“问题 + 表格”化思维，破解教学关键问题

郑海山

摘  要：在知识教学与素养培养的过程中，需要核心问题作为载体嵌入其中，对学生的学习思维起到激发、指导和构建的作用. 表格化的教学处理可以让知识要素更加集中，呈现更加直观，更能显示知识之间的联系和区别，易于学生发现知识之间的关系. 利用“问题 + 表格”化思维设计落实知识与素养的教学过程，能有效破解教学中的关键性问题，增强学生学习数学的能力，切实提升教师素养和学生的思维水平与学习习惯.

关键词：问题 + 表格;数学思维;初中数学

在教学实践中，培养学生的思维能力是数学教学的主要任务，观察、比较、分析与综合、归纳等都是重要的思维活动，列表可以把被感知的问题从背景中分离出来，增强对比感，以问题为载体，对问题进一步进行分析与综合，找到问题的一般规律，对培养学生的思维能力有很大帮助. 基于表格的优势，教师通常在应用题、概率分析上应用“问题 + 表格”化思维较多，其实还有很多的地方是可以运用这种思维来破解教学的关键性问题，因为数学中存在很多要辨别或确定两者及两者以上之间异同点，以及它们之间的关系的知识体系. 几何教类比、代数教归纳，在教学活动中要帮助学生学会建构知识体系.

数学教学关键问题是指在数学课堂教学过程中，为发展学生的数学学科核心素养，实现教学目标而必须解决的、不可回避或逾越的最基本、最紧要的教学问题.“问题 + 表格”化思维是指在落实知识与素养的过程中，以表格的形式呈现，把问题作为载体嵌入到整个环节中，运用先行学习理论、建构主义等对某个片断进行过程性问题的设计，有目的地让学生自主获取知识，教师在此基础上进行科学合理地引导、解析和归纳，使数学知识更好地内化到学生自身的知识构建上，使知识的建立更科学、有效，使学生的数学能力水平得以发展.

一、“问题 + 表格”化思维，破解概念群表征混乱

描述性概念文本呈现的内容非常丰富和详实，但较为抽象，很容易变成填鸭式教学，不利于学生掌握核心学习能力. 从数到式的各类平方根表示及其之间的关系和结果的特征较为杂乱，需要理顺之间的来龙去脉，以帮助学生把相关知识合理安放在自己的知识体系中，这是教学关键问题. 在实践中，采取让学生阅读文本，以问题为核心、表格为载体，巧妙破解概念群的教学方式，不仅可以让学生深刻了解知识的构建，更有利于培养学生的类比与归纳能力，取得较好的教学效益.

案例1：平方根概念群设计.

浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册“3.1 平方根”的教学中，在完成平方根概念的教学后，要探究平方根的相关概念和表示方法，学生易出现把平方根、正平方根等符号弄混的现象. 同时，教材把算术平方根的内容安排在例题之后，不利于学生比较相似概念的定义和符号表示的异同点. 于是设计“问题 + 表格”化思维单如表1所示，以凸显各概念及表示法的特征，突破教学难点和易错点.

通过“可开方数—不可开方数—含字母的被开方式”的核心问题设计，逐层体现平方根、正平方根、负平方根、算术平方根的异同点，充分利用表格的层次性、有序性和对比性，强化各类表示法的特征，同时利用从特殊到一般的思维方式，引导学生对数a进行讨论，促使学生主动发现易错点，实现知识的有意义建构.

二、“问题 + 表格”化思维，破解发现过程无序

概念的引出与性质的发现是教学中的关键问题，采取类比教学是较为合适的教学方法，运用学过的知识方法去研究未知的知识体系，符合先行组织者理论，即运用迁移的方式进行学习. 但类比对象和问题设计若不够精确，势必会影响教学的效益. 采用“问题 + 表格”化思维的形式类比教学，不仅要考虑类比对象，还要考虑探究的指向，整体设计追求最佳的迁移方式，使之能践行先行组织者理论.

案例2：菱形相关知识的发现过程设计.

在教材八年级下册“5.2 菱形”的教学中，菱形概念的引出与性质的发现过程是教学的关键. 如表2，通过有序类比矩形概念和平行四边形性质的发现过程和研究方向，能不断强化研究四边形的一般视角和方法，减少因无序而产生的假思维，增强类比发现教学的效益.

上述设计中，概念教学采用水平迁移，运用处于同一抽象和概括水平的经验之间的相互影响，较好地实现了从矩形概念到菱形概念的学习. 在性质要素和内容的发现教学中，采用垂直迁移中的自下而上迁移，即下位的较低层次的经验影响上位的较高层次的经验的学习. 因此，设定的类比对象为平行四边形，运用平行四边形性质的研究方法探寻菱形的研究视角和性质的特殊性，从而让学生有可类比的对象与方法，自主建构知识水到渠成.

三、“问题 + 表格”化思维，破解定理教学的表象

定理表象是定理显现出来的外在形态，但定理不仅有这些部分，还有定理之间的关系和联系，定理之间的关系和联系要经过研究和类比才能够找出来，进而呈现出定理的内容和本质. 通过设计“问题 + 表格”化思维的形式能有意识地凸显定理之间的关系和联系，让学生经历定理的发生、发展过程，透过现象看本质.

案例3：分式法则的设计.

在教材七年级下册“5.1 分式”的教学中，在完成分式概念的教学后，通常以“分式[ba]分母中的字母a能取任何实数吗？为什么？分式[2x-3x+2]中的字母呢？”为探索问题，引導学生归纳并得出分式规则——分式中字母的取值不能使分母为0. 当分母的值为0时，分式就没有意义. 然后通过教材例1帮助学生掌握规则及相关解法. 笔者认为，上述过程不太适合全体学生发现分式规则，不利于学生发现分式的值为0的特征，对后续学习例1不能实现最大化的铺垫，也不利于知识内涵与外延的生成. 要解决以上教学关键问题，可以采用如表3所示的“问题 + 表格”的形式，让学生在自主学习中获得本环节的核心知识与素养.

采用“自主构建、逐步完善”的形式，让学生自主去发现分式的意义等知识内涵，问题指向明确、问题层次分明、问题开放适度，容易激发学生的数学学习兴趣，达成教学目标. 学生由[a=0]发现[2a]的值无意义，由[a=-2]发现[aa+2]的值无意义，推测当分式中分母的值为0时，分式没有意义. 由[a=0]发现[aa+2]的值为0，推测当分式中分子的值为[0，] 且分母不为0时，分式的值为0. 学生在倾听、质疑、推广的过程中得到同化和顺应，突破思维瓶颈. 继续设问：当分式有意义的条件下，分式的值是否随着分式中字母的取值变化而变化？从上表中是否能找到方程[aa+2=12]的解？引发数学思考，在有意义的教学过程中，逐渐渗透一一对应、方程等思想，逐步养成并突破思维的广度，使学生在整个过程中掌握恰当的数学学习方法.

四、“问题 + 表格”化思维，破解理解的片面性

列表法在分析实际应用题中的效果尤佳，具有简洁、集中、量与量之间关系明确的特点，是数学学习方法指导的有效载体. 设计优秀的“问题 + 表格”化思维单，有利于学生学会学习，以及发现、形成知识. 教师一般采用列方程解应用题的一般步骤分析题目中的数量关系和等量关系，学生则根据教师的启发、引导，解决相关问题. 但是在独自解决类似问题时，学生却往往不知如何入手，学困生更是如此，要如何破解？

案例4：破解应用题理解的设计.

教材八年级下册“2.3 一元二次方程的应用”中例1“某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆的盈利与每盆株数构成一定的关系. 每盆植入3株时，平均单株盈利3元;以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？”需要明确教学的关键问题是了解学生对文字应用题的提取方法，并抓住问题的实质. 此题的实质是其中含有两个关系，即整体的等量关系，以及数量与单株盈利之间的依存关系. 列表可以直观显现题中的数量关系，有助于探索隐藏的规律性关系. 为此，在明确学生认知结构和思维障碍的条件下设计表4.

从大处入手，以表格的形式让学生发现题目中显现的等量关系：数量 × 平均单株盈利 = 盈利，从而建立审题的一般方法并树立解题信心. 通过一组从特殊到一般化的表格数据，让学生发现并理解每盆增加株数与平均单株盈利之间的规律性关系，最终解决数量与平均单株盈利的表达式. 再通过改变规律性关系，再次探索数量和平均单株盈利的表达式，提高解题效率，形成通解、通法. 并增设直接设每盆植a株的问题，让学生按照上述方法继续探索数量与平均单株盈利的表达式，从而深入理解此类应用题的一般方法和规律，揭示了问题的本质，达到触类旁通的目的.

五、“问题 + 表格”化思维，破解知识升华的单一性

知识小结的方式方法多样，其目的是加强知识之间的联系，以体现所学知识的系统性，进而对所学知识起到承上启下的作用. 无论采取怎样的教学方法，都应该考虑知识之间的联系和区别，多角度思考新知的构成渠道，采用“问题 + 表格”化思维能点睛知识的联系与区别，再次触发学生揭开知识的庐山真面目.

案例5：知识小结整理的设计.

在教材八年级下册“5.2 菱形”的教学中，当完成菱形概念、性质定理和应用的教学后，需要对整个知识体系进行梳理. 教师往往采取纵向总结，即总结菱形相关的知识点、注意点和思想点，而忽略知识整理的横向总结，即菱形与矩形的异同点. 我们唯有把处于同一抽象和概括水平的经验之间的相互影响及时展示给学生，才能促进其对菱形和矩形知识更加深入的理解. 此时的教学关键问题是如何在短时间内有效展现出思辨的核心，让学生的思维直指知识的节点和联结处，为此设计表5.

把菱形和矩形的性质分不同视角的内容要素展示给学生，让学生建立构成性质的各个要素特征，通过对比及重新组合，形成矩形与菱形具有平行四边形的一切性质这一相同点，同时建立对不同点的初步印象. 问题（2）是帮助学生重新建立新的联系，菱形与矩形的特殊性在于定义决定了其边和角的特殊化，同时化归为等腰三角形和直角三角形的性质分别决定着菱形与矩形对角线的特殊性，即等腰三角形的三线合一与直角三角形斜边的中线性质，进一步阐述四边形问题可以化归为三角形问题得到解决，打通四边形与三角形之间知识的壁垒，建立新的联系. 问题（3）是进一步让学生从菱形和矩形的角度研究正方形，也可以思考從等腰直角三角形的角度解释存在正方形的可能性，不同的组合要素或有不同的结论，使思辨性教学走向更深层次.

用“问题 + 表格”化思维破解教学的关键问题，其目的是让教师在发展学生数学学科核心素养、实现教学目标上，更加关注教学中的关键问题，以“学”为中心，设计有利于学生数学发展的必备能力，实现数学学科核心素养的落地.

参考文献：

[1]任永播. 利用表格分析法解初中阶段方程类实际问题[J]. 课程教育研究（下旬刊），2016（8）：228-229.

[2]林燕莉. 例谈表格在初中数学教学中的应用[J]. 数学教学通讯（中旬），2016（8）：22-24.

[3]潘巧亮. 例谈初中数学图表信息问题解题策略分析[J]. 考试与评价，2017（8）：53.