从而落实重点

例如“七年级下数学定时训练10”中的第25题（见前述内容及图2），可设置如下变式题：

变式1条件不变，当甲到达终点B时，乙已经到达A地m变式2条件不变，当乙到达A地后返回追上甲时，乙还要行驶min才能到达B地.

总之，试卷评讲课应该充分发挥学生学习的主体性，提高课堂教学效率，使课堂教学成为学生自主思考、自主评析、自主发展的愉快场所.教师可以从“以点带面，精选题材”“抓住本原，归纳题型”“击中要害，引导方法”“旁征博引，突破难点”“变式拓展，落实重点”这五个方面进行课堂教学，从而提高数学试卷评讲课的教学效率，完成数学课堂教学目标，加深学生对数学概念的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力