数学建模题与传统数学应用题的联系

杨昌红　颜宝平

摘 要：数学建模题和传统数学应用题都属于数学应用问题的范畴，但两者不论是从题目本身还是解题的思维过程都不能等同。然而，他们却可以实现相互转换。通过给数学建模题添加适当的参数、赋予数值即可转换为传统数学应用题。反之，传统数学应用题通过隐藏参数、添加解释即可得到一个开放的数学建模题。正由于两者的不等同，使得在评价的侧重点以及育人价值上也都有所不同。

关键词：数学建模;数学建模题;传统数学应用题

数学建模是当下我国数学教育界一个比较炙热的话题。在上个世纪90年代数学建模开始进入我国，随之北京、上海地区开始组织中学生数学应用竞赛。自从2003年起，数学建模正式进入《普通高中数学课程标准（2003版）》。在《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《课标（2017）》）中，数学建模被列为六大核心素养之一，在教材中设置了6个课时的数学建模活动与数学探究活动[1]。引起了越来越多数学教师对数学建模的关注。在《课标（2017）》的推动下，数学建模活动在我国大部分地区纷纷实施起来。通过阅读大量文献，发现有很多中学数学教师对数学建模问题的认识存在严重的不足，他们中大多数人认为已经有了数学应用题，为什么还需要增加数学建模题呢？基本认为数学应用题就是数学建模问题，将二者混为一谈[2-3]。事实上，数学建模题并不等同于传统的数学应用题[4]。鉴于此，本文将研究数学建模问题与传统数学应用题的联系，以期为中学数学教师关于数学建模题的认识提供一点参考。

1.数学建模题与传统数学应用题的概念

在数学中，传统数学应用题是用语言或文字来叙述有关的实际问题，将数学知识应用于实际，以现实问题为情境反映某种数量关系，并求解未知数量的文字应用题。任何一道传统数学应用题都由已知条件和所求问题两个部分组成，它还具有以下特征：现实性、简明性、基础性、可转换行、模型化[4]。数学建模是解决数学建模问题的过程。在《课标（2017）》中，数学建模将描述为对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养;梁贯成、赖明治等人认为数学建模是一个过程，它应用数学对现实世界的现象进行表达、分析、预测或其他方式的深入研究[5]。鉴于以上的分析，笔者理解数学建模是现实情境与数学知识联系的桥梁，它包含以下过程：确定要解决的问题，需要收集相关的信息;作出假设，需要选择忽视或是保留哪些量;将初始问题转化为数学表达，进行求解;得到结果，又需要将结果应用到现实的情景中，看是否符合现实;如果不能很好的反映现实问题，需要修改假设或模型，重新求解，这是一个不断循环的过程。

2.数学建模题与传统数学应用题的联系

数学建模题和传统数学应用题都属于数学应用问题[4]。在传统数学应用题中，通常给出的已知条件明确，答案唯一，现实语言转化为数学语言的过程简单明了，所得的结果很少需要考虑是否符合实际，更谈不上说由于不符合实际情况需进一步反思、修改已有的模型。而在数学建模题中这些都是要突破的重点和难点。传统数学应用题的解题过程比较特殊和简单，无法揭示数学建模完整的过程。数学建模是连接现实问题和数学体系的重要媒介，通过运用数学理论和方法对实际问题分析研究，往往得到的结论它需要将结论迭代到实际问题中，它不同于传统数学应用题仅仅是简单的套用公式即可。数学建模中往往不存在套用公式、定理就能得到的结论。传统应用题的答案是唯一的，在解题时只要适当的运用公式定理和充分的运用已知条件就能解出答案，而数学建模的答案却不唯一，与传统数学应用题相比没有那样多的已知条件，数学建模题的求解需要根据实际问题定义变量、作出假设，假设不同得到的模型也不同，所得模型还需带到实际中检验看其与实际是否吻合，若与实际不吻合，则需要对参数、数据、模型中的一些部分进行修改，重新迭代，数学建模就是一个如此反复的过程以求找到更吻合实际的结论。因此，数学建模题不论是从题目本身还是解题的思维过程都不等同于传统数学应用题。

下面将用两个例子来展示传统数学应用题和数学建模题以及他们的求解过程，例1是传统数学应用题，例2是选自《数学建模教学与评估指南》中的数学建模题。

例1：李华家附近有一个加油站A，汽油的油价为7.65元/升，而在另一个距离他家8公里的加油站B，汽油的油价为7.35元/升。已知李华家的汽车每公里烧油0.48元，现需要加30升汽油，请问去哪个加油站加油比较划算。

例2：思考一个实际的生活问题：

我们都知道的汽油的价格是极其不稳定的，在同一个城市同一时间段很多加油站油价可能都有所不同。有时油价便宜的加油站可能离我们有些距离，那么便宜的那一點油价是否值得我们开车前去？请建立数学模型来帮助我们分析什么条件下值得开车前去便宜的加油站加油。

（挖掘数据）首先，通过互联网和调研收集资料，了解到附近的加油站A的油价为7.65元/升，又找到最便宜的加油站B，油价为7.35元/升。

（作出假设）接下来，为了合理，两个加油站都加等量的汽油，然后，假设30升作为所加的汽油的量。

（数学求解）接着，有

在加油站A加油的花费为：7.65*30=229.5（元）

在加油站B加油的花费为：7.35*30=220.5（元）

在加油站B加油节省的费用：229.5-220.5=9（元）

因此，在便宜的加油站B加油可以省9元。

（迭代发现不能反映事实）这时，有人发现上面的解答忽略了两个加油站之间的距离，得到的结论不合理，那么怎么来计算这段距离消耗的油？此时，需要找出两个加油站之间的距离，以及考虑到车每公里烧油多少？

（需重新作出假设）当他们解决上面的小问题后，发现仅仅解决了问题中的一种特殊情况，油价、加油的量、加油站之间的距离、车型的油耗都是特定。这时，他们需要变量来代替数量。为了更加完善，需要反复的修改假设，又建立新的模型，进行求解迭代。

数学应用题与建模问题的转换。正如上面两个例子表明，一个传统数学应用题是可以转换为一个数学建模问题。例1中的距离、油耗、油价都是具体的，它只需要进行数学运算即可得出结果。然而，数学建模问题呈现为一种模糊的状态，没有明确的数据，所给条件不经过加工也不能用，例2没有任何的已知条件，其实例1就是例2的具体化，是一种特殊情况，而例2就是例1的一般化。从一般到具体就是将数学建模题添加参数、给出数据就转换为传统数学应用题，从具体到一般就是将传统数学应用题的参数隐藏、添加解释即可得到一个数学建模题，一个好的建模问题必须足夠的开放，给学生充足的空间让他们在解决的过程作出自己的抉择。

3.数学建模题与传统数学应用题的评价

传统数学应用题通常是有唯一的正确答案，在进行评判时，更多地是看学生的作答是否正确，学生在作答的过程中，对数学的批判性思维要求不高，按照题目要求求解，并规范作答就可以得到满分。然而，数学建模与数学应用题的评价较为不同。数学建模没有标准的答案，数学建模往往呈现的结果没有最好，只有通过不断地修改完善模型使结果变得更好。在这过程中，学生既要不断的反思，需要具有高度的批判精神。因为，数学建模往往是一个过程，不是像传统数学应用题简单套用公式能够解决问题，它需要反复修改假设、模型，进而求解、迭代、完善模型，最终能够反映实际问题中的事实。当数学教师对学生进行数学建模评价时，不能只关注最终的结果，应该是更注重学习的过程。观察学生在建模过程中解决什么问题，给出的数学模型是否能反映实际，帮助学生修改数学模型，使其得到更好的结果。或许在修改的过程中，数学教师自己对学生给出的模型不是很了解，这时数学教师要调整自己的角色，与学生一起去查找相关的资料、共同解决，帮助学生得到一个更完善的数学模型、一个更符合实际的结论，相信这样做一定比直接给学生一个分数更有意义。

4.数学建模题与传统数学应用题的育人价值

传统数学应用题的目的是为培养学生的应用意识，多在检测学生数学基础知识的掌握。而数学建模在此基础上更多强调提出问题、分析问题、解决问题的意识。传统数学应用题不同于纯粹的数学题，它是具有一些人文、思想的教育价值，它可以让学生感受数学来自于生活，又应用于生活，可适当的培养学生的理解能力、语言转换能力、实践应用能力等。然而，数学建模是一种独立而又综合的素养，错综复杂的建模过程可以培养学生各个方面的素养。从知识技能层面来说，它将数学知识各部分的内容联系起来，在建模的过程中往往既需数学与代数的知识，又需要图形与几何和概率与统计的知识。同时，解决一个数学建模题除了数学学科以外还涉及其他多个学科，这样一来可以促进学生跨学科的思维的发展。所以，数学建模既可以说明各科课程的相关性，又拓宽了学生的视角，这是数学应用题无法给予的。从情感态度层面来说，数学建模题是开放性的可以更好的培养学生的创造力，在解决数学建模问题的过程中学生可以体验到数学的真正价值;数学建模往往强调团队合作，很好地培养他们团队协作精神，而在这个过程学生需要不断与队友以及其他团队的沟通交流，可促进他们的交流表达能力的提升。再者，数学建模教育不是精英教育，而是大众教育。有研究表明学生的数学成绩是对数学建模的能力有所影响但不存在正相关性，数学建模可以让数学成绩差的学生增加学习数学的兴趣。因此，数学建模题可以提升学生多方面的能力，从而有效的提升学生综合素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张思明.理解数学——中学数学建模课程的实践案例与探索[M].福建：福建教育出版社，2012.

[3]黄思晗.高中教师与学生对数学建模素养的认知差异研究——以重庆地区为例[D].重庆师范大学，2018.

[4]李明振.数学建模认知研究[M].南京：江苏教育出版社2013.

[5]梁贯成，赖治明，乔中华，陈艳萍编译.数学建模教学与评估指南[M].上海：上海大学出版社，2017.

作者简介

杨昌红（1996-），女，贵州麻江人，吉首大学，在读研究生，研究方向：数学教育。

颜宝平（1970-），男，云南文山人，铜仁学院大数据学院，硕士、教授，主要从事数学教育及倒向随机微分方程研究。

[基金项目]高中数学建模教学现状调查与策略研究——以铜仁地区为例（Jdy19008）