加权线段和的最值问题

施宇彬

【摘要】线段和的最值问题是全国各地中考的热门命题类型，其表现形式主要有两种，即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型问题以“将军饮马问题”为主，再辅以少量变式，也有少量的“费马点问题”.而“a+k·b”型问题主要有三类：“胡不归问题”、阿波罗尼斯圆問题、定边对定角问题.而本文中将重点介绍的是几何法中的“胡不归模型”.操作方法是通过旋转变换，转移线段的位置，从而有机地聚合线段，求得最值.

【关键词】加权线段;胡不归模型;转化思想

平面几何知识是初中阶段数学必考的重要内容之一，最值问题一直是中考命题的热、难点.而线段和的最值问题特别是加权线段和“a+k·b”型往往在压轴题中，与动点结合，综合性比较强，因此难度比较大，也是学生学习过程中较难突破的题型.本文主要通过对加权线段和“a+k·b”型问题构造“胡不归模型”求解，让学生能解一题通一类，真正做到举一反三，触类旁通.

一、问题产生

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），点B（2，0），点C（0，4），点D是线段OA上的一点，连接CD.

动点P从点A出发，沿着AD方向以2个单位/秒的速度运动至点D，然后再沿着DC方向以1个单位/秒的速度运动至点C后停止，求点P这个运动过程所用时间的最小值.

此问题来自2019年浙江省金华市初中毕业升学适应性训练卷，考生普遍对点P运动时间最小值的求解感到手足无措.求解最值问题，首先我们的第一思路一定是在七下时候所学习到的“将军饮马”模型，众所周知，在“将军饮马”类问题中，其实质是“a+b”型问题，各条线段前的系数都为1，通过“对称转移”方法，转化线段求得最值. 而此题中，点P沿AD方向、DC方向的速度并不相同，根据题意，运动时间表示为：12AD+CD.整体考虑，如果我们能在图中找到（或构造出）12AD这一线段，那问题就迎刃而解了.到底如何转换呢？在此，我们提出解决加权线段和最值问题非常著名的“胡不归模型”.

二、问题背景

从前，有个小伙子在外地做学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A→B（如图2），而忽视了走折线路径A→D→B虽路程多但速度快的实际情况.当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽气，小伙子失声痛哭，邻里劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？……”

这个古老的传说，引起人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线？这就是风靡千百年的“胡不归问题”.

三、模型构建

用数学语言表达就是：

如果当初这个小伙子懂得运用“胡不归模型”，选择了先沿着驿道快马加鞭走到D′位置，然后再直冲家门或许他还是有希望见到自己老父亲的最后一面的，这是多么凄美的故事啊！

四、模型应用

让我们回到点P运动时间最小值的求解中，根据题意，P在这个运动过程中所用时间表示为12AD+CD.再通过应用“胡不归模型”，我们发现sin30°=12.如图4，转化为求CD+DF的最小值（DF⊥AE），我们发现当C，D，F三点共线且DF⊥AE时为最小值（此时D在D′位置），故分析可得：12AD+CDmin=1cos∠OCD·OD+（OA-OC·tan∠OCD）·sin∠DAF=32+23.

问题的本质：“a+k·b”型问题利用三角函数sin α=k，通过旋转转移线段位置，根据“垂线段最短”将斜线段转化为垂线段求最值.

五、模型推广

如图5，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）.

点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+12FO的最小值.

分析：此题选自2018年重庆中考卷第26题，通过以上对“胡不归模型”的介绍与讲解，相信我们对此题的最值求解不再是难题.不同于前面例题介绍的，这里是求三段线段和的最小值，看起来难度好像更大.执果索因，我们发现，求PH+HF+12FO的最小值是在△PBE的面积最大的前提条件下，通过分析，我们可以知道此时点P的位置是唯一的，因此PH的长度是固定的、可求的.所以求PH+HF+12FO的最小值我们转换成求HF+12FO的最小值.再由sin30°=12，我们通过旋转线段30°角，就可以将系数的问题解决了.

解答过程如图6至图12.

问题小结：第（2）问考查双最值问题.前半部分根据面积最大值转换成求线段最大值，从而将P点化动为静;后半部分为三条线段和最小问题，其中一条线段的长度前面带有系数，建立“胡不归模型”，构造三角函数，再根据垂线段最短，利用思维导图方法，从而将问题得到完美解决.

六、模型演练

（2017年广州中考题） 如图13，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.△COD关于CD的对称图形为△CED.

（1）求证：四边形OCED是菱形.

（2）连接AE，若AB=6 cm，BC=5 cm.

① 求sin∠EAD的值.

② 若点P为线段AE上一动点（不与A重合），连接OP，一动点Q从A出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.

此题为2017年广州中考题，留给读者自行学习演练，体会“胡不归模型”的方法步骤：

本文旨在通过“胡不归模型”来解决学生不太擅长的“a+k·b”型线段的最值问题.著名数学家、莫斯科大学教授雅洁卡娅提出：解题就是把要解的题转化为已经解过的题.教师要让学生跳出题海，提升能力，提高素养，要注重问题的通性通法.教师在讲解题目时要抓住问题的本质，把题目思路理清楚，过程讲清楚，让学生解题有抓手，还要注重联系，把题目都串联起来，将方法进行提升，真正可以起到“做一题、会一类、通一片”的效果.本文的内容仅代表个人对此类数学问题的一些想法和实践，若有不当之处，敬请专家批评、指正，本人不甚感谢.

【参考文献】

[1]张洪彦.构造几何图形解题例说[J]. 中学数学教学， 1998（5）：44-45.