追本溯源悟思想 换位构形解最值

白绍强，刘金英

摘  要：几何最值问题涉及知识面广、综合性强，是中考热点问题. 因需要画出最短路径，也成为教学难点问题. 结合2021年天津市中考试题，探寻思考问题的起点，因思维展开的方向、路径不同，采取变换策略，构建不同的几何基本图形解决问题，总结问题解决的指导思想、解题思路和基本经验，认识几何直观的作用，并指出了教学实践中解决此问题行之有效的方法，供大家参考.

关键词：感悟思想;几何变换;构建图形;几何直观

几何最值问题是中考热点问题，经常出现在各地区中考试题的关键位置、压轴题位置. 此类试题不同于给定已知条件、给出图形题目的解决. 学生虽然可以想到涉及最短路径的有关知识，如“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等，但是利用几何变换把面临的新情境、新问题转化为基本的最短路径问题的方法和能力还不尽如人意. 有时题目即使给出了示意图，图中的点或线段也不是取得几何最值时的相应位置，还需要学生自己画图，找出最短路径，然后再进行相关计算与证明. 加之此类问题形式多样，涉及知识面广、难度较大，学生常常感到无从下手，找不到问题求解的切入点和突破口，成为数学教学的一个难点. 本文结合2021年天津市中考数学第25题第（3）小题的解析，展示思考过程，揭示解法的由来和依据，总结问题的解决策略，供大家参考.

一、呈现试题及一般求解过程

1. 试题呈现

题目  已知抛物线[y=ax2-2ax+c]（[a，c]为常数，[a≠0]）经过点[C0，-1，] 顶点为[D.]

（1）当[a=1]时，求该抛物线的顶点坐标;

（2）当[a>0]时，点[E0，1+a，] 若[DE=22DC，]求该抛物线的解析式;

（3）当[a<-1]时，点[F0，1-a，] 过点[C]作直线[l]平行于[x]轴，[Mm，0]是[x]轴上的动点，[Nm+3，-1]是直线[l]上的动点. 当[a]为何值时，[FM+DN]的最小值为[210，] 并求此时点[M，N]的坐标.

2. 试题原解

对于此题的第（3）小题，参考答案给出的解法如下.

解法1：由题意，可求得[c=-1，] 则进一步求得点D的坐标为[D1，-a-1.]

如图1，将点[D1，-a-1]向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得点[D-2，-a.]

作点[F]关于[x]轴的对称点[F，]

则点[F]的坐标为[0，a-1.]

当满足条件的點[M]落在线段[FD]上时，[FM+DN]最小，此时[FM+DN=FD=210.]

过点[D]作[DH⊥y]轴于点[H.]

在[Rt△FDH]中，[DH=2，FH=1-2a，]

所以[FD2=FH2+DH2=1-2a2+4.]

因为[FD2=40，]

所以[1-2a2+4=40.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

所以点[F]的坐标为[0，-72，] 点[D]的坐标为[-2， 52.]

可得直线[FD]的解析式为[y=-3x-72.]

当[y=0]时，解得[x=-76.]

所以[m=-76，m+3=116.]

所以点[M]的坐标为[-76，0，] 点[N]的坐标为[116，-1.]

二、追本溯源，探寻思考问题的起点

此题源于“造桥选址”问题. 如图2，[A]和[B]两地在一条河的两岸（直线a和直线b），现要在河上造一座桥[MN，] 桥造在何处可使得从[A]到[B]的路径[AMNB]最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）

如图3，设O为直线a上任意一点，连接AO，将线段AO沿着与直线a垂直的方向平移交直线b于点P，此时点[A]移动到点[A，] 连接[AB，] 设其与直线[b]的交点为点[N，] 过点N作直线a的垂线，交直线a于点M，则线段MN即为所求. 此时[AMNB]为最短路径，其路程等于[AM+MN+NB=AB+MN.]

此问题是利用平移的性质求三条线段和的最小值. 由于河宽[MN]是固定的，因此当[AM+NB]的和最小时，[AM+MN+NB]的和也就最小. 通过平移变换，将[AM]转化为相等线段[AN，] 改变了线段的位置，实现了“折”转“直”，把问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题.

上述中考试题的第（3）小题是对“造桥选址”问题的改编与创新，变“[MN]与河垂直”为“[MN]与两线斜交”，变“[A]和[B]两地在河的两岸”为“[F，D]两点在[x]轴同侧”，考查学生知识技能的迁移能力，引领师生认真研究和深入挖掘教材例题、习题的深层次价值，深刻领悟以知识内容为载体的数学思想内涵. 参考答案将点[D]向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得点[D，] 就是考虑到作同样的变换将点[N]移动到点[M，] 也就相当于平移线段[DN]得到[DM，] 把线段[FM]和线段[DN]“接”在一起. 接下来只要作出点[D，F]中任意一点关于[x]轴的对称点，就可化同侧为异侧，转化为能利用“两点之间，线段最短”解决的问题，图1之外的另一种具体转化过程如图4所示.

三、构建图形，凸显分析问题的路径

[1]. 依托轴对称变换，利用基本问题解决思路

如图5，牧马人从[A]地出发，到一条笔直的河边[l]饮马，然后到[B]地，牧马人到河边的什么地方饮马，可以使所走的路径最短？

如图6，作其中一个定点[B]关于直线[l]的对称点[B，] 连接[AB]与直线[l]交于点[C.] 则点[C]即为牧马人饮马的地点，[AC+CB]为最短路径，其路程等于线段[AB]的长.

此问题是利用轴对称的性质求两条线段和的最小值. 通过轴对称变换，将[CB]转化为相等线段[CB，] 化同侧为异侧，将两条线段首尾相连地“接”到一条线段上，根据“两点之间，线段最短”，问题得解.

对于上述中考试题的第（3）小题，由第（2）小题知，抛物线顶点[D]的坐标为[1，-a-1.] 由勾股定理（或两点间距离公式），可得[FM+DN=m2+1-a2+][m+22+a2，] 即[FM+DN=m-02+a-12+m+22+a-02.]此式子的几何意义可以理解为点[Pm，a]是直线[y=a][a<-1]上的一个动点，点[Pm，a]到两个定点[A0，1，][B-2，0]的距离之和，即[FM+DN=PA+PB.] 这样我们就发现此题与“牧马人饮马”问题一致，于是就可以套用解决这个问题的思想、方法得到如下解法2.

解法2：如图7，作点[A0，1]关于直线[y=a]的对称点[A0，-1+2a，] 当点[B，P，A]三点共线时，[PB+][PA]取得最小值，即线段[BA]的长.

所以[BA=4+2a-12=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

易知直线[BA]的解析式为[y=-3x-6.]

由[-52=-3m-6，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以点[M]的坐标为[-76，0，] 点[N]的坐标为[116，-1.]

[2]. 构造全等三角形，利用三角形三边关系

如图8，[A，B]是定点，[P]是动点，则点[P]运动到哪里时[PA+PB]的值最小？

如图9，当点[P]运动到线段[AB]上时，[PA+PB]的值最小. 这是因为当点[A]，[B]，[P]三点不共线时，由“三角形两边的和大于第三边”，可得[PA+PB>AB.] 当点[A，B，P]三点共线，且点[P]在线段[AB]上时，[PA+][PB]的值最小，等于线段[AB]的长.

由此，我们可以构建全等三角形，应用全等三角形的对应边相等这一性质，改变线段[DN]的位置，而不改变其长度，将其与[FM]“接”到一起，使问题转化为能借助三角形三边关系解决的几何最值问题. 得到解法3.

解法3：如图10，设直线[x=1]与直线[l]相交于点[P，] 构造[△NHF]≌[△DPN，] [NH]⊥[Ox，FH]⊥[NH.]

可得[Nm+2，1-2a.]

此时[FM+DN=FM+NF≥NM，] 当点[N，F，M]三点共线时，[FM+NF]取得最小值，即[NM]的长.

由[22+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[N，M]两点坐标，可得直线[NM]的解析式为[y=3x-3m.]

由[-3m=72，]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以点[M]的坐标为[-76，0，] 点[N]的坐标为[116，-1.]

解法4：如图11，取点[F3，a-2，] 作[FQ⊥l，] 构造[△FQN]≌[△FOM，] 则[FM+DN=FN+DN≥FD，]当点[F，N，D]三点共线时，[FN+DN]取得最小值，即[FD]的长. 有[22+1-2a2=210.] 下同解法3.

[3]. 借助平移變换，利用平行四边形对边相等

平行四边形具有丰富的性质，应用非常广泛. 平行四边形的对边平行且相等这一性质，从几何变换的角度看，相当于将一边进行平移.

将点[M]向下平移[1]个单位，向右平移[3]个单位后与点[N]重合， 将点[F]作同样的平移得到点[F3，-a，] 则[FF]平行且等于[MN，FMNF]为平行四边形，所以[FM=FN.] 这样就把[FM]“接”到了[DN]上，继而将问题转化为求线段[DN，FN]和的最小值. 由此产生解法5.

解法5：如图12，将点[F]向下平移[1]个单位，向右平移[3]个单位得到点[F3，-a，] 作点[D]关于直线[l]的对称点[D1，a-1.]

当点[F，N，D]三点共线时，[FN+ND]取得最小值，即[FD]的长.

由[3-12+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

把[Nm+3，-1]代入[FD]的解析式[y=3x-132，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以点[M]的坐标为[-76，0，] 点[N]的坐标为[116，-1.]

如图13，若作点[F]关于直线[l]的对称点[F，] 问题可同理解决.

平移、轴对称、旋转都是全等变换，变换前后的两个图形全等，只是改变了图形的位置. 我们可以选择不同的方式，也可以不拘泥于变换的先后顺序，可以把[FM]“接”到[DN]上，也可以把[DN]“接”到[FM]上，其问题实质是相同的. 下面的图14和图15分别给出了两种情形（解答过程略）.

4. 化归直角三角形，利用勾股定理

若直角三角形的两条直角边长分别为[a，b，] 斜边长为[c，] 那么[a2+b2=c2，] 则[c=a2+b2.]

对于直角坐标系中的斜线段，可以用勾股定理表示它的长. [FM]可以看作是分别以[-m，1-a]为直角边的直角三角形的斜边，而[DN]可以看作是分别以[m+2，-a]为直角边的直角三角形的斜边，由此可得[FM=][-m2+1-a2，DN=m+22+-a2.] 进而得到下述解法6.

解法6：因为[-m+m+2=2，] 所以考虑构造如图16所示的[Rt△PAT]和[Rt△QBT，] 其中[AB=2，] 点[T]在线段[AB]上，[AT=-m，BT=m+2.] 点[P，Q]在线段[AB]的两侧，[PA=1-a，BQ=-a.]

当[P，T，Q]三点共线时，[PT+TQ]取得最小值，即[PQ]的长.

由[PQ=PE2+EQ2，]

得[22+1-2a2=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[△PAT]∽[△QBT，]

得[ATTB=PAQB.]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以点[M]的坐标为[-76，0，] 点[N]的坐标为[116，-1.]

5. 启示后的再探索

对问题本质进行深入地理性思考，就会产生思想认识上的飞跃. 遵循全等变换的宗旨，以“变换线段的位置，构建基本几何图形”为问题解决的基本策略，我们思考旋转线段[DN，] 将其与线段[FM]首尾相连地“接”在一起，是否可以解决问题呢？如图17，点[E]为线段[FD]的中点，则点[E]的坐标为[E12，-a.] 将线段[DN]绕着点[E]旋转[180°]得到[FN，] 则可得点[N]的坐标为[N-m-2，1-2a.] 点[N]为点[N]关于[y]轴的对称点，则点[N]的坐标为[Nm+2，1-2a.] 因为[FM+DN=FM+NF≥NM，] 所以当[N，F，M]三点共线时，[FM+][NF]取得最小值，即[NM]的长. 于是有[m+2-m2+1-2a2=210，] 问题得解.

四、教学思考，归纳解决问题的方法

1. 理解问题本质，感悟数学思想

最短路径问题的相关知识学生学习得较零散，解决这方面问题的数学经验尚显不足. 在教学时，首先，教师要让学生具备解决最短路径问题的知识基础，回归基本原理、理解问题本质. 明确借助轴对称、平移、旋转等变换来研究问题，体会这些变换的“桥梁”作用，促使学生能通过变换手段化同为异、化曲为直，将实际情境问题转化为基本最短路径问题. 其次，要让学生理解为什么需要这样转化，怎样通过变换实现转化，确保学生能够通过推理证明所求路径最短，做到“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”，从而提高学生的推理能力，突出数学的理性思维.

例如，“造桥选址”问题中的最短路径是这样证明的：如图18，我们不妨在直线[b]上另外任意取一点[N，]过点[N]作[NM⊥a，] 垂足为点[M.] 连接[AM，] 以[AM，][MN]为邻边构造[▱AMNA，] 连接[AB，NB.] 在[△ANB]中，因为[AN+BN>AB，] 所以[AM+BN>AN+BN.] 所以[AM+MN+BN>AM+MN+BN，] 即[AM+MN+][BN]为[A]到[B]的最短路径.

2. 掌握基本策略，注重通性、通法

对于数学专项问题，要深化对知识本质的理解和认识，引导学生在学习过程中不断积累活动经验，进一步掌握解决问题的基本策略和基本方法，帮助学生提炼解决问题的基本规律，关注数学知识的内涵，尽可能从源头找方法、找依据，重视通性、通法，并通过变式训练，使学生掌握使用核心知识的基本技能，提升解决数学问题的水平. 例如，消元、化归的思想在解方程组的过程中具有指导作用，消元是基本策略，代入消元、加减消元只是不同的消元过程;又如，在“图形与几何”领域，有必要将一些常用的、简单的基础图形结论化、模式化、方法化，确保学生熟练基本图式的问题解决过程，反思提煉基本图形的思想方法，将基本图式运用到解决复杂图形中去，发挥基本图形的导航作用，为新问题的解决提供指导和帮助.

要解决上述中考试题的第（3）小题，将其转化为基本图形才是根本，正所谓万变不离其宗、殊途同归.

3. 用好几何直观，培育核心素养

一些数学内容具有“双重性”，我们可以从数与形两个方面去认识. 几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象，产生对数量关系的直接感知. 借助几何直观可以将复杂的数学问题变得简明、生动，有助于探索解决问题的思路. 直观是想象的基础，使得数学思考与逻辑推理成为有源之水、有本之木. 能够把相对抽象的对象“图形化”，由数到形，展开形象思维，形成几何直观能力，培育直观想象素养. 正所谓“数形结合百般好，隔离分家万事休”. 将抽象问题具体化、形象化，代数问题几何化. 教学时，教师要充分利用坐标系、函数、乘法公式、勾股定理等内容，教会学生从“数”与“形”两个角度认识数学，逐渐养成在数与形之间进行转化与化归的意识，借助数的精确来认识图形的细微之处、特殊之处，借助形的位置及性质来推理数量关系，把数量关系和直观图形结合起来，整体认识数学知识的内部结构，使学生认识到几何直观在数学学习过程中的作用，学会这种数学的思考方式和学习方式，促进学生更好地理解数学本质.

数学思想是数学教学的精髓，要让学生在学习结论的过程中获得数学思想，就要发挥基本几何图形的工具作用和导向作用，使学生在思想、方法、经验积累等方面得到培养. 求解几何最值问题，想要做到从附加条件的、复杂的、陌生的图形中分离或构建出基本图形，除了反思总结基本图形的解题思路、思想方法，更要牢牢把握转化与化归这一“制胜法宝”，一切解题策略的出发点均在于转化，化难为易、化新为旧、化繁为简. 在解题中，回到原始图形中去，才能体会到题目与基本图形思路相同、解法类似，实现多解归一. 丰富了解题经验，才能做到融会贯通、举一反三、迁移运用. 这无疑会对学生创新意识的发展、解决问题能力的提升和数学学科核心素养的培育具有十分重要的意义.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王建芬. 借助模型，破解中考几何最值问题[J]. 中国数学教育（初中版），2019（5）：53-57.