高中数学教学中数形结合思想的应用

李彩琴

【摘要】文章简单介绍了数形结合思想，分析了其在高中数学教学中的重要性，并从准确把握思想应用原则，循序渐进强化学生意识，深度引导学生感悟思想，针对不同问题合理应用等方面，对于高中数学教学中合理、有效应用数形结合思想的策略展开了探讨，以供同行参考。

【关键词】高中数学教学;数形结合思想;应用

要想有效提高数学教学效果，就必须对过于强调课堂讲解与机械式重复的传统教学模式进行创新、调整与优化，尤其要突出学生主体性，重点培养学生数学核心素养。其中，在教学中合理应用数形结合思想，不仅可以让教学过程变得更为简单，而且能有效促使学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力以及多角度思考问题、灵活变通与解决问题的能力，是极具实践价值的教学创新方式。

一、数形结合思想及其在高中数学教学中的重要性

所谓数形结合思想，就是将数学中所研究的数与形进行联系与结合，从而达到借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明与数之间的某种关系。简单而言，数形结合思想就是以数解形或者以形助数，充分利用数与形之间的密切联系，实现二者的相互利用。对高中数学教学而言，渗透与融入数形结合思想十分有必要。

首先，数与形是高中数学研究的基础对象，基本上所有教学内容都绕不开二者，而且二者又有着密切联系，因而合理应用数形结合能够在很大程度上促使复杂问题简单化、抽象问题具体化，对帮助学生掌握知识、解决问题有着重要意义。

其次，在教育改革背景下，高中数学教学不能再停留和局限于知识传授，而是要引导学生全方位发展。在教学中合理渗透数形结合思想，能够对学生思考问题能力、创新思维、逻辑思维等进行有效培养，促使学生养成良好的学习习惯，拓展学生解题思维和思考问题的思路，有助于学生全面成长与发展。

二、高中数学教学中数形结合思想的应用策略

1.准确把握思想应用原则

在数学教学中应用数形结合思想时，不管是基于该思想进行知识讲解、难题解答，还是培养学生相应的数学思想解题方法，都需要遵循一定的基本原则。

首先，应当遵循双向性原则，即数与形是相互对立又联系紧密的两个层面，在对二者进行思考时一定要进行双向思考，不能只通过数对形来进行研究，也不能局限于数对形的表现。只有充分贯彻双向性原则，才能真正做到对数与形的有效统一与灵活应用，保障其在数学教学中发挥应有的作用。

其次是簡洁性原则。无论是讲解知识还是解答难题，教师在应用数形结合思想时，都是为了用更加简单直观的方式呈现内容，帮助学生以更容易理解和掌握的形式进行思考与探索，从而提高教学效率，提升学生解题速度与准确性。

再次是等价性原则。在数与形在相互转换的过程中，一定要保证对等等价，但凡其中存在一点偏差，都可能导致数形结合思想与方法的运用存在问题，影响最终的解题结果准确性。

最后是创新性原则。数形结合思想虽然在高中数学中占据着极其重要的地位，但这并不意味着学生在解决任何数学问题时都可以应用该思想。只有根据实际情况创新性地应用该思想，才能最大限度地发挥其作用，促使学生更快更准确地解决问题，否则容易陷入解题误区;过于依赖数形结合而无法掌握其他数学思想及方法，更可能导致思维固化。

2.循序渐进强化学生意识

在数学教学中应用数形结合思想具有多重目的，其中最基础的一点在于引导学生以更加简单易懂的方式学习知识，解决难题。从更深层次的应用目的考虑，则要以培养学生良好的数形结合思想与灵活的运用方法为关键，确保学生能够合理利用该思想自主学习与探索，同时促进学生全面发展。不过，思想的渗透与培养是一项长期工作，不可能通过短期教学有效实现，教师必须充分意识到这一点，并在教学实践中以兴趣培养为重要基础，循序渐进地强化学生意识，一步步地培养学生良好的数形结合思想，让学生科学运用数形结合方法进行思考与解题。因此在日常教学中，教师一定要对教学内容进行深度挖掘，着重分析其中与数形结合有着密切联系的部分，并针对这部分进行合理设计，以数形结合的方式带领学生学习新知识，从而让学生在不知不觉间理解、接受和习惯该思想。

例如在教学三角函数相关内容时，教师可以利用单位圆帮助学生理解新知识。通过图1所示的单位圆，教师可以直观地向学生展示有向线段，并将该图形与三角函数的定义进行紧密联系、数形结合。教师以单位圆中的有向线段OB、OC、OP、OA、AD等，带领学生学习角θ的正弦线、余弦线、正切线等，从而帮助学生快速、准确地理解知识点。由于单位圆和有向线段都是学生容易理解且较感兴趣的内容，教师利用二者并应用数形结合思想，能够在直观讲解知识的同时激发学生兴趣，强化学生数形结合意识。

3.深度引导学生感悟思想

数学教学中对数形结合思想的应用不能停留在简单的认知上，更要引导学生对其进行深度感悟，从而促使学生掌握灵活运用该思想及方法的有效方式。对此，教师一定要通过各种方式引导学生进行感悟，促使学生灵活地主动进行数转形以及形转数，更加高效地运用数形结合方法解决问题。要想真正促使学生进行深度感悟，一定要从学生既有知识储备出发，让学生对已掌握知识进行深度挖掘和探索。

例如在教学函数相关内容时，教师要求学生画出一次函数与二次函数的图像，并让学生结合图像对函数本质、特征等进行研究，鼓励学生自主探索、合作学习。学生在教师的指导下，对函数图像进行反复研究，合作讨论，一起探讨图像表现了函数的哪些特征，并发现函数单调性、奇偶性、对称性等均在图像上得到有效体现。如此一来，学生对数形结合有了更为深刻的认知，并能真正将该思想作为学习数学和解决数学问题的重要工具。

4.针对不同问题合理应用

数形结合体现在高中数学的方方面面，故而合理应用该思想可以更加简单、直观、高效、准确地解决不少数学难题。尤其是对一些依靠常规方法难以有效解决的数学问题而言，灵活应用数形结合方法往往能起到奇效。综观高中数学内容，诸如集合、函数、方程与不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何、绝对值、概率及统计等相关问题的解决都可以应用数形结合思想。在进行这些内容的教学或者解决相关内容时，教师需要针对性地引导学生合理应用数形结合思想，培养学生相应的解题习惯，确保学生更加高效地解决不同的问题。

以函数问题与解析几何问题为例，二者的解答可以通过常规方式完成，也可以利用数形结合方法完成，只不过在实际应用时有一定区别，教师需要针对二者的数形结合解题方法进行准确教学。其中，函数问题应用数形结合思想的关键在于应用形来对数进行直观表现，如此既能快速解决问题，也能避免大量复杂运算而导致的运算出错问题;而解析几何问题中运用数形结合思想，关键就在于将几何结构代数化，利用数来对形进行表达和反映，从而更加具体、准确地进行解答。

例如函数问题：已知f（x）=x2-2ax+2，当x≥-1时，f（x）>a恒成立，试求取a的取值范围。

解析几何问题：已知二元一次方程3x+4y=12，且x≥0，y≥0，求M（x，y）=x2+y2-12x-2y+37取得最大值与最小值的点的坐标。

在应用数形结合思想解决这两个问题时，教师要画出相应的图形，分别如图2和图3所示，让学生根据图形解答问题。

在解决函数问题时，应当将重心放在图形对代数语言的表达上，引导学生结合题意对图形进行观察，并代入问题中给出的条件进行思考，从而求出a的取值范圍。学生在教师的引导下，观察图形，代入题目给出的条件，思考当△<0和△≥0时的不同情况，确定两种情况下a的取值范围分别为（-2，1）和（-3，1），从而判断出答案为（-2，1）。

而在解决解析几何问题时，教师带领学生对画出的图形进行研究，直接通过观察图像可得知x的取值范围为[O，4]，并将M（x，y）变形为M（x，y）=（x-6）2+（y-1）2，那么M（x，y）就代表动点P到定点Q的距离的平方，可直接通过观察图形得知点A和点B是M（x，y）取得最大值与最小值的点的坐标。

三、结语

高中数学教学中应用数形结合思想极其有必要，不仅可以更加简单高效地传授知识和解决问题，而且能有效培养学生良好的解题思维与习惯。教师在教学实践中应当积极探索合理渗透、融合与应用数形结合思想的有效路径，尽量以更加简单、直观而高效的方式带领学生学习，提高教学水平，促进学生数学水平全方位提升。

【参考文献】

[1]韩伟会.浅谈高中数学教学中数形结合思想的应用[J].课程教育研究（学法教法研究），2017（07）：68.

[2]李晓明高中数学教学与解题中数形结合思想方法的应用分析[J].中国新通信，2018（07）：209.

[3]张晓光.分析如何在高中数学教学中渗透数形结合思想[J].中国校外教育（上旬），2016（08）：103.

[4]杨德源.高中数学教学中数形结合思想的应用现状及策略研究[J].中国农村教育，2019（33）：68.

[5]王宝志.探究高中数学教学中数形结合思想的有效应用[J].数理化解题研究，2017（10）：35-36.