添圆搭梯解难题

傅华英，何训光

摘  要：辅助线的添加方法有很多种，而通过添加圆作为辅助线的方法解题是一种新的尝试. 文章介绍的各种添加圆作为辅助线的类型，拓展了辅助线的作法种类，探索出了构建图形的新方法，优化了解题过程，丰富了解题策略和解题方法.

关键词：辅助圆搭梯;画图策略;优化过程;解答难题

圆中的很多性质是其他图形没有的. 例如，在同圆或等圆中，圆周上所有点到圆心的距离都相等;直径所对的圆周角是直角;直径是圆中最长的弦等. 利用圆的这些特殊性质解答一些难题往往能化繁为简、化难为易，进而达到事半功倍的良好效果.

现在利用添加圆作为辅助线（以下统称“辅助圆”）的方法解答中考试题，特别是中考压轴题的情况越来越多，是全国各地区中考命题的一个新方向. 但这一方法却难以在各类专业书籍或杂志中看到，下面笔者利用添加辅助圆来给难题搭梯的方法解答几道难题，以实例来说明辅助圆的添法类型、具体作法，以及在解题中的应用技巧和发挥的作用，希望能够帮助师生掌握利用添加辅助圆解题的方法，形成一种基本的、新型的数学思想方法和解题经验.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系. 而且，课程总目标把基本活动经验作为了数学课程的四大基础能力，即提出了“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”. 这就告诉我们，解题虽然不能生搬模式和硬记套路，但必要的经验必须要积累. 积累经验的过程就是积累知识和思想方法的过程，也是掌握方法技巧、形成综合能力的过程，经验多了不仅可以提升解决问题的能力，还可以提高动手实践能力和创新能力.

利用辅助圆可以解答的问题类型很丰富、范围很广泛. 下面笔者仅以三种常用类型为例说明辅助圆的作法和解题策略，以期帮助读者形成必要的基本解题经验和解决问题的能力，进而达到举一反三、触类旁通的目的.

一、作辅助圆解答有关定角或三角形问题

同弧或等弧所对的圆周角相等. 这是圆的一条重要性质. 也就是说，同一条弧或相等的弧所对的圆周角都是同一个值，即为定角. 利用这一性质解答有关“定角”的数学问题是非常方便的. 请读者先看下面的例题，并通过例题中辅助圆的作法和过程分析来体会题目的特点和辅助圆的作法.

例1  如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知[A0，2，] 动点P在[y=33x]的图象上运动（不与点O重合），连接AP，过点P作[PQ⊥AP，] 交x轴于点Q，连接AQ.

（1）求线段AP长度的取值范围.

（2）试问：在点P运动的过程中，[∠QAP]是否为定值？如果是，求出该值;如果不是，试说明理由.

（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.

此题为2019年中考四川攀枝花卷的几何压轴题，题型新颖，由动点P在[y=33x]的图象上运动，可求得直线OP与x轴的夹角[∠POQ]为30°. 对于第（1）小题，如图2，过点A作[AH⊥OP]于点H，则[AP≥AH，] 再由锐角三角函数可求得[AH=3，] 进而得到线段AP长度的取值范围为[AP≥3.]

对于第（2）小题，要求证的是[∠QAP]是否为定值. 首先想到的这是一个定角问题，因为圆上同一条弧或同一条弦（弦的同一侧）所对的圆周角相等，进而想到把定角问题转化到圆中来求解，因而就需要先作一个辅助圆，问题中涉及了Q，A，P三个字母，所以就先过Q，A，P三点作一个圆，再证明点O在该圆上，最后应用圆的性质就能快速解答.

因为点P是运动变化的，在不同的位置可能会出现不同的情况. 因此，可以按点P在直线OP（点P不与点O重合）上的不同位置分情况作出辅助圆进行解答.

当点P在线段OH的延长线上时，如图3，可得[∠PAQ=∠POQ=30°;] 当点P在线段OH上时，如图4，可得[∠POQ=150°，] 由此得到[∠PAQ=180°-∠POQ=][30°;] 当点P在线段HO的延长线上时，如图5，可得[∠PAQ=∠POQ=30°.]

对于第（3）小题，由等腰三角形的定义和方程思想，再利用通性、通法即可解答，在此不再赘述.

由以上分析可以看出，将定角与圆联系起来是解答此类问题一种较为理想的方法，因为添加了辅助圆，思考问题就有了方向，进而就能顺利求解. 请读者再欣赏一道更为特殊的定角问题，即定角为直角的问题，而定角为直角的试题在中考中出现的概率更大，相关试题更多，涉及范围更广泛.

例2  如图6，在平面直角坐标系中，[▱OABC]的顶点A的坐标为[3，0]，B，C在第一象限，且点C在直线[y=2x]上，过点B的双曲线[y=kx]交OC的延长线于点E，[OC=CE.] 抛物线[y=ax-m2+n]经过点A和点[D0，4]，点E在此抛物线的对称轴上.

（1）求反比例函数的解析式;

（2）若点M为抛物线上一动点，且位于直线AD的下方，求[△ADM]面积的最大值;

（3）将直线OC沿y轴正方向平移h个单位长度，得到直线[y=2x+h，] 点P为直线[y=2x+h]上一动点，点P在运动的过程中能使[△APD]成为直角三角形的位置恰好有兩个，求h的值.

此题是一道综合性很强的难题，用常规方法解答难度较大. 因为此题难度主要体现在第（3）小题上，本文只针对第（3）小题进行分析.

第（1）小题的答案为：[y=8x];第（2）小题的答案为：当点P的横坐标为[32]时，[△ADM]面积的最大值为[92.]

对于第（3）小题，因为题目要求的是“使△APD成为直角三角形的位置恰好有两个时，求h的值”，题目中有直角或直角三角形，就能够联想到直径，因为“直径所对的圆周角是直角”，而直角恰恰是特殊的定角，定角问题或三角形问题，可以采取添加辅助圆的方法来进行解答.

欲使△APD成为直角三角形，则AD可能是该直角三角形的斜边，也可能是该直角三角形的直角边. 若AD是该直角三角形斜边，那么点P就在以AD为直径的圆（点A，D除外）上，若AD是直角边，那么点P就在经过点A或点D且以AD为直径的圆的切线上. 所以，解答此题的关键就是作好輔助圆.

如图7，以AD为直径作⊙N，再过A，D两点分别作AD的垂线[l1]和[l2]，则两条直线恰好是⊙N的切线. 下面再根据CE与⊙N不同的位置关系进行分情况讨论.

① 当[0<h<4]时，即直线CE在线段OD（不含点O和点D）上平移到图7中[C1E1]的位置时，直线[y=2x+h]与[⊙N]有两个交点，与直线[l1]和[l2]各有一个交点，这4个点都可以分别与点A，D各构成一个直角三角形，即共有4个直角三角形，不符合题意.

② 当[h=4]时，直线CE经过点D，即直线平移到图7中[C2E2]的位置时，直线[y=2x+h]与⊙N有两个交点，其中一个为点D，与直线[l1]有一个交点，这3个点中除点D外的两个点都可以分别与点A，D各构成一个直角三角形，即共有2个直角三角形，符合题意.

③ 当直线[y=2x+h]与⊙N相切时，即直线CE平移到图7中[C3E3]的位置时，设切点为点G，直线[y=2x+h]与[l1]和[l2]各有一个交点，这两个交点和点G都能与点A，D各构成一个直角三角形，即共有3个直角三角形，不符合题意. 由此还可求得此时[h=55-22.]

④ 当直线[y=2x+h]与⊙N相离时，即直线CE平移到图7中[C4E4]的位置时，直线[y=2x+h]与[l1]和[l2]各有一个交点，这两个交点分别与点A，D各构成一个直角三角形，即共有2个直角三角形. 符合题意，此时[h>55-22.]

综合以上4种情况，得当[h=4]或[h>55-22]时，点P在运动的过程中能使△APD成为直角三角形的位置恰好有两个.

由以上两道例题可知，定角问题其实就是有一个角是定角的三角形问题，这类问题的辅助圆一般是作这个三角形的外接圆. 因此，遇到有关三角形问题的难题时，可以考虑添加辅助圆，即通过作这个三角形外接圆的方法来尝试解题.

二、作辅助圆解答有关定线段或定长问题

到定点的距离等于定长的点都在同一圆上. 依据这一性质对涉及定线段或定长问题的题目可以采取添加辅助圆的方法来求解.

例3  如图8，[△ABC]中，[CA=CB，∠ACB=α，] D为[△ABC]内一点，将[△CAD]绕点C按逆时针方向旋转角[α]得到[△CBE，] 点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上.

（1）填空：[∠CDE]的值为      （用含[α]的代数式表示）;

（2）如图9，若[α=60°，] 试补全图形，再过点C作[CF⊥AE]于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论;

（3）若[α=90°，AC=52，] 且点G满足[∠AGB=90°，][BG=6，] 直接写出点C到AG的距离.

此题为2019年中考湖北十堰卷的几何压轴题，第（1）小题较简单，略去解答和分析过程. 第（2）小题是求解第（3）小题的基础，这种类型的设问多应用于各类考试题中. 第（3）小题难度较大，下面仅对第（3）小题作出分析.

第（3）小题要求的是点C到AG的距离，而题目中并没有说明点G的具体位置，也没有在图上标注出来. 因此，先要确定好点G的位置，即先要找出点G，这样才能解有思路、求有方向. 所以，如何画图成了解答此题的难点，也就是解答此题的第一考虑要素.

如何才能确定点G的位置？由AC的长为[52]，可求得AB的长为10. 因为[∠AGB=90°]是一个定值，由此就能联想到点G在以AB为直径的圆上（点G不与点A，B重合）. 所以，先画一个以定线段AB为直径的圆，根据线段BG的长为6（定长），再以点B为圆心、6为半径作⊙B，如图10，这样两个圆的两个交点G和[G1]就是题中要求的点G的位置.

结合所作的两个辅助圆，如图10，连接AG，[AG1，] CG，[CG1，] 过点C作[CH⊥AG]于点H，作[CH1⊥AG1]于点[H1，] 运用勾股定理与方程思想就能求解. 此解法是较为简单的，而利用到定点的距离等于定长添加辅助圆是此解法的关键. 有了上面所作的辅助线，就容易求出线段CH和[CH1]的长，结果为：点[C]到[AG]的距离为1或7.

例4 （1）问题发现：如图11，在[△OAB]和[△OCD]中，[OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，] 连接AC，BD交于点M. 填空：①[ACBD]的值为      ;②[∠AMB]的度数为      ;

（2）类比探究：如图12，在[△OAB]和[△OCD]中，[∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，]连接AC交BD的延长线于点M. 试判断[ACBD]的值及[∠AMB]的度数，并说明理由;

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将[△OCD]绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若[OD=1，][OB=7，] 试直接写出当点C与点M重合时AC的长.

此题为2018年中考河南卷的几何压轴题，第（1）小题和第（2）小题较简单，分析与解答略，但由这两道小题的结论和（2）的条件可得[∠AMB=∠AOB=90°.] 此题要求的是AC的长，而点C是不确定的，因而找出点C就是解答此题的关键. 因为[Rt△AOB]是确定的，所以以定长AB为直径的圆就是确定的，这个圆也是[Rt△AOB]的外接圆，进而可知点M就是该外接圆上的点. 因为点O和OC的长是确定的，所以点C在以点O为圆心、OC长为半径的圆上. 又因为要求的是点C与点M重合时AC的长. 从而得到点C（或点M）就是所作的两个圆的交点. 为了方便读者看清楚辅助圆的作法，现将两种情况的图形分别画成如图13和图14所示. 由此可以求得AC的长为[23]或[33.]

由以上两道例题可以得到这样的解题经验：定线段问题往往可以以该线段为直径作辅助圆，定长问题大多是以该长度为半径、以两点中的那个定点为圆心作辅助圆.

上面的四道例题分别分析了定角与定长问题，其实，很多中考压轴题往往是两者的综合，如例2和例3，定线段往往是定角所对的边，无论从哪个角度出发，其所作的辅助圆都是一致的，只是作辅助圆的方法不同，我们要学会选择辅助圆的作法，作法的主要依据是要有利于后面的证明和求解.

三、作辅助圆解答有关取值范围或最值问题

直径是圆中最长的弦;圆外一定点到圆上所有点的距离中，定点与圆心间的距离加半径（减半径）为最大值（最小值）等. 利用圆的这些特性可以帮助我们解答一些求取值范围和最值的问题.

例5  如图15，已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的长度为[122]cm，M，N分别是线段AB，AC上的两个动点，连接MN，设MN的中点为O，以O为顶点，作[Rt△EOF，]且使[OE=12MN，] 两直角边分别交BC于点E，F.

（1）当[OE=OF]时，在点M，N的运动过程中，求[∠EAF]的度数;

（2）在点M，N的运动过程中，当线段[MN=42]cm时，是否存在一点M，使得[△AMN]的面积最大？若存在，求出此时线段BM的长;若不存在，试说明理由.

此题第（2）小题的难度较大，多数学生没有思路. 由图15可以看出，[∠EOF]在[∠EAF]的内部，而[∠EOF]为已知角，且为90°，有定角的条件可以作辅助圆来进行解答，再利用圆心角和圆周角的关系，就容易求出[∠EAF]为45°.

这里要说明的是，此题可以以[Rt△AMN]或[Rt△OEF]来作辅助圆，还可以以A，E，F三点作辅助圆. 总之，一道题也许有很多种作辅助圆的方法，但是无论如何作辅助圆，都必须说清作辅助圆的理由，否则就是无中生有的随意作辅助圆，而随意添加辅助圆的方法不利于后面的解答或证明. 例如，如图16，连接OA. 过A，M，N三点作圆，因为[∠BAC=90°]，O为MN的中点，则有[OA=OM=ON=][12MN，] 又因为[OE=][12MN]，[OE=][OF]，则有[OE=OA=][OF，] 即点E和点F都在经过A，M，N三点确定圆上. 这里是过A，M，N三点作的辅助圆，但后面的解答中用到了点E和点F，所以还必须证明这两点在同一圆上.

对于第（2）小题，因为MN的长为定值[42]cm，[∠MAN=90°]也是定值. 所以，无论点M和点N在规定的范围内如何运动，[Rt△MAN]斜边MN的长都是定值. 由此可以联想到由A，M，N三点确定的圆的直径是定值，并且经过定点A. 这样就将原来的直角三角形问题转化为圆的问题. 如图17，过A，M，N三点作圆，则MN的中点O为该圆的圆心. 因此，无论M，N两点如何运动，但该圆的半径都是定值，即点A到MN的距离的最大值为该圆的半径. 理由如下.

如图17，过点A作[AH⊥MN]于点H，则有[S△AMN=][12 · MN · AH=][22AH.] 因为点A是定点，所以当点M和点N移动到[AM=AN]时，即当点H与MN的中点O点重合时，也就是当点M和点N移动至图17中[MN]的位置时，[AH=AO]，[AH]取得最大值. 因为[AO=22.] 所以[AH=][AO=][22]. 所以[AM=2AO=4.] 易求得[AB=][12，] 所以[BM=AB-AM=8]，即BM的最大值为8 cm.

例5利用圆的直径（或半径）是圆中线段的最大值的特性，求出了BM的最大值，可见利用辅助圆解答一些有关最值问题的难题能起到化难为易、化繁为简的良好效果.

例6  如图18，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°，AC=3，][BC=4.] 求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上.

[小明的作法

1. 如图19，在边AC上取一点D，過点D作[DG∥AB]交BC于点G.

2. 以点D为圆心、DG长为半径画弧，交AB于点E.

3. 在EB上截取[EF=ED，] 连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形. ]

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形.

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……试继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.

此题为2019年中考江苏南京卷的几何压轴题，试题不难，但却是一种新题型，因而能做对的学生不多. 学生做错的原因主要是缺乏创新能力，或者说缺少作辅助圆的经验.

因为四边形DEFG能否构成菱形，其关键在于线段DG的长，其他线段的长都是以DG的长来确定，即DG的长一确定，其他三边的长也就确定了. 因此，就容易想到点G和点E都在以点D为圆心、DG长为半径的圆上，所以作辅助线圆就是解答此题的一个关键.

此题还是一类求解范围的综合题，求解范围类型题的关键是学会寻找特殊点的位置，虽然属于中考常考题型，但试题都有一定难度.

求范围的关键是要能先画出特殊情况的图形，即要求出这些点的最小值、最大值和特殊值. 此题中，DG或DE的最小值是DEFG能够组成的正方形，特殊值是当点E在点A时，或点F在点B时的情况. 所以，先要求出这三种情况下CD的值.

以点D为圆心、DG长为半径作[⊙O]，交边AB于点E，再在AB上截取[EF=DF，] 连接GF.

如图20，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x. 可求得[CD=35x]和[AD=54x]，再依据[AD+][CD=AC，] 即[35x+54x=3.] 从而求得CD的值为[3637.]

如图21，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为x. 可求得[CD=3-x.] 再依据[CDCA=DGAB，] 即 [3-x3=][x5.] 从而求得CD的值为[98.]

如图22，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为x. 可求得[CG=4-x，CD=34CG.] 再依据[CGCB=DGAB，] 即[4-x4=][x5.] 从而求得CD的值为[43.]

综上所述，当[0≤CD<3637]或[43<CD≤3]时，菱形的个数为0;当[CD=3637]或[98<CD≤43]时，菱形的个数为1;当[3637<CD≤98]时，菱形的个数为2.

例6的分析过程进一步说明求字母或代数式的取值范围问题的实质就是求图形变化过程中的特殊（包括最值）情况下的值的问题，即只要找到了各种特殊（包括取最值的）情况，并求出这些情况下的具体值，就可以成功解决求取值范围问题. 而添圆搭梯无疑是一种理想的选择，也是师生应该积累的基本解题经验.

通过添圆搭梯，解决了一些师生普遍反映的难题. 归纳以上各种情况，可以得到添圆搭梯的题型特点和解题经验：一是从题目条件出发，对于题目中有关定线段问题、定角问题、不共线三点或三角形问题、四边形或多边形问题，分别可以以线段为直径作辅助圆，可以作已知三角形的外接圆，还可以以四边形或多边形中的三点先作一个辅助圆，再证明其他各点在所作的圆周上，将相关问题转化为圓的问题，并利用圆的一些特殊性质来解答;二是从题目要解答的问题或结论出发，辅助圆对解答动态问题、存在性问题或求取值范围等问题有着非常有效的作用，可以帮助读者解答一些难以解答的问题. 因此，在今后的教学或对学生的指导过程中，遇到一时无法解答的、或不能用常规辅助线解决的问题时，可以尝试作辅助圆来解答，可能会有新的发现. 添圆搭梯解难题，我们应该仔细体会题型特点，掌握画图方法和解题要点，不断积累解题经验，进而达到拓展解题思维、创新解题方法的目的.

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