发展几何直观能力 提升学生数学素养

林希光

【摘要】几何直观能力的培养能够提升学生的数学素养.在教学过程中，应注重运用几何直观进行教学，帮助学生认识数学知识的本质，学会运用几何直观来描述问题、分析问题和解决问题，并在这个过程中有意识地发展学生的几何直观能力，培养学生的数学思维.

【关键词】小学教学；几何直观；能力培养；数学素养

关于小学生数学素养的内涵，国内许多专家给出了不同的诠释.有的认为是指课程标准中提出的十大核心概念；有的认为它涵盖了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等几大素养；还有的则认为是学生的数学兴趣、数学思维、数学意识.无论哪种观点，都离不开思维、意识.我认为，小学生的数学素养，指的就是学生通过自身学习思考和参与实践活动获得数学知识的能力和品质，并能够运用数学的观点思考问题，通过数学的方式解决问题.具有数学素养的人，能够从数量关系的角度来观察世界，从空间位置的变化去认识世界，会主动将数学视同不可或缺的能力，作为传递信息的手段.

几何直观能力，包含空间想象力、直观洞察力，以及用图形语言来思考问题的能力（也就是我们平时所说的数形结合）.空间想象能力，指的是包含我们识图、画图、制作模型、观察物体等等；直观洞察力，是对事物更深层次的思考，包括观察、分析、对比、推理等等，反映了孩子的学习智慧；数形结合，则是一种数学思想，它能将复杂的问题简单化、抽象的概念具体化、隐藏的关系外显化，大大简化了读题、解题的过程，达到事半功倍的效果.这三者是一个由低到高逐渐发展的过程.几何直观能力的发展，能够促进孩子思维的发展，提升孩子们的数学素养.

借助几何直观开展教学过程，是一个有效的手段.因此，我们在教学中应重视学生几何直观能力的培养，帮助孩子们更清晰地理解数学知识的本质，养成用几何直观思考问题的思维习惯.

一、用图形了解图形

这里所说的“以形助形”，也就是让学生通过观察、体会静态或动态图形间的区别与联系，建立表象，揭示图形间的变化规律及其本质特征.

在执教“周长的认识”一课时，我设计了这样一道练习：喜羊羊和灰太狼进行跑步比赛，它们要在这样的跑道上进行比赛（如图）.

同学们，你们觉得公平吗？

孩子们乍一听愣了！部分孩子们马上提出左图的周长长，右图的周长短；另外一部分孩子们觉得应该是一样长的，却无法解释为什么是这样.

接下来，我把右图中的两条线段进行了平移，孩子们马上就发现这其实是形状不同而周长相同的两幅图形啊！通过这样的动态演示，进而巩固了孩子们关于周长概念的理解，同时让孩子们了解到形状不同，周长也可能相同，对“周长相等”的外延有了新的认识.

接着，让孩子们继续判断，如果改成这样的两个跑道？还公平吗？（如图）

这两个图形通过平移的方式不能得到结果，怎么办呢？请方格纸来帮忙！有了方格纸，孩子们可以一目了然地数出两幅图形的周长分别是12段和14段.方格纸是一种由许多小正方形组成的图形，也是非常常见的学习工具.用方格纸帮助孩子们再次加深了对“周长是封闭图形一周的长度”这句话的理解，补充了孩子们对周长的表象建构，也让孩子们体会到不规则图形的周长计算，可以用方格纸来进行度量.

像这样，用方格纸、用动态图来帮助孩子们理解图形、发现图形间的联系、巩固几何概念的本质，不仅拓宽了孩子们解决问题的思路，还增强了孩子们使用数学工具的意识.

二、用图形诠释数据

最典型的例子就是数轴.数轴，既是一种几何图形，又是一种非常常用的数学工具.在数轴上，每一个数都能找到其相对应的点.这一特点，可以帮助我们进行数的认识、计算、解决问题、找规律等知识的教学.

例如，负数的大小比较及运算时，孩子们比较容易出现错误，让孩子们记住“-”后面的数越大，它的值反而越小，这样的结论比较抽象.

因此，为了让孩子们更直观地判断负数之间、负数与正数之间地大小，引入了数轴的概念（如图）.在比较-2与-4的大小时，只要把它们都表示在数轴上后，观察-4的点在-2点的左边，根据数轴上“左边的数<右边的数”这一特点，很直观地发现-4﹤-2；在计算-2到+3之间相差多少时，我们可以通过数一数数轴上从-2所对应的点到3所对应的点之间共有5个单位长度，故它们之间相差5.

通过“几何直观”，就可以把数的大小比较问题转化成为寻找几何图形前后左右位置关系问题，把求数与数之间相差量的问题转化为图形中点与点之间相距的长度问题，原本抽象、乏味的数量问题一下子变得明朗、形象.当孩子们多次利用数轴来解决问题后，再遇到类似的问题，在头脑中能够自然而然地想到数轴来建立表象，这样就达到了我们利用几何直观来发展孩子们数学思维，发展数学意识的目的.

三、用图形表达关系

借助看得见、摸得着的东西帮助学生把复杂的数量关系明了化、清晰化，几何直观拓宽了我们解决问题的思路.在利用几何图形进行数量关系的描述、发现并解决未知问题上，线段图起到了功不可没的作用.

例如，“植树问题”：在100米的道路一边植树，每隔5米栽一棵，一共要摘几棵？为了方便研究，我们先考虑简单的情况——“在20米的道路两边植树”，要解决这个问题就要考虑到植树问题的所有情况，利用线段图，让孩子们经过讨论，描述出三种不同的图形语言：

对于四年级的孩子们来说，让它们单纯通过文字表述，想象出以上三种结论并不容易.但是，当我们把“道路”抽象成一条线段，把“树”抽象成线段上的点，“每隔5米栽一棵树”抽象成“每隔一个单位长度点一个点”，那么借助点与线的组合，我们就能直观地发现植树问题的三种情况中棵树与段数之间的关系，建立起数学模型，有了这样的模型，孩子们在解决植树问题时全面思考，思路清晰，大大提高了解决问题的效率.

又如：高年级孩子们做过这样的一道题目：“王叔叔要买一件上衣和一条裤子，一件上衣600元，一条裤子300元，商场促销活动，超出400元的部分打八折，王叔叔是分开买还是合着买更便宜，便宜多少钱？”结果发现百分之九十的孩子的方法是：

分着买：（600-400）×80%+400+300=860（元）；

合着买：（600+300-400）×80%+400=800（元）；

860-800=60（元）.

这种方法很好解读，是我们的一般化的思路.

然而一名同学给出了这样的算式300×（1-80%）=60（元），这又是什么意思呢？孩子自己也说得不是很清楚，其他孩子们更是听不明白.这时老师给出了线段图：

老师一给出线段图，孩子们立刻就明白了.哦，其实多出来的不就是300元的20%吗？试想，如果从小就有这种利用几何直观解决问题的意识，那么将来在面对解决比较复杂的问题时，孩子们就多了一个帮手，一种工具，通过它对发展自己的空间想象能力、数量关系的理解能力等也都是有好处的.

四、用图形帮助分析

几何直观，不仅仅是指图形直观，数学中的运算符号、箭头、方框等建构起的简约的符号直观，它同样能够帮助孩子们理解题意，分析问题.

例如，一年级的看图列式：

另外，在下图中的问题中，孩子

们通过画图，用点子图来代表人，并找到小丽在第10个，小宇在第15个，那么小丽和小宇之间有多少人？

通过数点子的个数就一目了然了.

当孩子们在面对较复杂的问题时，我们应鼓励孩子们通过画图的方法进行整理，梳理题目中的信息、条件和问题，使孩子们感受到画图能清楚地理解题意、分析题意，达到解决问题的目的.

有学者认为：“几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，它在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义.”

作为一线老师，我们应该充分利用几何直观向孩子们解释研究对象的性质和关系，使孩子们认识几何直观在数学学习中的意义和作用，学会用几何直观来思考和分析问题，拓展数学思维，增强数学意识，提升数学素养.