在整体把握对应关系中发展学生空间观念

董文彬

摘    要    圆柱与圆锥是小学数学图形与几何领域认识的最后一组立体图形，在全面认识立体图形的本质特征中发展空间观念是整个单元教学的核心。针对圆柱与圆锥这一组含有曲面的、特殊的立体图形，可以着重从运动视角立体刻画图形关系、从多元角度全面认识图形特征、从图形测量整体把握对应关系三个方面探讨如何在立体图形不同维度的变形转换的认识中深入发展学生的空间观念。

关键词  圆柱与圆锥 本质特征 对应关系 整体把握 空间观念

圆柱与圆锥是小学阶段图形与几何领域认识的最后一组重要的立体图形。无疑，在认识立体图形的本质特征中发展学生空间观念是整个单元教学的重点。那么，圆柱与圆锥作为小学数学中一组含有曲面的特殊的立体图形，如何全方位、多角度、多层次地整体把握它们的本质特征，如何在不同维度的变形转换中寻找对应关系以发展学生的空间观念，进而更深刻地达成对这两种立体图形本质特征的再认识，是我们在单元备课视角下要着重思考的命题。

一、从运动视角立体刻画图形关系，发展空间观念

学生在小学阶段深入认识与研究立体图形一共有两次，一次是五年级下册学习“长方体和正方体”，一次是六年级上册学习“圆柱与圆锥”。但仔细研读北师大版教材，会发现一个十分有趣的现象：学生在开始认识长方体和正方体时是直接从实物抽象出概念直观图，再认识长方体、正方体面、棱、顶点的特征，而在认识圆柱与圆锥的特征时却是从面的旋转的角度开始认识的。

那么圆柱与圆锥的认识为什么要首先聚焦于面的旋转呢？这样的编排对学生认识圆柱与圆锥有什么好处呢？以往认识图形都是从静态的角度开始认识的，圆柱与圆锥的认识是从动态的角度认识图形，从静态到动态这样的认知过程能够帮助学生更加整体地认识图形之间的关联。一来通过点动成线、线动成面、面动成体的学习，可以帮助学生基于图形元素的视界立体感悟点、线、面、体之间的联系，从运动的视角整体把握图形之间的关系;二来通过长方形绕某一轴线旋转形成圆柱、直角三角形绕某一轴线旋转形成圆锥，让学生经历不同平面图形借助旋转运动形成几何体的过程，在观察、想象与操作中感悟几何体的形成过程，体会面与体之间的联系，更有助于深度刻画平面与立体图形之间的关系。在此基础上进一步深化对圆柱与圆锥各自的结构特征的认识，对学生来说这样的认知视角是不一样的，更有利于学生基于想象从关系的视角发展空间观念。

二、从多元角度全面认识图形特征，发展空间观念

对于认识图形来说，从静态到动态这两种视角缺一不可，圆柱与圆锥也是一样。认识圆柱与圆锥，必须要让学生经历从现实世界的实物到数学世界的概念直观图的抽象过程，然后从整体辨认到局部刻画进一步认识二者的结构特征。

基于圆柱与圆锥作为含有曲面的立体图形的特殊性，笔者认为要从整体上达到对圆柱与圆锥的深刻认识，需要从以下四个角度全面认识圆柱与圆锥的特征，在不同维度的图形转换中寻找对应关系，以此发展学生的空间观念。

1.面

要认识圆柱与圆锥的特征，首先要认识圆柱与圆锥的面。教学中，要让学生通过观察、触摸等方式来达成基本认识：圆柱的有三个面，有两个面是大小相同的圆，即底面，有一个面是曲面，即侧面;圆锥有两个面，有一个底面是圆，有一个侧面是曲面（如图1）。

除了从静态的角度认识二者的面之外，更重要的是从运动的视角再认识圆柱和圆锥的面。这里可分两种情况。一种是长方形绕长或宽所在的直线为轴旋转一周形成圆柱，直角三角形绕其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周形成圆锥（如图2）。教学中要启发学生想象与思考运动前后平面图形与立体图形的位置对应关系——这种情况下，长方形的一条边（宽）对应圆柱底面半径，半径绕着底面圆心旋转一周后划过的痕迹形成圆柱的两个圆形底面，另一条边（长）对应圆柱的高，高线绕轴旋转一周后划过的痕迹形成圆柱的侧面;直角三角形的一条直角边对应圆锥的底面半径，半径绕着底面圆心旋转一周后划过的痕迹形成圆锥的圆形底面，另一条直角边对应圆锥的高，斜边绕轴旋转一周划过的痕迹形成圆锥的侧面。另一种情况是长方形绕對边中点的连线所在直线为轴旋转半周即可形成圆柱，直角三角形绕顶点与斜边中点连线所在的直线为轴旋转半周即可形成圆锥（如图3）。教学中要再度启发学生想象与思考运动前后平面图形与立体图形的位置对应关系——长方形的一条边（宽）的一半对应圆柱的底面半径，另一条边（长）对应圆柱的高，这种情况下，图形只需旋转半周、相对应的线也只需旋转半周即可形成圆柱的底面和侧面。同样，直角三角形斜边的一半对应圆锥的底面半径，斜边上的高对应圆锥的高，图形只需旋转半周、相对应的线也只需旋转半周即可形成圆锥的底面和侧面。

经过上述从静态和动态两种视角去认识圆柱和圆锥的面的特征和形成过程，才能更深刻地认识圆柱和圆锥的面，也才能更深刻地认识圆柱和圆锥的形成过程和图形结构特征，更重要的是学生在线动成面、面动成体前后不同维度图形位置对应关系的想象与寻找中发展了空间观念。

2.视图

认识圆柱与圆锥的第二个角度是借助视图。教学中，要让学生借助于实物或者概念直观图展开数学想象，想象从不同视角所观察到的圆柱和圆锥的平面图形的形状，即从上面观察圆柱所看到的平面图形是与底面同样大小的圆，从垂直于侧面任意方向观察圆柱，所看到的平面图形都是一个以高和底面直径为长和宽的长方形（如图4）;从上面观察圆锥所看到的平面图形是与底面同样大小的圆，从垂直于侧面任意方向观察圆锥，所看到的平面图形是以底面直径为底、以圆锥的两条母线为腰的等腰三角形（如图5）。

3.截面

认识圆柱与圆锥的第三个角度是截面。教学中，引导学生沿着圆柱、圆锥各自不同的位置剪切，然后想象切出来的截面是什么样的平面图形。对于圆柱来说，可以沿平行于上下底面的方向切，切出来的截面是与底面同样大小的圆;也可以沿高的方向通过上下底面直径去切，截面是以高和底面直径为长和宽的长方形;还可以沿侧面（不垂直）斜着切，截面是大小不同的椭圆等等。对于圆锥来说，可以沿平行于下底面的方向切，切出来的截面是大小不同的圆;也可以沿高的方向通过顶点和底面直径去切，截面是以底面直径为底的等腰三角形;还可以沿侧面（不垂直）斜着切，截面是个不规则的曲边图形等等。

教学中，一定要让学生先思考可以沿着哪些方向或位置切，再想象截面具体是什么样子。想象遇到困难或者想象不出来的情况下，特别是沿侧面（不垂直）斜着切及其他稍复杂情况下截面的形状，可以借助橡皮泥、萝卜等制作成圆柱和圆锥进行实际操作，帮助学生进行空间想象或验证想象的结果，以更好地发展空间观念。

4.展开图

认识圆柱与圆锥的第四个角度是展开图。对于圆柱的展开图，两个底面的展开图就是两个同样大小的圆，关键是对侧面展开图的研究与认识。圆柱的侧面展开图在小学阶段一般有两种方式，一种是沿着圆柱高线剪开，展开图是长方形;另一种是沿着圆柱的侧面斜向剪开，展开图是平行四边形（如图8）。对于圆锥的展开图（如图9），让学生简单了解即可，不作探究要求，特别对于圆锥的侧面展开图是扇形在小学阶段虽然不作具体要求，但对学生经历想象的过程、积累想象的经验还是有必要的。

圆柱的展开图既是研究圆柱表面积计算的必经之途径，也是单元学习的重点。实际教学中，不要一上来就让学生进入动手操作，而应该先让学生思考圆柱的侧面可以沿着哪个位置和方向怎样剪开，再想象展开图是什么样子，进一步思考侧面展开图（如长方形）的长和宽与圆柱的位置对应关系，然后进行实际操作验证自己的想象是否正确。先在学生的头脑中展开对数学的想象，动手前先动脑，思考转换前后二维平面图形与三维立体图形之间的位置对应关系（如图10），有助于发展学生的空间想象力和逻辑推理能力，进而发展学生的空间观念。

三、从图形测量整体把握对应关系，发展空间观念

本单元的图形测量主要是指学习研究圆柱的表面积、圆柱与圆锥体积。学习过程中要特别关注表面积、体积测量公式的推导过程及过程性思考。需要说明的是，关注表面积、体积公式的推导过程，不是为了追求过程，而是为了启发学生在推导过程中经历图形转化、位置对应关系的空间思考，这些思考是对圆柱与圆锥本质特征的再关注、再认识，在此过程中让学生的思维发生进阶并发展学生的空间观念。

关于圆柱表面积的教学在上述展开图中已有论述，关于圆锥的体积在小学阶段是借助与它等底等高的圆柱体积并通过物理实验获得，此处均不再赘述。这里重点说明圆柱体积推导过程中的研究方法。纵观本单元的学习都是从面动成体的运动视角来认识圆柱的，那么在教学中我们是否可以启发学生先从这个角度来认识和研究圆柱的体积呢？比如让学生观察“叠硬币”的过程，其实就是“面动成体”形成圆柱的过程。可以启发学生把一枚硬币想象成一个无限薄的圆面，随着硬币数量的累积叠加，可以把累积起来的圆柱想象成一个由很多个无限薄的面动态累积叠加起来的过程，圆柱所占的底面积不变，但随着高度增加，圆柱所占的空间大小（即体积）也在随之变大。通过这样的想象与思考，不但能够帮助学生很好地理解“圆柱的体积=底面积×高”，还可以通过这种感性的方式在面与体的运动联系中认识圆柱形成过程、圆柱体积的计算方法，同时在学生的头脑中埋下数学研究的思想方法——渗透积分、极限等数学思想。

圆柱体积推导的另一种典型的思维路径是转化。圆柱是学生在小学阶段数学中第一次认识的含有曲面的立体图形，加之学生在此前研究过圆的面积的推导，圆作为曲边图形的面积研究方法为学生研究含有曲面的圆柱的体积研究积累了相关学习经验——迁移转化。

需要特别说明的是，要让学生深刻理解圆柱的体积在推导过程中的图形转化过程和位置对应关系，在教学过程中将圆柱等分的份数尽可能多，越多越好，同时展开数学想象，逐渐将学生的注意力由“动手”转向“动脑”，启发学生深入思考：为什么要尽可能多的等分？在图形转化过程中什么变了？什么没变？如果学生能够体会到在这个过程中图形的表面积增加、体积守恒，与转化后的规则图形趋近，那么学生才能真正理解圆柱的曲面研究方法、极限思想等，同时在图形的变形转化过程中也促使学生的想象飞翔，培养空间想象力，发展空间观念。

此外，还可以通过一些高阶思维评价题目来撬动课堂教学，促进学生把握位置对应关系以发展空间观念。比如，把高是10厘米的圆柱按图13切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米。圆柱的体积是（    ）立方厘米。

總之，对于“圆柱与圆锥”的学习，需要全方位、多角度、多层次地整体把握单元教学，在不同维度的图形变形与转换中寻找对应关系，才能更本质地认识圆柱与圆锥，让空间想象时刻飞翔、根植和充实在学生的头脑，从而更好地在图形的单元学习中发展学生的空间观念。

[责任编辑：陈国庆]