“度量”在前 “关系”在后

周维娜

【摘要】遵循分数的本身特点，打破教材原结构，重新建构分数知识网络：先从度量出发，认识分数是“分”出来的、有大小的一种新的数，也就是“数”维度的分数;再教表示“关系”维度的分数，即分数的无量纲性。这样的教学方式对解决教学上的困惑、学生的错误顽疾以及教材编排逻辑上的不讲道理是行之有效的。

【关键词】度量;关系;抽象;分数教学

分数是公认的小学阶段最抽象、最复杂也是最容易出现问题的概念之一，对分数概念的学习和掌握是小学阶段最难的学习任务之一。这不仅要求教师深刻理解分数的学术形态，还要研究如何有效落实“分数教学”，呈现学生容易接受的教育形态。

教材安排的“分数的初步认识”直接从“关系”维度入手学习分数，和学生原有的认数经验有冲突，学生不那么容易接受。无独有偶，嘉兴的朱国荣老师先教有单位的分数，“分数的初步认识”中的分数是始终带着单位的;台湾老师在“分数的简单应用”中的分数也是带着单位的;余姚朱震绯老师主张“从自然数的角度认识分数”。受此启发，笔者遵循分数的本身特点，打破教材原结构，重新建构分数知识网络：先从度量出发，认识分数是“分”出来的数，有大小的，也就是“数”维度的分数;再教表示“关系”维度的分数。

一、度量操作中“分”出分數

把五下“分数的意义”中“分数的产生”提前到“分数的初步认识”第一课，通过度量、分物等操作活动告诉学生：分数是在不能用自然数表示的情况下产生的，首先表示是数量的多少，分数后面可以有不同的单位;分数是在度量操作中“分”出来的数，是介于0和1之间的，是自然数系的扩充。

【“几分之一”的教学片段】

●分苹果，引出1/2个

师：今天的学习就从分苹果开始。

4个苹果平均分成2份，每份有几个？（2个）

2个苹果平均分成2份，每份有几个？（1个）

1个苹果平均分成2份，每份有几个？（半个）

师：如果用一个数表示，谁有办法？

●分物体，感知表示数量的1/2

依次呈现上图。

师：1个月饼平均分成2份，一份是几个？（1/2个）

师：1/2个月饼在哪里？你能指一指吗？这里的1/2个是谁的1/2？

师：一张长方形纸平均分成2份，这一份是几张？（1/2张）

师：1/2张纸又在哪里？是谁的1/2？

师：把1米长的彩带平均分成2份，这一份是几米？（1/2米）

师：1/2米在哪里？请你在图上指出来。这个1/2米又是谁的1/2？

课堂上通过平均分，每份个数从“自然数个”到“一半”“半个”，不能再用自然数表示，让学生很自然经历分数产生的过程。教学上这样处理，教师的教和学生的学不会背道而驰，符合学生的认数认知，符合数系扩张的数学本质。一个苹果、一张纸平均分成2份，每份就是半个苹果、半张纸，也就是1/2个、1/2张。这个环节，不出现一般的分数定义，只是用分数描述一些平均分意义下某个部分的具体大小，分数始终带有单位，从“数量”的角度去认识分数，有助于学生不断体会“分数是一种有大小的数”，是一个在度量操作中分出来的新的“数”。

二、具体数量中抽象出分数

史宁中教授认为，分数是一种无量纲（或称量纲一）的数，认识分数的无量纲性对于分数的建模是非常重要的。教材没有向学生揭示分数无量纲性的意义。为此，我们要创设行之有效的数学活动，让学生体会分数无量纲性的意义，知“分数”其所以然。

【“几分之一”教学片段】

●具体数量中抽象出1/2

师：为什么这些1/2表示的东西不一样，却都可以用1/2表示？

●1/2可以表示什么？

生1：一个西瓜平均分成2份，任何一份都可以用1/2表示。

生2：一个正方形平均分成2份，其中一份可以用1/2表示。

生3：一根绳子对折剪断，每一段是绳子总长度的1/2。

这个环节设计就是给学生足够多的素材，在这些素材中经历1/2的抽象、建模过程。先在“分物”的具体情境中产生“表示数量”的1/2这个分数，学生认识了一个个“接地气”的“1/2个苹果、1/2张纸、1/2米……”然后教师追问：“为什么这些1/2表示的东西不一样，具体大小也不同，却都可以用1/2表示？”这既是分数抽象建模的过程，也是让学生体会分数“无量纲性”的过程。舍弃非本质的东西：“1/2个苹果、1/2张纸、1/2米”表示的形状、大小不一样。抽取共同、本质的特征：凡是一个物体平均分成2份，表示其中的一份都是1/2，与物体本身的大小无关，这也是分数的无量纲性。抽象之后，又回到现实的问题情境中：“1/2还可以表示什么？”再次让学生体会1/2的无量纲性。这样来回，既建立了分数1/2表示“部分与整体关系”的模型，又让学生理解了“1/2首先是一个数”。因为这个环节的单位1表示的数量都是1个，所以这里的1/2=1/2个。

三、比较中抽象出分数

图5是“分数的简单应用”中例1的材料，学生在理解上难度很大，明明是1个正方形、2个苹果，可以用整数1、2表示，为什么非要用1/3、1/4表示呢？“1个正方形是4个正方形的1/4”“1份是苹果总数的1/3”就无法成为学生的内需，只能成为教师“教新知识”的过程。解决这一问题，可以通过比较、找不同中的相同点，进而用分数的无量纲性来表达这种相同之处，即在比较中抽象出分数。

【“分数的简单应用”教学片段】

1.复习整体数量是1个的1/4（呈现图6）

师：你能用一个分数表示蓝色部分纸吗？（1/4）

师：这个1/4表示谁的1/4？

师：这个1/4后面可以加单位“张”吗？

2.引入整体数量4个的1/4（呈现图7）

师：这张纸也能用1/4来表示，你猜一猜，这张纸的周围还藏着这样的几张？

师：这张纸的周围还藏着这样的3张，那总共有几张这样的纸呢？（呈现图8）蓝色纸占了全部纸的——（生答1/4）

师：这个1/4能添加单位“张”吗？为什么？

学生先认识分数是有大小的一种新的数，再理解分数的无量纲性：表示关系的分数。这样的分数教学方式对解决教学上的困惑、学生的错误顽疾以及教材编排逻辑上的不讲道理是行之有效的。

【参考文献】

[1]史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]朱国荣.像教自然数那样教分数——“分数的初步认识”教学新思考[J].小学教学，2015（07）：41-45.

[3]朱国荣.分数表示关系的含义，该怎样教——“分数的简单应用”教学实践与思考[J].小学教学（数学版），2016（07）：66-71.

[4]朱震绯.从自然数的角度认识分数——“几分之一，几分之几”教学实践与思考[J].小学数学教师，2016（03）.