化归法在解数学题中的应用

【摘要】化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，它的应用相当广泛，但具体的化归方法是比较灵活的，沒有固定的模式，不易掌握. 在解数学题时如何应用化归呢？本文介绍了三种途径，其目的在于帮助学生掌握化归这种方法，从而提高学生的数学思维能力和解数学题的能力.

【关键词】化归法;函数模型;复数模型

在教学过程中，我们常常发现有些学生的解题方法带有很大的盲目性，虽然他们在解题时有时用到某种数学思维方法，但自己却全然不知，这就使他们陷入为做题而做题的泥潭之中，从而丧失了学习的主动性，也制约着他们思维能力的提高. 为此笔者介绍一种在数学思维中占有重要地位的方法——化归法. 所谓化归就是把新问题转化为已解决的问题.其实许多数学问题在解法上凝聚与蕴含着化归思想，那么在实际应用中我们如何进行化归，又向何处化归呢？主要有三条途径：向基本数学模型化归，一般向特殊化归，高层次向低层次化归.

1 向基本数学模型化归

我们知道，模型法是数学反映现实世界的基本方法. 对于一些数学模型，我们已经建立了模式化的解题方法，若能把新问题化归到已知的数学模型中，则解决问题的方法就能够知道了.这里以函数模型和复数模型为例进行说明.

1.1 化归到函数模型

用导数判断函数的性态，即函数的导数模型，这是很有应用价值的模型.

2 一般向特殊化归

特殊的问题常常是较简单和容易把握的，对于一般性问题，我们总希望通过一些手段化为特殊的，从而借助特殊问题的解法将一般性问题解决. 向特殊化归的手法很多，这里只以常见的变换法为例说明这类方法的基本思想.

2.1 借助正交变换化二次型为标准型

正交变换具有保持向量长度及夹角不变的性质，即具有保持几何形状不变的优点，能够把二次型化成标准型，符合解析几何的要求. 通过下例加以说明.

可见要判断二次曲面的类型，需要用直角坐标变换将方程的一般形式变成标准型，再通过坐标平移，即可得到二次曲面的标准方程.

2.3 变量置换法解微分方程

解微分方程的基本思路是先判别方程所属类型，然后根据方程所属类型采用相应的解法. 通常方程本身呈现的形式不是“标准型”，要想求解方程就应巧妙选取变量置换将“非标准型”微分方程化归为“标准型”微分方程.

变换就是改变形式，对于不同的数学对象，变换的形式和手法也是不同的，这里就不一一举例了.

3 高层次向低层次化归

事物的发展是从低层次到高层次，而我们解决问题时，常把高层次逐步化归到低层次，从复杂化归到简单，因为低层次或简单的问题相对而言更容易解决. 这里以解高阶微分方程为例说明这类方法的基本思想.

对于高阶方程没有一般解法，但对几类特殊的高阶方程，可采用适当的变量置换化归为低阶方程来求解.

从以上所述，可以看出化归这个思维方法应用范围很广，但具体的化归方法是比较灵活的，没有固定程式，对不同的问题要具体分析，我们只要平素多做练习，注意积累解题经验和技巧，“化归法”这一重要解题方法并不难掌握.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吕传汉.数学的学习方法[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]艾玲，沙萍等. 线性代数（第1版）[M].北京：机械工业出版社，2012.